Función racional

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Una función racional f(x) es el cociente irreducible de dos polinomios (para ello, no deben tener las mismas raíces). La palabra racional hace referencia a que esta función es una razón.

Expresión de una función racional.

P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador (La variable x debe de estar en el denominador).

El dominio de una función racional son todos los números reales excepto los valores de la variable x que anulan el denominador (Q(x)) = 0), es decir, excepto las raíces del polinomio correspondiente al denominador.

Dominio de una función racional.

La gráfica de estas funciones, si el polinomio del denominador Q(x) es de grado 1, es una hipérbola:

Gráfica de una función racional.

(En todas las funciones racionales en las que el grado del polinomio del numerador P(x) sea el mismo que grado del del denominador Q(x), existe una asíntota horizontal y = a / k, siendo aquí a y k los coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y de Q(x)) respectivamente.

Gráfica de la asíntota de una función racional

Existen varios casos particulares de funciones racionales:

Funciones de proporcionalidad inversa

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Una función es de proporcionalidad inversa cuando la variable dependiente y es igual a una constante dividida por la variable independiente x. Su expresión es:

Expresión de una función de proporcionalidad inversa.

El dominio de la función de proporcionalidad inversa es todos los reales menos el 0, para el que la función no está definida::

Dominio de una función de proporcionalidad inversa.

La derivada de la función de proporcionalidad inversa es:

Expresión de la derivada de una función de proporcionalidad inversa

Su gráfica es una hipérbola equilátera con asíntotas en los ejes de coordenadas X e Y. Su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas (0,0).

Gráfica de una función de proporcionalidad inversa.
  • Si k es positiva, la función es decreciente y la gráfica estará en el 1º y 3º cuadrante.
  • Si k es negativa, la función es creciente y la gráfica se situará en el 2º y el 4º cuadrante.

Funciones del tipo (ax+b)/(cx+d)

Son funciones del tipo:

Función racional del tipo (ax+b)/(cx+d)

La gráfica de estas funciones también son hipérbolas.

Gráfica de la función racional del tipo (ax+b)/(cx+d)

La asíntota vertical es x = – d / c.

La asíntota horizontal es y = a / c.

(En todas las funciones racionales en las que el grado del polinomio del numerador P(x) sea el mismo que grado del del denominador Q(x), existe una asíntota horizontal y = a / k, siendo aquí a y k los coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y de Q(x)) respectivamente.

Funciones del tipo k/(x+a)+b

Sean las funciones racionales del tipo:

Función racional del tipo k/(x+a)+b

Estas funciones son iguales que las funciones de proporcionalidad inversa pero trasladadas. En este caso las asíntotas son las rectas paralelas a los ejes x = –a y y = b.

Gráfica de la función racional del tipo k/(x+a)+b

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2015


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11 Respuestas

  1. Claudio dice:

    una función del tipo f(x)= (3x^2 + 1x^(-1) + 1)/( 2x^2 + x – 2) es considerada una función racional ?? tengo esa gran duda, una razón entre polinomios y uno de las variables, exceptuando la de mayor grado siendo está igual o mayor que 0, está elevada a un numero no natural es considerada una función racional? Gracias.

    • Respuestas dice:

      Es una función racional. Se puede reducir a una expresión del tipo:
      f(x) = P(x) / Q(x)
      Su dominio son los reales excepto el 0, que anula al denominador.

  2. Lesly dice:

    Todas son funciones racionales?

  3. JHON KEVIN TACURI TAYUPANDA dice:

    Buenas noches tengo una duda.
    ¿Una función racional es inyectiva o sobreyectiva. ?

  4. Yam dice:

    Buenas tardes necesito ayuda, f(X) =1/X^2-4

  5. xime dice:

    podrian por favor a ayudarme con esta función lineal??

    y = ¾necesito hacer un trabajo para hoy y no entiendo esa función racional. por favor!!!

    • Respuestas dice:

      Una función racional es un cociente de dos polinomios. Al menos, el grado del polinomio del denominador tiene que ser de 1, o sea que en el denominador debe existir la variable x.
      Tu función lineal y = ¾ no es una función racional. Es una recta paralela al eje de abscisas OX que pasa por el punto 3/4 del eje de OY de ordenadas

  6. sdehytuhdtrsyuhtr dice:

    es una shit

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