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Límite de una función en un punto

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Para ver el límite de una función en un punto, partimos de del concepto de límite.

A cualquier punto a de la recta real (valor al que tiende x), nos podemos acercar, en el caso de la existencia del límite, tanto como queramos, tanto por su izquierda como por su derecha. Son los límites laterales.

Al extremo derecho de la recta real, es decir, a +∞, solamente nos podemos acercar por la izquierda; al extremo izquierdo de la recta real, es decir, a -∞, solamente nos podemos acercar por la derecha. Ambos casos son los límites en el infinito.

En un punto de la variable x → a de una función f(x), podemos comprobar si existe el límite y su valor, dándole valores a la variable cada vez más cercanos a a, por la izquierda y por la derecha.

Veamos este límite:

Fórmula del ejemplo 1 de límite de una función en un punto

Le damos valores cada vez más próximos a -2 por ambos lados, según esta tabla:

Tabla de valores del ejemplo 1 de límite de una función en un punto

Como se ve en la figura:

Dibujo de la gráfica en el ejemplo 1 de límite de una función en un punto

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Es indiferente que f(x) esté definida o no en a (en el ejemplo anterior, no está definida en x = -2) ni que el valor f(a) coincida con el límite. Lo importante es el valor de la función cuando x se acerca más y más a a en su entorno.

Para calcular el límite de una función en un punto de su dominio, cuando son del tipo polinómica, racional, exponencial o logarítmica, o en las funciones trigonométricas restringidas en su dominio, es suficiente con sustituir en x el valor a para el que queremos averiguar el límite.

En las funciones definidas a trozos hay que ver qué ocurre en el límite del punto de unión de dos trozos. Puede que exista el límite, aunque no exista f(a) o puede que exista el límite.

Veamos el límite cuando x → -2 de esta función definida a trozos:

Fórmula del ejemplo 2 de límite de una función en un punto

El valor del límite es -4 y, además:

Cálculo del límite del ejemplo 2 de límite de una función en un punto

Coincide con el valor de la función en el punto -2, como se ve en la gráfica:

Dibujo de la gráfica en el ejemplo 2 de límite de una función en un punto

Veamos el límite cuando x → -2 pero en esta función definida a trozos que es diferente a la anterior:

Fórmula del ejemplo 3 de límite de una función en un punto

Se ve en la gráfica que el límite de esta nueva función sigue siendo -4, aunque en este caso no existe el punto f(-4).

Dibujo de la gráfica en el ejemplo 3 de límite de una función en un punto

Una tercera función definida a trozos. Aquí los límites laterales L1 y L2 en el punto -2 no coinciden. Por lo tanto, no existe el límite de esta función para x → -2. Como se ve en la figura:

Dibujo de la gráfica en el ejemplo 4 de límite de una función en un punto

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