Función racional

Una función racional f(x) es el cociente irreducible de dos polinomios (para ello, no deben tener las mismas raíces). La palabra racional hace referencia a que esta función es una razón.

P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador (La variable x debe de estar en el denominador).

El dominio de una función racional son todos los números reales excepto los valores de la variable x que anulan el denominador (Q(x)) = 0), es decir, excepto las raíces del polinomio correspondiente al denominador.

La gráfica de estas funciones, si el polinomio del denominador Q(x) es de grado 1, es una hipérbola:

(En todas las funciones racionales en las que el grado del polinomio del numerador P(x) sea el mismo que grado del del denominador Q(x), existe una asíntota horizontal y = a / k, siendo aquí a y k los coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y de Q(x)) respectivamente.

Existen varios casos particulares de funciones racionales:

Funciones de proporcionalidad inversa

Una función es de proporcionalidad inversa cuando la variable dependiente y es igual a una constante dividida por la variable independiente x. Su expresión es:

El dominio de la función de proporcionalidad inversa es todos los reales menos el 0, para el que la función no está definida::

La derivada de la función de proporcionalidad inversa es:

Su gráfica es una hipérbola equilátera con asíntotas en los ejes de coordenadas X e Y. Su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas (0,0).

• Si k es positiva, la función es decreciente y la gráfica estará en el 1º y 3º cuadrante.
• Si k es negativa, la función es creciente y la gráfica se situará en el 2º y el 4º cuadrante.

Funciones del tipo (ax+b)/(cx+d)

Son funciones del tipo:

La gráfica de estas funciones también son hipérbolas.

La asíntota vertical es x = – d / c.

La asíntota horizontal es y = a / c.

(En todas las funciones racionales en las que el grado del polinomio del numerador P(x) sea el mismo que grado del del denominador Q(x), existe una asíntota horizontal y = a / k, siendo aquí a y k los coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y de Q(x)) respectivamente.

Funciones del tipo k/(x+a)+b

Sean las funciones racionales del tipo:

Estas funciones son iguales que las funciones de proporcionalidad inversa pero trasladadas. En este caso las asíntotas son las rectas paralelas a los ejes x = –a y y = b.