La diferencial de una función en un punto a es el incremento que hubiera tenido esa función al incrementar la variable independiente x a otro punto a + h pero, en vez de seguir por la curva de la función, se hubiera seguido por la tangente a dicha curva en a. Sabemos que la derivada de una …
El teorema fundamental del cálculo indica que la derivación de una función y la integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que si se integra una función continua y acotada, integrable en este intervalo, y luego se deriva integral resultante, obtenemos la función original. Es decir, son dos operaciones inversas. Si llamamos a …
Enunciaremos cuatro teoremas de las derivadas aplicables sobre funciones que cumplen ciertas condiciones de derivabilidad y, por tanto, de continuidad. Son: Teorema de Bolzano Teorema de Rolle Teorema del Valor Medio o de Lagrange Teorema de Cauchy o teorema del Valor Medio Generalizado Los tres últimos teoremas son como un “paquete”, una unidad de concepto, …
El teorema de Cauchy establece que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b), si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b), siempre que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple: El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k. …
El Teorema de Bolzano enuncia que, dada una función f(x), continua y derivable en un intervalo cerrado [a, b] y se cumple que si f(a) y f(b) son de distinto signo, existe, al menos, un punto c perteneciente a este intervalo c ∋ (a, b) para el que f(c) = 0. El planteamiento del teorema se ve claramente en el gráfico …
El Teorema del Valor Medio o Teorema de Lagrange enuncia que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un punto (que es a su vez derivable) pertenenciente al intervalo abierto c ∈ (a, b), en el se cumple que: Gráficamente: Como la derivada de una función en un punto es la …
El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), si los valores de la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un punto del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera …
Las reglas de derivación, (a veces denominadas teoremas de derivación) permiten la obtención de la derivada en el caso de funciones compuestas. Hay que tener bien presentes las derivadas inmediatas. Aquí tenemos una tabla de derivadas: Regla de la suma La derivada de la suma de funciones consiste en que la derivada de la función …
Es la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar. Y todo partido por la función del denominador al cuadrado. La derivada de un cociente es válida para derivar una función racional cualquiera. Corolario: Cuando una función f(x) es derivable en un intervalo I siempre …
La derivada de un producto de dos funciones f(x) y g(x) derivables en un mismo intervalo I, tal como: Es igual a la suma de la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda función. Efectivamente, la derivada de la multiplicación de …
