Funciones continuas y discontinuas

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.

Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

La continuidad de una función se estudia en diferentes sectores de la función:

• Continuidad en un punto
• Continuidad lateral
• Continuidad en un intervalo

Continuidad en un punto

Una función f es continua en un punto x = a si cumple las tres condiciones siguientes:

1. La función f existe en a, es decir, existe la imagen de a.
   
2. Existe el límite de f en el punto x = a:
   
3. La imagen de a y el límite de la función en a coinciden.
   

En el caso de que en un punto x = a no se cumpla alguna de las tres condiciones, se dice que la función es discontinua en a.

Nota: se expresa en el caso 1 con un punto hueco para indicar que ese punto no se incluye en la gráfica.

Ver ejemplo de continuidad en un punto

Continuidad lateral

La continuidad lateral de una función f estudia si ésta es continua en los laterales de un punto x=a. Por lo tanto, se estudia la continuidad lateral a izquierda o derecha.

• Continuidad lateral por la izquierda:

  Una función f es continua por la izquierda en a si:

  

  Es decir, si la función se aproxima por el lateral de la izquierda a la imagen de a.

  
• Continuidad lateral por la derecha:

  Una función f es continua por la derecha en a si:

  

  Es decir, si la función se aproxima por el lateral de la derecha a la imagen de a.

  

Ver ejemplo de continuidad lateral

Continuidad en un intervalo

Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos sus puntos. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].

Se pueden diferenciar cuatro casos, según si el intervalo es abierto (no incluye a y b), cerrado (inlcuye a y b), abierto por la izquierda (no incluye a) o abierto por la derecha (no incluye b).

• Intervalo abierto ]a,b[.

  La función f es continua si lo es en todos los puntos interiores del intervalo.

• Intervalo cerrado [a,b]. La función es continua si:
  • f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto ]a,b[).
  • f es continua en a por la derecha:
    
  • f es continua en b por la izquierda:
    
• Intervalo abierto por la izquierda ]a,b] (no incluye a). La función es continua si:
  • f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto ]a,b[).
  • f es continua en b por la izquierda:
    
• Intervalo abierto por la derecha [a,b[ (no incluye b). La función es continua si:
  • f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto ]a,b[).
  • f es continua en a por la derecha:
    

Ver ejemplo de continuidad en un intervalo

Continuidad de funciones por partes

Las funciones definidas a trozos son continuas si son continuas en todo su dominio, es decir:

• La función es continua en los trozos donde está definida.
• La función es continua en los puntos de división de los trozos.

Ver ejemplo de continuidad de funciones por partes

Propiedades de las funciones continuas

Sean f y g dos funciones continuas en el punto x = a, entonces:

• f + g es continua en x = a.
• f · g es continua en x = a.
• f / g es continua en x = a, siempre que g(a) ≠ 0.
• f o g es continua en x = a.
• α · f  es continua en x = a, siendo α un número real.

Discontinuidad de funciones

Una función f es discontinua en a si se cumplen al menos una de estas tres condiciones:

1. No existe la función en a, es decir, no existe la imagen de a:
   
2. No existe el límite de f en el punto x = a:
   
3. La imagen de a y el límite de la función en a son diferentes.
   

Cuando una función es discontinua en un punto, se pueden producir tres tipos de discontinuidades:

• Discontinuidad evitable
• Discontinuidad inevitable
• Discontinuidad esencial

Discontinuidad evitable

Una función f tiene una discontinuidad evitable en a si se cumplen las dos condiciones siguientes:

• Existe el límite en a y éste es finito.
  
• La imagen de a no existe o si existe no coincide con su límite.
  

Se dice que la discontinuidad es evitable porque se podría evitar definiendo la imagen de a como el valor de su límite en este punto.

Ver ejemplo de discontinuidad evitable

Discontinuidad inevitable

Una función f tiene una discontinuidad inevitable en a si los límites laterales existen pero no coinciden, es decir:

Se dice que la discontinuidad es inevitable porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos.

Definiremos como el salto a la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.

Según si el salto es finito o infinito se clasifica la discontinuidad inevitable en:

• Discontinuidad inevitable de salto finito

  El salto que se produce entre límites laterales es un número real finito. También se llama discontinuidad inevitable finita.

  
  
• Discontinuidad inevitable de salto infinito

  El salto que se produce entre límites laterales es infinito.

  
  

  En este caso, también se llama discontinuidad inevitable infinita.

Ver ejemplo de discontinuidad inevitable de salto finito

Ver ejemplo de discontinuidad inevitable de salto infinito

Discontinuidad esencial

Una función f tiene una discontinuidad esencial en a si no existe un límite lateral o no existen ambos:

Por ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en , al no tener límite lateral por la izquierda en x=1.

Ver ejemplo de discontinuidad esencial