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La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es constante.
El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).
La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección del cono con un plano que no pase por su vértice y que forme un ángulo con el eje del cono menor que el ángulo que forma con el eje generatriz g del cono.
Elementos de la hipérbola
Los elementos son:
- Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).
- Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
- Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.
- Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
- Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.
- Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 y V2).
- Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F1F2.
- Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
- Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2 se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.
Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:
- Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.
- Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).
- Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto Pi.
- Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.
- Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 y D2). Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A1 y A2).
Hipérbola vertical
La hipérbola vertical tiene el eje focal vertical, paralelo al eje de ordenadas Y.
La hipérbola horizontal tiene el eje focal horizontal, paralelo al eje de las abscisas X.
Hipérbola equilátera
La hipérbola equilátera es la que tiene sus asíntotas (A1 y A2) perpendiculares entre sí, o, dicho de otra manera, cuando forman un ángulo con cada eje de 45º.
Relación entre semiejes de la hipérbola
Las semiejes de la hipérbola (a y b) se relacionan con la distancia focal (c) por la siguiente fórmula:
Geométricamente podemos encontrar los puntos B1 y B2. Para ello, se trazan las rectas tangentes a la cónica en los vértices V1 y V2. Las dos tangentes cortarán en las asíntotas en cuatro puntos. Unimos los segmentos dos a dos siendo de longitud 2a y perpendicular al eje no transverso. Los dos puntos producto de la intersección de los dos segmentos y el eje no transverso serán B1 y B2. Siendo O=(o1,o2) el centro de la hipérbola, tendremos que B1=(o1,o2+b) y B2=(o1,o2-b).
De esta forma, se podría calcular el semieje imaginario (b) a partir del semieje real (a) y la semidistancia focal (c):
Ecuación de la hipérbola
La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O=(o1,o2) como:
- En la hipérbola horizontal:
Siendo (x, y) un punto de la cónica, (o1, o2) el centro y a y b el semieje real y el semieje imaginario.
Si la hipérbola horizontal tiene su centro en el origen, O = (0, 0), su ecuación es:
- En la hipérbola vertical:
Si la hipérbola vertical tiene su centro en el origen, O = (0, 0), su ecuación es:
Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general:
Siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe cumplir que los coeficientes de x2 e y2 (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.
En la hipérbola horizontal, el signo menos le corresponde a C y en la vertical, le corresponde a A.
Asíntotas de la hipérbola
Las asíntotas de la hipérbola horizontal (A1 y A2) son las dos líneas rectas que se aproximan cada vez más a la hipérbola pero no llegan a intersectarla. En el infinito las asíntotas estarán a una distancia 0 de ella.
Las ecuaciones de las asíntotas se pueden obtener si se conocen el semieje real (a) y el semieje imaginario (b).
Siendo a y b el semieje real y el semieje imaginario.
Cuando el centro de la hipérbola horizontal está en el punto (o1, o2), las ecuaciones de las dos asíntotas serán.
Las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola vertical con centro en el origen:
Pero las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola vertical con el en el punto (o1, o2):
Excentricidad de la hipérbola
La excentricidad mide lo «abierta» que es la hipérbola. Puesto que c (semidistancia focal) es siempre mayor que a (semieje real), la excentricidad es siempre mayor que la unidad.
Siendo a y c el semieje real y la semidistancia focal.
La excentricidad es mayor que 1. Si ésta es muy próxima a 1, la hipérbola tiende a una recta partida. Cuando la excentricidad crece, la hipérbola tiende a dos rectas paralelas al eje no transverso, o dicho de otra forma, las dos ramas de la hipérbola están más abiertas.
La excentricidad también se puede calcular a partir de los semiejes (a y b) mediante la fórmula:
Construcción de la hipérbola por puntos
Veamos una forma sencilla para la construcción geométrica de la hipérbola, conociendo el eje real (V1V2=2a) y la distancia focal (F1F2=2c).
- Dibujamos la línea del eje focal E, sobre la que marcamos los dos vértices V1 y V2 y su centro O, equidistante de ellos una distancia a. Marcamos también los dos focos, equidistantes del centro O una distancia c.
- Ahora, sobre el mismo eje y a partir del segmento 2c hacia afuera, marcamos unos puntos cualquiera, supongamos que cuatro: P1, P2, P3, P4.
- Con un compás, en cada uno de ellos tomamos dos radios, r=P1V1 y r’=P1V2.
- Con esos radios y centros en los dos focos F1 y F2 trazamos arcos. Los cuatro puntos donde se cortan son puntos de la hipérbola.
- Repetimos el proceso con P2, P3 y P4.
- Si unimos los puntos obtenidos, apoyándonos sobre las asíntotas, obtendremos la hipérbola.
- Vemos que cada uno de esos puntos cumple ri – ri’ = d1 – d2 = 2a, que, como se han trazado con centro en los dos focos, cumple la definición de la hipérbola.
La hipérbola tiene área ??
no. No es una figura cerrada
Una pregunta por favor, cuál vendría a ser el diámetro de una hipérbola
Mira los elementos de una hipérbola en esta página.
Una hipérbola no tiene un diámetro. Los infinitos diámetros de una hipérbola son las rectas que pasan por el centro de la misma.
Por definición, el diámetro de una cónica es una cuerda entre dos puntos de la curva que pasa por el centro. Toda hipérbola tiene un centro O (la intersección de los ejes x, y), entonces, la hipérbola al igual que un círculo y la elipse tiene diámetros. Escoge un punto P cualquiera sobre una rama de la hipérbola, traza una recta entre ese punto que pase por el centro O y llega a la otra rama a un punto P’, el segmento PP’ es uno de los diámetros. El diámetro menor sería el segmento que une los vértices.
Alguien me podria ayudar por favor, no se a que se refiere con la palabra amplitud…
Obtenga la ecuación de la hipérbola con los datos dados. Graficar.
a) Vértices V1(−3, 2) y V2(−3, −2) y la amplitud tomada sobre el eje conjugado es 6.
El eje conjugado o no transverso es el segmento 2b.
Hipérbola vertical con centro en (-3,0).
Asíntotas
y = 2x/3 + 2
y = -2x/3 – 2
Grafica
𝐹_1 (−2;0), 𝐹_2 (−2;8)𝑦 𝑎=4
Alguien me dice como hallar los vértices
Es una hipérbola vertical porque los focos tienen la x en -2.
La distancia focal 2c = 8 – 0 = 8
Eje real 2a = 8
Excentricidad 8 / 8 = 1
Los vértices coinciden con los focos. La hipérbola en realidad es una recta interrumpida entre vértices.
Cuales Serian Los Parametros?
Es posible hallar el diámetro de la parte alta de una torre de refrigeración con figura hiperbólica, solo conociendo:
altura de la torre: 120 m
Diámetro parte baja: 100 m
Diámetro parte más pequeña: 48 m, la cuál se encuentra a 84 m de la base.
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
Aplica la ecuación de la hipérbola, la que fija el origen de coordenadas en (0,0).
Sabes a que es 48/2.
Dale valores a un punto de la base, x = 50 y = -84.
Con eso halla b.
Puedes volver a aplicar la ecuación, pero ahora referido al radio del cuello superior, cuya ordenada es 120 – 84
Te debe dar un diámetro superior de 60,6 m
como puedo deducir la ecuacion de la hiperbola conociendo solo sus focos
No es posible. Con un eje focal 2c obtienes muchas hipérbola de diferentes excentricidades. Lo verás mejor si abres la página excentricidad de la hipérbola» de UNIVERSO FÓRMULAS.
A
La explicación de las cónicas es súper clara y la información está muy bien organizada. Y además tanto desde las matemáticas como desde la geometría. Me añado la página a marcadores porque seguro la voy a necesitar en más de una ocasión. Muchas gracias. 🙂
Quiero saber cual es la formula de la elipse, parabola, hiperbola y la circunferencia.
Tienes las fórmulas de las cuatro cónicas que buscas en UNIVERSO FÓRMULAS
Gracias por la definición como lugar geométrico de la Circunferencia Principal Cp, no lo hallaba en ninguna parte.
EXCELENTE! Estaba buscando algo así y no lo encontraba en ningún lado. ¡¡Gracias!!
Es una buena página, me gusta mucho investigar aquí, tiene buena información y bien redactada para los trabajos. Gracias.
Muy buena explicación y ejemplos. Gracias
De nada bro
la explicacion esta buenisima
pero no le entendi nada jajjaa xdxdxd
NO SIRVEEEEEEEEEEE
no me gusta dislike
COMETES GRAVE ERROR ¡
HABLAS DEL AREA DE LA CIRCUNFERENCIA
LS CIRCUNFERENCIA NO TIENE AREA ¡¡¡¡¡
Es así como dices y es así como figura en Universofórmulas. En «área de la circunferencia» verás que pone:
«La circunferencia no tiene área. La circunferencia es el perímetro del círculo. En todo caso, existe el área comprendida dentro de la circunferencia, o lo que es lo mismo, el área del círculo. La fórmula de ésta es: etc…»
Pero gracias de todas maneras
lol!!!
las imágenes se entienden bastante bien, las formulas son sencillas . Se que sólo son formulas, pero si pudieran incluir aunque sea sólo un ejemplo
Hilda Leticia, tienes ejemplos entrando en los subapartados: ecuación de la hipérbola, sus asíntotas y la excentricidad.
Pese a ello, gracias por la aportación. Próximamente implementaremos la página.
Muchas gracias
Me encantaría que por favor explicaran también los tipos de hipérbola :3
Muy malo me saque un 1 PUTOSSSSSSSSSSSSSSSS, voy a quemarle el rancho a cada uno manga de gosheauuu.
muy buena explicacion pero no entendi un co.. jajajaja
Me pares mu buena la explicacion ,aunque le falta la demostracion delvalor dellddo recto de la hipebola. le agradesrialo espseran.
gracia amijo pero casi no entiendo naa
ta chidaaaaaa esta parte i,magada