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Cargando...La inyectividad, sobreyectividad y biyectividad dan información acerca de cómo se relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y.
Cabe recordar que una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y).
Función inyectiva
La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones «uno a uno».
No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X.
En términos matemáticos, una función f será inyectiva si dados dos puntos xa y xb:
Dicho de otra manera: una función es inyectiva si se cumple que a valores de su dominio x0 ≠ x1 ⇒ f(x0) ≠ f(x1).
Una comprobación gráfica de la inyectividad de una función es cuando cualquier recta paralela al eje X corta a la misma, como máximo, en un punto.
Ejemplo de función inyectiva
La función f(x) = 2x+1 , con los elementos de su dominio restringidos a los números reales positivos, es inyectiva.
Veamos que se cumple la condición de inyectividad:
En efecto, si xa y xb tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.
Veamos la gráfica de otra función:
Esta función no cumple la condición de inyectividad, por lo que no es inyectiva.
Un ejemplo muy palpable de función inyectiva: asignemos a P al conjunto de presidentes de los Estados Unidos de América elegidos en el siglo XXI y a I el conjunto de las fechas de investidura presidenciales en USA también del siglo XXI. Sea f la función que relaciona cada uno de estos presidentes con la fecha de su primera toma de posesión. La función f es, por tanto, inyectiva pues a cada presidente le corresponde una única fecha de su primera toma de posesión. Aunque, por ejemplo, Barack Obama, aparte de la fecha de su primera investidura de 20-1-2009, fuese reelegido por segunda vez el 6-11-2012.
Otro ejemplo de función inyectiva es la del volumen de la esfera, donde r es su radio. Donde los valores de volumen y radio, codominio y dominio, son números reales positivos. Y a cada valor del radio le corresponde un único valor del volumen.
Función sobreyectiva
Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todos los elementos del conjunto final Y tienen al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.
Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y. Dicho de otra manera, una función es sobreyectiva cuando son iguales su codominio y su recorrido o rango.
Por lo tanto, también será sobreyectiva:
En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:
Ejemplo de función sobreyectiva
La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.
Esta función sí que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la función son todos los números reales.
El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es sobreyectiva.
Es decir, que, con la función f(x), todo número real será imagen de, como mínimo, otro número real (en el caso de esta función, imagen de un único número real).
Igualmente, con los mismos argumentos, será sobreyectiva la función definida sobre los reales:
En esta función, todos los elementos del conjunto imagen (que aquí coincide con el codominio), tienen al menos un elemento del conjunto inicial, pudiendo tener dos o tres elementos del conjunto imagen un mismo elemento del conjunto inicial.
Función biyectiva
Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).
Digamos que no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial X.
Formalmente, una función f es biyectiva si:
Ejemplo de función biyectiva
La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.
Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad:
Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.
La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva.
Propiedad
Si f es una función biyectiva, entonces su función inversa f-1 también es biyectiva.
Resumen
En resumen, se pueden presentar los siguientes casos de funciones:
- Ser inyectiva pero no sobreyectiva
- Ser sobreyectiva aunque no inyectiva
- Ser biyectiva (inyectiva y sobreyectiva)
- No ser ni inyectiva ni sobreyectiva
1. Caso de una función inyectiva pero no sobreyectiva:
La función siguiente definida sobre los reales:
Comprobación de la inyectividad:
Es inyectiva porque si xa y xb tienen la misma imagen, necesariamente se trata del mismo elemento.
Comprobación de la sobreyectividad:
No es sobreyectiva porque el recorrido de la función, que son los reales estrictamente positivos, es diferente al codominio sobre la que está definida, que son los reales.
En la gráfica de la función se aprecia que cumple con la condición gráfica de inyectividad: toda recta horizontal que corte la gráfica lo hace en un punto único. Y, a su vez, que no es sobreyectiva porque el recorrido, que son los reales positivos, es diferente del codominio o conjunto de llegada, sobre el que está definida esta función, que son los reales:
2. Caso de una función sobreyectiva aunque no inyectiva:
La función siguiente definida sobre los reales:
No es inyectiva porque existen valores de la función que no cumplen la condición de inyectividad, tales como:
Aparte de la prueba de la recta horizontal, que se aprecia en la imagen de abajo.
Comprobación de la sobreyectividad:
Es sobreyectiva porque el recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y o codominio, que son los números reales.
Muestra la imagen que la función no es inyectiva porque hay rectas horizontales que cortan la gráfica de la función en más de un punto. Además, hay valores diferentes de x que ocasionan valores iguales de la función. Pero que sí que es sobreyectiva porque, tanto el recorrido de la función como el dominio sobre la que está definida son los números reales.
3. Caso de una función biyectiva (inyectiva y sobreyectiva):
La función siguiente definida sobre los reales:
Comprobación de la inyectividad:
Es inyectiva porque si xa y xb tienen la misma imagen, necesariamente se trata del mismo elemento.
Comprobación de la sobreyectividad:
Es sobreyectiva porque el recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y o codominio, que son los números reales.
Como es inyectiva y sobreyectiva, esta función es biyectiva.
En la gráfica de la función se aprecia que cumple con la condición gráfica de inyectividad: toda recta horizontal que corte la gráfica lo hace en un punto único. Al mismo tiempo, también es sobreyectiva porque, tanto el recorrido de la función como el dominio sobre la que está definida son los números reales.
4. Caso de una función ni inyectiva ni sobreyectiva
La función siguiente definida sobre los reales:
Comprobación de la inyectividad:
No es inyectiva porque pares de valores diferentes de x tienen la misma imagen (prueba de la recta horizontal).
No es sobreyectiva porque el recorrido de la función, que son los reales estrictamente positivos, es diferente al codominio sobre la que está definida, que son los reales.
Comprobación del recorrido de la función, despejando la x:
El radicando de la raíz cuadrada no puede ser un número negativo, por lo que resolveremos esta inecuación:
Por lo que el recorrido de la función está formado por el conjunto de números reales iguales o mayores que 2.
El recorrido de la función es menor que su dominio, que es el conjunto de números reales. La función no es sobreyectiva.
La imagen indica que la función no cumple con la condición gráfica de inyectividad. Hay rectas que cortan la gráfica en más de un punto. Al mismo tiempo, tampoco es sobreyectiva porque el recorrido es una parte del dominio.
Quisiera saber si f(x)= Raiz de 1-x es biyectiva, y en caso de serlo como determino su inversa
No es biyectiva. Su inversa no lo es.
y = √(1 – x)
y² = 1 – x
Se intercambian
x² = 1 – y
y = 1 – x²
La inversa no es biyectiva
Dadas las siguientes funciones determinar el grafico, el dominio, rango si es biyectiva, inyectiva o sobreyectiva.
a. f(x) = 3x-1 ( ptos 2%)
b. f(x) = 5 – x2 ( ptos 3%)
c. f(x) = √ 9 − 𝑥 2 ( ptos 3%)
e. f(x) = |3𝑥 + 2| ( ptos 3%)
f. f(x) = |𝑥| + 1 ( ptos 3%)
a) (-∞, ∞), (-∞, ∞), biyectiva
b) (-∞, ∞), (-∞, 5], ni inyectiva ni sobreyectiva
c) [-3,3], [0, 3], ni inyectiva ni sobreyectiva
e) (-∞, ∞), [0,∞), sobreyectiva si se restringe el codominio a los enteros no negativos
f) (-∞, ∞), [1,∞), sobreyectiva si se restringe el codominio a los naturales
Es función sobreyectiva ¿?
f(x)=(x^3)-√x
No, si el codominio está definido sobre los reales. Entonces el codominio y el rango no son iguales y no es sobreyectiva.
Rango x ≥ – 0,58
[- 0,58, ∞)
f(x)=x/x-1 es sobreyectiva?
No, si el codominio está definido sobre los reales. Entonces el codominio y el rango no son iguales y no es sobreyectiva.
Rango f(x) < 1 ∨ f(x) > 1
(- ∞ , 1) ∪ (1, ∞)
Determina cuales de las siguientes funciones son Inyectivas. Justifica tu respuesta.
f(x)= (x+1)^2- x^2
f(x)=0,3x^4
f(x)=3+ e^x
f(x)= log〖x+2〗
ayuda porfavor
Mira en esta página las condiciones para la inyectividad.
1ª Sí
2ª No
3ª Sí
4ª Sí
Hola me podrían ayudar con estos?
a) ℎ1: ℝ → ℝ /ℎ1(𝑥) = (½)x
b) ℎ2: ℝ → ℝ+ /ℎ2(𝑥) = (½)x
c) logP ℝ+ → ℝ/ 𝑙𝑜𝑔( 1/2 ) (𝑥) = y
Hola, buenos días. Me podrías decir el nombre con el que se conoce una función que no es inyectiva ni sobreyectiva, cómo es el aso de las funciones cuadráticas. Gracias.
Funciones ni inyectivas ni sobreyectivas.
Respecto a las cuadráticas, depende de como esté definido el dominio o restringido el rango.
Felicitaciones, quería acotar que el ejemplo en el caso 4, esta tomada la función del ejercicio del caso 3. Gracias por su aporte.
La función
f(x) = x³ – 4x², es la misma, en la que en el primer caso figura como ejemplo de no inyectiva mientras que en el segundo como caso de sobreyectiva.
Es inyectiva la siguíen te función?
F={(1,2),(2,3),(3,4),(4,4)}
Definida del conjunto
X={1,2,3,4} en el conjunto
Y={2,3,4}
Sí que lo es.
Lee el primer párrafo de la página.
Ayudenme por favor, es biyectiva esta función?
f(x)=(x^3)-√x
Comprueba en esta página con que basta que no sea inyectiva para que tampoco sea biyectiva.
f(0,1635) = f(0,787)
0,1635 ≠ 0,787
Buenas tardes, por favor, me ayudan a saber si estas funciones son biyectivas?
f(x)=(√x)+2
f(x)=(x^3)-√x
Compruébalo también en esta misma página.
La primera función sí que es biyectiva (Definida sobre los reales positivos)
La segunda, definida también sobre reales positivos),no es biyectiva.
f(0,005) = f(0,4246)
Muy buenos dias…Cm se si esta funcion es inyectiva ,sobreunyectiva y biyectiva, diga cual es el dominio y cual es el rango …..le agradesco cualquier ayuda por favor
A b
1 a
2 b
3 c
1 a
Con estos cinco pares de valores, no lo veo suficiente.
Hola me pueden decir si una función no es inyectiva ni sobreyectiva que seria porque en uno de los ejercicios que plantee supuestamente es una función constante porque no cumplía ninguna de las opciones y obviamente al no ser inyectiva ni sobreyectiva tampoco puede ser biyectiva si me ayudan
Una función constante no es inyectiva porque todos los elementos del dominio tienen la misma imagen. Por lo que tampoco es biyectiva.
Determinar cuáles de las siguientes funciones de reales en reales son inyectivas,
sobreyectivas o biyectivas. Justifica tu respuesta.
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥
b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4
c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
d. 𝑓(𝑥) = √𝑥
4. Da un ejemplo de una función que cumpla con cada condición. Justifica la respuesta.
a. Es inyectiva, pero no biyectiva
b. Es sobreyectiva pero no biyectiva
c. Satisface que f(4)=4 y es inyectiva
d. Satisface que f(1)=f(-1)= 10 y es sobreyectiva
5. Determine, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
a. Si la función f, f:R R es sobreyectiva, entonces la gráfica de la función corta el eje y.
b. Si la función f, f:R R es inyectiva, entonces la gráfica de la función corta el eje x.
Determinar cuáles de las siguientes funciones de reales en reales son inyectivas,
sobreyectivas o biyectivas. Justifica tu respuesta.
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥
b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4
c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
d. 𝑓(𝑥) = √𝑥
Da un ejemplo de una función que cumpla con cada condición. Justifica la respuesta.
a. Es inyectiva, pero no biyectiva
b. Es sobreyectiva pero no biyectiva
c. Satisface que f(4)=4 y es inyectiva
d. Satisface que f(1)=f(-1)= 10 y es sobreyectiva
Determine, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
a. Si la función f, f:R R es sobreyectiva, entonces la gráfica de la función corta el eje y.
b. Si la función f, f:R R es inyectiva, entonces la gráfica de la función corta el eje x.
Me podrias ayudar con esto. Gracias
Resolver e identificar si es funcion inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
a) f(x)= x²–1
b) f(x)= x + 7
c) f(x)= x³ – 2
d) f(x)=√x + 2
e) f(x)=x² –x + 2
f) f(x)= 3x–5
g) f(x)= √2x – 3 quisiera que me ayuden
a) f(x)= x²–1
No es Inyectiva, no es Sobreyectiva, no es Biyectiva.
b) f(x)= x + 7
Es Inyectiva, es Sobreyectiva, es Biyectiva.
c) f(x)= x³ – 2
Es Inyectiva, es Sobreyectiva, es Biyectiva.
d) f(x)=√x + 2
Es Inyectiva, no es Sobreyectiva, no es Biyectiva.
e) f(x)=x² –x + 2
No es Inyectiva, no es Sobreyectiva, no es Biyectiva.
f) f(x)= 3x–5
Es Inyectiva, es Sobreyectiva, es Biyectiva.
g) f(x)= √2x – 3
Es Inyectiva, no es Sobreyectiva, no es Biyectiva.
Muy bien, Kariana. Así es.
La función potencia con n par .QUE TIPO DE FUNCIÓN ES?
Función potencia o potencial. Con exponente n par, como preguntas.
De forma:
y = axn
Siendo el exponente n un número natural.
Función continua en todo su dominio, que son los números reales.
Gráfica simétrica respecto a eje Y
Si n par positiva, depende del signo de a. Si a > 0, gráfica el 1 y 2 cuadrante. Y si a < 0, gráfica en 3 y 4 cuadrante. El dominio son los números reales. Si n par negativa, depende del signo de a Y tiene asíntotas en los ejes X, Y.
Si a > 0, gráfica el 1 y 2 cuadrante. Y si a < 0, gráfica en 3 y 4 cuadrante. El dominio son los números reales, excepto el 0.
miren me mandaron una tarea de hacer dos funciones inyectiva pero lo q no entiendo es que si es dos x ejenplo inyectiva y no inyectiva o son las dos inyectiva
Me temo que no he entendido el planteamiento.
Una funcion discontinua puede ser sobreyectiva?
No, en una función discontinua, al menos cuando no exista para x = a su imagen f(a).
Entonces no es sobreyectiva, porque no son iguales su dominio y su recorrido.
Una función discontinua (evitable) puede ser sobreyectiva. Todo depende de su codominio. Si el codominio incluye la «imagen» de la discontinuidad, no es sobreyectiva. Caso contrario, sí lo es.
Ejemplo f(x) = (x^2-4) /( x + 2) siendo su dominio R – {-2} presenta una discontinuidad evitable en x = -2.
Si su codominio es R, no es sobreyectiva.
Si su codominio es R – {-4} es sobreyectiva.
Efectivamente, Juan. El codominio debe de ser igual al recorrido.
El ejemplo puesto:
f(x) = (x² – 4) / (x + 2) = [(x + 2)*(x – 2)] / (x + 2) = x – 2
es en realidad una función afín. Continua.
Sería discontinua, por ejemplo:
f(x) = (x² – 5) / (x + 2)
Pero sería discontinuidad inevitable de salto infinito
wtf
NO ENTIENDO NADA SOBRE LA BIYECTIVA ME PODRIAN DAR UN EJEMPLO
Un caso sencillo:
A un restaurante de éxito acceden los clientes a la hora de la comida.
El mâitre comprueba que todas las mesas están ocupadas y que no ha quedado ni una silla vacía ni se ha quedado ningún cliente sin sentarse.
En este caso, hay una relación biyectiva entre clientes y sillas del comedor.
Pienso que las funciones que no son inyectivas, ni sobreyectivas y tampoco biyectivas deberían tener un nombre que alguien se lo ponga. No creen que es más lógico. Los matemáticos actuales sólo hacen lo que hicieron los viejos y no revisan nada ni crean tampoco.
creo que se les llama funciones sin relacion por lo tanto al no tener relacion no hay nada que nombrar mas que indicar que no tienen relacion. Saludos
Leer atentamente los primeros párrafos de la página «funciones de UNIVERSO FÓRMULAS:
Las funciones son reglas que relacionan los elementos de un conjunto con los elementos de un segundo conjunto.
Cuando una magnitud depende de otra, se dice que está en función de ésta.
Una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). A cada elemento de X le corresponde, un y solo un elemento de Y.
Es decir, que una función es una relación (o correspondencia).
Pero no toda relación es una función.
En la función está la restricción: «A cada elemento de X le corresponde, un y solo un elemento de Y».
Espero que te sirva.
Si una X salida tiene varias Y llegada ya no se llama función, se llama relación. (es de lo más sórdido que una X tenga varias Ys )
En efecto. Consulta la definición de función en la página funciones en UNIVERSO FÓRMULAS.
Buenas. ¿como sé cual es el rango de la biyectiva f(x)= x2? Lo necesito.
en la expresion f(x)=x^2 para que sea biyectiva hay que definir la funcion a trozos, es decir limitar el dominio de la función, definiendo dos casos.
Caso 1: f(x)=x^2 con 〖Dom〗_f=(-∞,0]
Caso 2: f(x)=x^2 con 〖Dom〗_f=[0,+∞)
En ambos casos el rango o codominio es el mismo 〖Cod〗_f=[0,+∞) ya que son los unicos valores posibles para f(x)
Exacto fgomez, las dos restricciones del rango que propones son unas de las posibles para que f(x) = x² sea biyectiva.
De verdad muchas gracias por la ayuda ha sido un placer comentar esta información
Alguien me puede explicar por qué en la definición de función inyectiva pone: 2x+1=2y+1
Es consecuencia de la inyectividad. Dos valores del dominio de la función, nombrados x e y deben corresponderse con un punto del codominio. x =y y f(x) = f(y). Es la relación «uno a uno«. No pueden haber dos valores del dominio diferentes que se correspondan con el mismo valor del codominio
Gracias por el artículo, saludos desde Colombia.
La página está muy incompleta, hace falta ejemplos más completos. No me sirvió de nada 🙁
Es cierto
ayuda por favor si tenemos f(x) √(x^2-〖2x〗^2+2 biyectiva en el intervalo x∈(1,+∞)) ayuda por favor
Define con más precisión la función, especialmente la parte que va dentro de la raiz
Hola, una duda, Cuando hablas de funcion inyerctiva dices que 2x+1=2y+1. podrias poner ejemplos de eso? en el caso de ser x=1 da y=3 y 2.(3)+1 no da 1(que seria el valor de x). No entendi bien eso asi que con un ejemplo me ayudarias
No, la y que aparece ahí no es f(x) sino una incógnita a hallar. Si se da el caso que x=y entonces la función es inyectiva.
Excelente información muchas muchas gracias por su ayuda, gracias a estas cosas aun hay cosas buenas en internet! sigan asi!!!!
nel prro
¡¡Muchass Gracias!! Fue de gran ayuda. ¿Por casualidad no tienen el tema de logaritmos indeterminados?
Muy amable.
Se implementará próximamente.
Muy didactico! Recomendaría cambiar/agregar los ejemplos para cubrir los casos de funciones inyectivas y no sobreyectiva y viceverza
Puede sobrar un elemento en el conjunto inicial/dominio?
Podrías concretar en qué caso aprecias que sobra un elemento del dominio?
Gracias
Saludos. Respetuosamente creo que en el primer gráfico de función inyectiva tienes un error. Al elemento 3 no tener otro elemento correspondiente en el conjunto de llegada no es función.
Efrén, te agradecemos el tono de tu comentario. El elemento no debe pertenecer al campo de existencia o dominio de la función y debe estar fuera de ese subconjunto de los números reales.
Un saludo de Universo Fórmulas.
es buena definicion.. no entendi la biyectiva.. y las formulas estas bien ..gracias a mi si me sirvio
Me sirvio muchoo
son muy buenas las preguntas…???
muy buen trabajo
Malo
Excelente trabajo 😀 🙂
Icorrecto. Todo elemento del dominio tiene una imagen. El subconjunto que se encuentra en el conjuto Y es denominado recorrido, la condicion de funcion es que cada elemento x de X tenga al menos un elemento y de Y, pero no la inversa. De otra forma seria f(y).
Buenas, creo que hay un problema en el ejercicio de la inyectiva, se puede ver que el conjunto de partida(o el Dominio) no todos estan relacionados y cuando no estan todos relacionados no cumple con la primera condicion para que sea funcion. Por ello se puede concluir que no es funcion es solo una relacion entre conjuntos y gracias a eso no se puede clasificar. De resto los ejercicios estan bien. Estudiante de segundo año bachillerato.
¡Tienes razón, en el diagrama de Venn!
INTERESANTE EL TRABAJO Y DE FÁCIL ASIMILACIÓN MUY DIDÁCTICO
FELICITACIONES.
Claro que si