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Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

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La inyectividad, sobreyectividad y biyectividad dan información acerca de como se relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y.

Cabe recordar que una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y).

Expresión general de una función.
Dibujo de una función entre dos conjuntos.

Función inyectiva

La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”.

No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X.

Dibujo de una función inyectiva.

En términos matemáticos, una función f será inyectiva si dados dos puntos xa y xb:

Fórmula de la condición de una función inyectiva.

Dicho de otra manera: una función es inyectiva si se cumple que a valores de su dominio x0x1f(x0) ≠ f(x1).

Una comprobación gráfica de la inyectividad de una función es cuando cualquier recta paralela al eje X corta a la misma, como máximo, en un punto.

Ejemplo de función inyectiva

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La función f(x) = 2x+1 , con los elementos de su dominio restringidos a los números reales positivos, es inyectiva.

Gráfica de una función que si que es inyectiva.

Veamos que se cumple la condición de inyectividad:

Demostración de la condición de inyectividad en un ejemplo.

En efecto, si xa y xb tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.

Veamos la gráfica de otra función:

Gráfica del ejemplo 2 de una función que si que es inyectiva

Esta función no cumple la condición de inyectividad, por lo que no es inyectiva.

Un ejemplo muy palpable de función inyectiva: asignemos a P al conjunto de presidentes de los Estados Unidos de América elegidos en el siglo XXI y a I el conjunto de las fechas de investidura presidenciales en USA también del siglo XXI. Sea f la función que relaciona cada uno de estos presidentes con la fecha de su primera toma de posesión. La función f es, por tanto, inyectiva pues a cada presidente le corresponde una única fecha de su primera toma de posesión. Aunque, por ejemplo, Barack Obama, aparte de la fecha de su primera investidura de 20-1-2009, fuese reelegido por segunda vez el 6-11-2012.

Otro ejemplo de función inyectiva es la del volumen de la esfera, donde r es su radio. Donde volumen y radio, codominio y dominio, son números reales positivos.

Gráfica del ejemplo 3 de una función que si que es inyectiva

Función sobreyectiva

Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

Dibujo de una función sobreyectiva.

Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y. Dicho de otra manera, una función es sobreyectiva cuando son iguales su codominio y su dominio.

En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

Fórmula de la condición de una función sobreyectiva.

Ejemplo de función sobreyectiva

La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.

Gráfica de la función sobreyectiva f(x)=x+1.

Esta función sí que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la función son todos los números reales.

Demostración de que la función f(x)=x+1 es sobreyectiva.

El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es sobreyectiva.

Es decir, que, con la función f(x), todo número real será imagen de, como mínimo, otro número real.

Igualmente, con los mismos argumentos, será sobreyectiva la función:

Gráfica del ejemplo 2 de función sobreyectiva

Función biyectiva

Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).

Digamos que no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial X.

Dibujo de una función biyectiva.

Teóricamente, una función f es biyectiva si:

Fórmula de la condición de una función biyectiva.

Ejemplo de función biyectiva

La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.

Gráfica de una función que si que es biyectiva.

Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad:

Demostración de la condición de inyectividad en un ejemplo de función biyectiva.

Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.

Demostración de la condición de sobreyectividad en un ejemplo de función biyectiva.

La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva.

Resumen

En resumen, se pueden presentar los siguientes casos de funciones:

Dibujo 2 de una función no inyectiva y no sobreyectiva

La función f(x) = 3cos x, si no se restringe su dominio, no es ni inyectiva (rectas horizontales la cortan en más de un punto) ni sobreyectiva (el codominio está restringido a [3, -3]).

Dibujo de una función no inyectiva y no sobreyectiva

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36 Respuestas

  1. ARIANNY dice:

    NO ENTIENDO NADA SOBRE LA BIYECTIVA ME PODRIAN DAR UN EJEMPLO

  2. Inocencia polancoredes1 dice:

    Pienso que las funciones que no son inyectivas, ni sobreyectivas y tampoco biyectivas deberían tener un nombre que alguien se lo ponga. No creen que es más lógico. Los matemáticos actuales sólo hacen lo que hicieron los viejos y no revisan nada ni crean tampoco.

  3. Annabella dice:

    Buenas. ¿como sé cual es el rango de la biyectiva f(x)= x2? Lo necesito.

    • fgomez dice:

      en la expresion f(x)=x^2 para que sea biyectiva hay que definir la funcion a trozos, es decir limitar el dominio de la función, definiendo dos casos.

      Caso 1: f(x)=x^2 con 〖Dom〗_f=(-∞,0]
      Caso 2: f(x)=x^2 con 〖Dom〗_f=[0,+∞)

      En ambos casos el rango o codominio es el mismo 〖Cod〗_f=[0,+∞) ya que son los unicos valores posibles para f(x)

    • Respuestas dice:

      Exacto fgomez, las dos restricciones del rango que propones son unas de las posibles para que f(x) = x² sea biyectiva.

  4. Evelyn Mansilla dice:

    De verdad muchas gracias por la ayuda ha sido un placer comentar esta información

  5. R dice:

    Alguien me puede explicar por qué en la definición de función inyectiva pone: 2x+1=2y+1

    • Respuestas dice:

      Es consecuencia de la inyectividad. Dos valores del dominio de la función, nombrados x e y deben corresponderse con un punto del codominio. x =y y f(x) = f(y). Es la relación “uno a uno“. No pueden haber dos valores del dominio diferentes que se correspondan con el mismo valor del codominio

  6. Luis dice:

    Gracias por el artículo, saludos desde Colombia.

  7. Caro H dice:

    La página está muy incompleta, hace falta ejemplos más completos. No me sirvió de nada 🙁

  8. mariana dice:

    ayuda por favor si tenemos f(x) √(x^2-〖2x〗^2+2 biyectiva en el intervalo x∈(1,+∞)) ayuda por favor

  9. Manuel dice:

    Hola, una duda, Cuando hablas de funcion inyerctiva dices que 2x+1=2y+1. podrias poner ejemplos de eso? en el caso de ser x=1 da y=3 y 2.(3)+1 no da 1(que seria el valor de x). No entendi bien eso asi que con un ejemplo me ayudarias

    • Jose dice:

      No, la y que aparece ahí no es f(x) sino una incógnita a hallar. Si se da el caso que x=y entonces la función es inyectiva.

  10. Andres dice:

    Excelente información muchas muchas gracias por su ayuda, gracias a estas cosas aun hay cosas buenas en internet! sigan asi!!!!

  11. nel prro dice:

    nel prro

  12. Mileiser Colmenarez dice:

    ¡¡Muchass Gracias!! Fue de gran ayuda. ¿Por casualidad no tienen el tema de logaritmos indeterminados?

  13. Julian dice:

    Muy didactico! Recomendaría cambiar/agregar los ejemplos para cubrir los casos de funciones inyectivas y no sobreyectiva y viceverza

  14. Rafael Mora C dice:

    Puede sobrar un elemento en el conjunto inicial/dominio?

  15. Efrén Giraldo dice:

    Saludos. Respetuosamente creo que en el primer gráfico de función inyectiva tienes un error. Al elemento 3 no tener otro elemento correspondiente en el conjunto de llegada no es función.

    • Respuestas dice:

      Efrén, te agradecemos el tono de tu comentario. El elemento no debe pertenecer al campo de existencia o dominio de la función y debe estar fuera de ese subconjunto de los números reales.
      Un saludo de Universo Fórmulas.

  16. katiuska rondon dice:

    es buena definicion.. no entendi la biyectiva.. y las formulas estas bien ..gracias a mi si me sirvio

  17. greidimar dice:

    Me sirvio muchoo

  18. jezuz dice:

    son muy buenas las preguntas…???

  19. maria rodrigue dice:

    muy buen trabajo

  20. Richard dice:

    Excelente trabajo 😀 🙂

  21. Francisco dice:

    Icorrecto. Todo elemento del dominio tiene una imagen. El subconjunto que se encuentra en el conjuto Y es denominado recorrido, la condicion de funcion es que cada elemento x de X tenga al menos un elemento y de Y, pero no la inversa. De otra forma seria f(y).

  22. Alessandro Daniele dice:

    Buenas, creo que hay un problema en el ejercicio de la inyectiva, se puede ver que el conjunto de partida(o el Dominio) no todos estan relacionados y cuando no estan todos relacionados no cumple con la primera condicion para que sea funcion. Por ello se puede concluir que no es funcion es solo una relacion entre conjuntos y gracias a eso no se puede clasificar. De resto los ejercicios estan bien. Estudiante de segundo año bachillerato.

  23. PABLO ESPINOZA dice:

    INTERESANTE EL TRABAJO Y DE FÁCIL ASIMILACIÓN MUY DIDÁCTICO
    FELICITACIONES.

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