Función racional
Una función racional f(x) es el cociente irreducible de dos polinomios (para ello, no deben tener las mismas raíces). La palabra racional hace referencia a que esta función es una razón.
P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador (La variable x debe de estar en el denominador).
El dominio de una función racional son todos los números reales excepto los valores de la variable x que anulan el denominador (Q(x)) = 0), es decir, excepto las raíces del polinomio correspondiente al denominador.
La gráfica de estas funciones, si el polinomio del denominador Q(x) es de grado 1, es una hipérbola:
(En todas las funciones racionales en las que el grado del polinomio del numerador P(x) sea el mismo que grado del del denominador Q(x), existe una asíntota horizontal y = a / k, siendo aquí a y k los coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y de Q(x)) respectivamente.
Existen varios casos particulares de funciones racionales:
Funciones de proporcionalidad inversa
Una función es de proporcionalidad inversa cuando la variable dependiente y es igual a una constante dividida por la variable independiente x. Su expresión es:
El dominio de la función de proporcionalidad inversa es todos los reales menos el 0, para el que la función no está definida::
La derivada de la función de proporcionalidad inversa es:
Su gráfica es una hipérbola equilátera con asíntotas en los ejes de coordenadas X e Y. Su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas (0,0).
- Si k es positiva, la función es decreciente y la gráfica estará en el 1º y 3º cuadrante.
- Si k es negativa, la función es creciente y la gráfica se situará en el 2º y el 4º cuadrante.
Funciones del tipo (ax+b)/(cx+d)
Son funciones del tipo:
La gráfica de estas funciones también son hipérbolas.
La asíntota vertical es x = – d / c.
La asíntota horizontal es y = a / c.
(En todas las funciones racionales en las que el grado del polinomio del numerador P(x) sea el mismo que grado del del denominador Q(x), existe una asíntota horizontal y = a / k, siendo aquí a y k los coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y de Q(x)) respectivamente.
Funciones del tipo k/(x+a)+b
Sean las funciones racionales del tipo:
Estas funciones son iguales que las funciones de proporcionalidad inversa pero trasladadas. En este caso las asíntotas son las rectas paralelas a los ejes x = –a y y = b.
Hola!
Cuando el grado del polinomio P(x) y Q(x) no es igual ¿Cómo saco las asíntotas? ¿Y los puntos de corte y limites?
Ejemplo: f(x)=x^3/(x+2)
El dominio de una función racional son todos los números reales excepto los valores de la variable x que anulan el denominador (Q(x)) = 0), es decir, excepto las raíces del polinomio correspondiente al denominador.
Esto te indica que hay una asíntota vertical para x = -2.
Ves a la página Derivada en un máximo y en un mínimo de UNIVERSO FÓRMULAS.
Y en la página Derivadas, también de esta web, en la tabla, verás que la primera derivada es
f(x)’ = (2x³ + 6x²) / (x + 2)²
Las raíces de esta derivada són -3 y 0. Allí hay un máximo, un mínimo o un punto de inflexión.
Hay que sacar la segunda derivada.
f”(-3)=18>0
derivada par, luego es un mínimo local (-3, 27)
f”(0)=0
Seguir derivando
f”'(0) ≠ 0
Como es derivada impar, es un punto de inflexión (0, 0)
¿alguien me podría decir si esto son los tipos de ecuaciones de una función racional?
Hola pueden ayudarme con el rango de una funcion Y= (x+2)/3 no consigo resolver esto cuando el denominador es un numero constante, como se hace
Tu función no es racional. Se dice en esta misma página:
“La variable x debe de estar en el denominador”.
Mira la página Recorrido o rango de una función en UNIVERSO FÓRMULAS.
En tu función, el rango son los reales, es decir (– ∞, + ∞)
“Rango es el conjunto de todas las imágenes que se obtienen realmente a partir de la función f”.
Hola.
Necesito determinar analíticamente el rango de la función racional y=1/(x²-1).
Por su gráfica puedo deducir que NO está definida para y (-1,0] y que tiene una asíntota horizontal en y=0 y dos asíntotas verticales en x=±1, pero no sé cómo determinar el intervalo excluido para el rango sin necesidad de graficar. Ayuda, por favor.
Tienes correctamente halladas las asíntotas. Consulta la página Asíntotas de una función en UNIVERSO FÓRMULAS
La función tiene una raíz, x = 0
El punto (0, -1) pertenece a la función. Si consultas la página Derivada en un máximo y en un mínimo, también en UNIVERSO FÓRMULAS, verás que con el criterio de la segunda derivada, (0,1) es el único máximo local de la función.
En asíntotas de una función, igualmente de UNIVERSO FÓRMULAS, obtienes la asíntota horizontal (límite finito en el infinito) y = 0.
El rango será [-∞, -1)∪(0,+∞)
Este rango lo puedes hallar analíticamente sacando el dominio de la función inversa (ver la página Función inversa en UNIVERSO FÓRMULAS, donde tienes el método de cálculo). El rango de una función es el dominio de su función inversa.
f-1 = ±√(((x+1)/x)
una función del tipo f(x)= (3x^2 + 1x^(-1) + 1)/( 2x^2 + x – 2) es considerada una función racional ?? tengo esa gran duda, una razón entre polinomios y uno de las variables, exceptuando la de mayor grado siendo está igual o mayor que 0, está elevada a un numero no natural es considerada una función racional? Gracias.
Es una función racional. Se puede reducir a una expresión del tipo:
f(x) = P(x) / Q(x)
Su dominio son los reales excepto el 0, que anula al denominador.
Todas son funciones racionales?
No. Solamente las que sean una razón con la x en el denominador.
Buenas noches tengo una duda.
¿Una función racional es inyectiva o sobreyectiva. ?
Puede no ser ni inyectiva ni sobreyectiva
Buenas tardes necesito ayuda, f(X) =1/X^2-4
¿Qué buscas aquí?
podrian por favor a ayudarme con esta función lineal??
y = ¾necesito hacer un trabajo para hoy y no entiendo esa función racional. por favor!!!
Una función racional es un cociente de dos polinomios. Al menos, el grado del polinomio del denominador tiene que ser de 1, o sea que en el denominador debe existir la variable x.
Tu función lineal y = ¾ no es una función racional. Es una recta paralela al eje de abscisas OX que pasa por el punto 3/4 del eje de OY de ordenadas
es una shit
la neta