Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

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La inyectividad, sobreyectividad y biyectividad dan información acerca de cómo se relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y.

Cabe recordar que una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y).

Expresión general de una función.
Dibujo de una función entre dos conjuntos.

Función inyectiva

La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”.

No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X.

Dibujo de una función inyectiva.

En términos matemáticos, una función f será inyectiva si dados dos puntos xa y xb:

Fórmula de la condición de una función inyectiva.

Dicho de otra manera: una función es inyectiva si se cumple que a valores de su dominio x0x1f(x0) ≠ f(x1).

Una comprobación gráfica de la inyectividad de una función es cuando cualquier recta paralela al eje X corta a la misma, como máximo, en un punto.

Ejemplo de función inyectiva

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La función f(x) = 2x+1 , con los elementos de su dominio restringidos a los números reales positivos, es inyectiva.

Gráfica de una función que si que es inyectiva.

Veamos que se cumple la condición de inyectividad:

Demostración de la condición de inyectividad en un ejemplo.

En efecto, si xa y xb tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.

Veamos la gráfica de otra función:

Gráfica del ejemplo 2 de una función que si que es inyectiva

Esta función no cumple la condición de inyectividad, por lo que no es inyectiva.

Un ejemplo muy palpable de función inyectiva: asignemos a P al conjunto de presidentes de los Estados Unidos de América elegidos en el siglo XXI y a I el conjunto de las fechas de investidura presidenciales en USA también del siglo XXI. Sea f la función que relaciona cada uno de estos presidentes con la fecha de su primera toma de posesión. La función f es, por tanto, inyectiva pues a cada presidente le corresponde una única fecha de su primera toma de posesión. Aunque, por ejemplo, Barack Obama, aparte de la fecha de su primera investidura de 20-1-2009, fuese reelegido por segunda vez el 6-11-2012.

Otro ejemplo de función inyectiva es la del volumen de la esfera, donde r es su radio. Donde los valores de volumen y radio, codominio y dominio, son números reales positivos. Y a cada valor del radio le corresponde un único valor del volumen.

Gráfica del ejemplo 3 de una función que si que es inyectiva

Función sobreyectiva

Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todos los elementos del conjunto final Y tienen al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

Dibujo de una función sobreyectiva.

Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y. Dicho de otra manera, una función es sobreyectiva cuando son iguales su codominio y su recorrido o rango.

Por lo tanto, también será sobreyectiva:

Dibujo de un ejemplo de una función sobreyectiva

En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

Fórmula de la condición de una función sobreyectiva.

Ejemplo de función sobreyectiva

La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.

Gráfica de la función sobreyectiva f(x)=x+1.

Esta función sí que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la función son todos los números reales.

Demostración de que la función f(x)=x+1 es sobreyectiva.

El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es sobreyectiva.

Es decir, que, con la función f(x), todo número real será imagen de, como mínimo, otro número real (en el caso de esta función, imagen de un único número real).

Igualmente, con los mismos argumentos, será sobreyectiva la función definida sobre los reales:

Gráfica del ejemplo 2 de función sobreyectiva

En esta función, todos los elementos del conjunto imagen (que aquí coincide con el codominio), tienen al menos un elemento del conjunto inicial, pudiendo tener dos o tres elementos del conjunto imagen un mismo elemento del conjunto inicial.

Función biyectiva

Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).

Digamos que no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial X.

Dibujo de una función biyectiva.

Formalmente, una función f es biyectiva si:

Fórmula de la condición de una función biyectiva.

Ejemplo de función biyectiva

La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.

Gráfica de una función que si que es biyectiva.

Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad:

Demostración de la condición de inyectividad en un ejemplo de función biyectiva.

Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.

Demostración de la condición de sobreyectividad en un ejemplo de función biyectiva.

La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva.

Resumen

En resumen, se pueden presentar los siguientes casos de funciones:

  1. Ser inyectiva pero no sobreyectiva
  2. Ser sobreyectiva aunque no inyectiva
  3. Ser biyectiva (inyectiva y sobreyectiva)
  4. No ser ni inyectiva ni sobreyectiva

1. Caso de una función inyectiva pero no sobreyectiva:

La función siguiente definida sobre los reales:

Definición de función inyectiva no sobreyectiva

Comprobación de la inyectividad:

Comprobación de inyectividad de función inyectiva no sobreyectiva

Es inyectiva porque si xa y xb tienen la misma imagen, necesariamente se trata del mismo elemento.

Comprobación de la sobreyectividad:

Comprobación de sobreyectividad de función inyectiva no sobreyectiva

No es sobreyectiva porque el recorrido de la función, que son los reales estrictamente positivos, es diferente al codominio sobre la que está definida, que son los reales.

En la gráfica de la función se aprecia que cumple con la condición gráfica de inyectividad: toda recta horizontal que corte la gráfica lo hace en un punto único. Y, a su vez, que no es sobreyectiva porque el recorrido, que son los reales positivos, es diferente del codominio o conjunto de llegada, sobre el que está definida esta función, que son los reales:

Gráfica de un ejemplo de función inyectiva no sobreyectiva

2. Caso de una función sobreyectiva aunque no inyectiva:

La función siguiente definida sobre los reales:

Definición de función sobreyectiva no inyectiva

No es inyectiva porque existen valores de la función que no cumplen la condición de inyectividad, tales como:

Comprobación de inyectividad de función sobreyectiva no inyectiva

Aparte de la prueba de la recta horizontal, que se aprecia en la imagen de abajo.

Comprobación de la sobreyectividad:

Comprobación de sobreyectividad de función sobreyectiva no inyectiva

Es sobreyectiva porque el recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y o codominio, que son los números reales.

Muestra la imagen que la función no es inyectiva porque hay rectas horizontales que cortan la gráfica de la función en más de un punto. Además, hay valores diferentes de x que ocasionan valores iguales de la función. Pero que sí que es sobreyectiva porque, tanto el recorrido de la función como el dominio sobre la que está definida son los números reales.

Gráfica de un ejemplo de función sobreyectiva no inyectiva

3. Caso de una función biyectiva (inyectiva y sobreyectiva):

La función siguiente definida sobre los reales:

Definición de función biyectiva

Comprobación de la inyectividad:

Comprobación de inyectividad de función inyectiva no sobreyectiva

Es inyectiva porque si xa y xb tienen la misma imagen, necesariamente se trata del mismo elemento.

Comprobación de la sobreyectividad:

Comprobación de sobreyectividad de función no inyectiva no sobreyectiva

Es sobreyectiva porque el recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y o codominio, que son los números reales.

Como es inyectiva y sobreyectiva, esta función es biyectiva.

En la gráfica de la función se aprecia que cumple con la condición gráfica de inyectividad: toda recta horizontal que corte la gráfica lo hace en un punto único. Al mismo tiempo, también es sobreyectiva porque, tanto el recorrido de la función como el dominio sobre la que está definida son los números reales.

Gráfica de un ejemplo de función biyectiva

4. Caso de una función ni inyectiva ni sobreyectiva

La función siguiente definida sobre los reales:

Definición de función no inyectiva no sobreyectiva

Comprobación de la inyectividad:

Comprobación de inyectividad de función no inyectiva no sobreyectiva

No es inyectiva porque pares de valores diferentes de x tienen la misma imagen.

No es sobreyectiva porque el recorrido de la función, que son los reales estrictamente positivos, es diferente al codominio sobre la que está definida, que son los reales.

Cálculo del recorrido de función no inyectiva no sobreyectiva

Comprobación del recorrido de la función, despejando la x:

Cálculo 2 del recorrido de función no inyectiva no sobreyectiva

El radicando de la raíz cuadrada no puede ser un número negativo, por lo que resolveremos esta inecuación:

Cálculo 3 del recorrido de función no inyectiva no sobreyectiva

Por lo que el recorrido de la función está formado por el conjunto de números reales iguales o mayores que 2.

El recorrido de la función es menor que su dominio, que es el conjunto de números reales. La función no es sobreyectiva.

La imagen indica que la función no cumple con la condición gráfica de inyectividad. Hay rectas que cortan la gráfica en más de un punto. Al mismo tiempo, tampoco es sobreyectiva porque el recorrido es una parte del dominio.

Gráfica de un ejemplo de función no inyectiva no sobreyectiva

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2015


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62 Respuestas

  1. PABLO ESPINOZA dice:

    INTERESANTE EL TRABAJO Y DE FÁCIL ASIMILACIÓN MUY DIDÁCTICO
    FELICITACIONES.

  2. Alessandro Daniele dice:

    Buenas, creo que hay un problema en el ejercicio de la inyectiva, se puede ver que el conjunto de partida(o el Dominio) no todos estan relacionados y cuando no estan todos relacionados no cumple con la primera condicion para que sea funcion. Por ello se puede concluir que no es funcion es solo una relacion entre conjuntos y gracias a eso no se puede clasificar. De resto los ejercicios estan bien. Estudiante de segundo año bachillerato.

  3. Francisco dice:

    Icorrecto. Todo elemento del dominio tiene una imagen. El subconjunto que se encuentra en el conjuto Y es denominado recorrido, la condicion de funcion es que cada elemento x de X tenga al menos un elemento y de Y, pero no la inversa. De otra forma seria f(y).

  4. Richard dice:

    Excelente trabajo 😀 🙂

  5. maria rodrigue dice:

    muy buen trabajo

  6. jezuz dice:

    son muy buenas las preguntas…???

  7. greidimar dice:

    Me sirvio muchoo

  8. katiuska rondon dice:

    es buena definicion.. no entendi la biyectiva.. y las formulas estas bien ..gracias a mi si me sirvio

  9. Efrén Giraldo dice:

    Saludos. Respetuosamente creo que en el primer gráfico de función inyectiva tienes un error. Al elemento 3 no tener otro elemento correspondiente en el conjunto de llegada no es función.

    • Respuestas dice:

      Efrén, te agradecemos el tono de tu comentario. El elemento no debe pertenecer al campo de existencia o dominio de la función y debe estar fuera de ese subconjunto de los números reales.
      Un saludo de Universo Fórmulas.

  10. Rafael Mora C dice:

    Puede sobrar un elemento en el conjunto inicial/dominio?

  11. Julian dice:

    Muy didactico! Recomendaría cambiar/agregar los ejemplos para cubrir los casos de funciones inyectivas y no sobreyectiva y viceverza

  12. Mileiser Colmenarez dice:

    ¡¡Muchass Gracias!! Fue de gran ayuda. ¿Por casualidad no tienen el tema de logaritmos indeterminados?

  13. nel prro dice:

    nel prro

  14. Andres dice:

    Excelente información muchas muchas gracias por su ayuda, gracias a estas cosas aun hay cosas buenas en internet! sigan asi!!!!

  15. Manuel dice:

    Hola, una duda, Cuando hablas de funcion inyerctiva dices que 2x+1=2y+1. podrias poner ejemplos de eso? en el caso de ser x=1 da y=3 y 2.(3)+1 no da 1(que seria el valor de x). No entendi bien eso asi que con un ejemplo me ayudarias

    • Jose dice:

      No, la y que aparece ahí no es f(x) sino una incógnita a hallar. Si se da el caso que x=y entonces la función es inyectiva.

  16. mariana dice:

    ayuda por favor si tenemos f(x) √(x^2-〖2x〗^2+2 biyectiva en el intervalo x∈(1,+∞)) ayuda por favor

  17. Caro H dice:

    La página está muy incompleta, hace falta ejemplos más completos. No me sirvió de nada 🙁

  18. Luis dice:

    Gracias por el artículo, saludos desde Colombia.

  19. R dice:

    Alguien me puede explicar por qué en la definición de función inyectiva pone: 2x+1=2y+1

    • Respuestas dice:

      Es consecuencia de la inyectividad. Dos valores del dominio de la función, nombrados x e y deben corresponderse con un punto del codominio. x =y y f(x) = f(y). Es la relación “uno a uno“. No pueden haber dos valores del dominio diferentes que se correspondan con el mismo valor del codominio

  20. Evelyn Mansilla dice:

    De verdad muchas gracias por la ayuda ha sido un placer comentar esta información

  21. Annabella dice:

    Buenas. ¿como sé cual es el rango de la biyectiva f(x)= x2? Lo necesito.

    • fgomez dice:

      en la expresion f(x)=x^2 para que sea biyectiva hay que definir la funcion a trozos, es decir limitar el dominio de la función, definiendo dos casos.

      Caso 1: f(x)=x^2 con 〖Dom〗_f=(-∞,0]
      Caso 2: f(x)=x^2 con 〖Dom〗_f=[0,+∞)

      En ambos casos el rango o codominio es el mismo 〖Cod〗_f=[0,+∞) ya que son los unicos valores posibles para f(x)

    • Respuestas dice:

      Exacto fgomez, las dos restricciones del rango que propones son unas de las posibles para que f(x) = x² sea biyectiva.

  22. Inocencia polancoredes1 dice:

    Pienso que las funciones que no son inyectivas, ni sobreyectivas y tampoco biyectivas deberían tener un nombre que alguien se lo ponga. No creen que es más lógico. Los matemáticos actuales sólo hacen lo que hicieron los viejos y no revisan nada ni crean tampoco.

    • Cabitodeoro dice:

      Si una X salida tiene varias Y llegada ya no se llama función, se llama relación. (es de lo más sórdido que una X tenga varias Ys )

    • Respuestas dice:

      En efecto. Consulta la definición de función en la página funciones en UNIVERSO FÓRMULAS.

    • Ed dice:

      creo que se les llama funciones sin relacion por lo tanto al no tener relacion no hay nada que nombrar mas que indicar que no tienen relacion. Saludos

    • Respuestas dice:

      Leer atentamente los primeros párrafos de la página “funciones de UNIVERSO FÓRMULAS:
      Las funciones son reglas que relacionan los elementos de un conjunto con los elementos de un segundo conjunto.

      Cuando una magnitud depende de otra, se dice que está en función de ésta.

      Una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). A cada elemento de X le corresponde, un y solo un elemento de Y.
      Es decir, que una función es una relación (o correspondencia).
      Pero no toda relación es una función.
      En la función está la restricción: “A cada elemento de X le corresponde, un y solo un elemento de Y”.
      Espero que te sirva.

  23. ARIANNY dice:

    NO ENTIENDO NADA SOBRE LA BIYECTIVA ME PODRIAN DAR UN EJEMPLO

    • Respuestas dice:

      Un caso sencillo:
      A un restaurante de éxito acceden los clientes a la hora de la comida.
      El mâitre comprueba que todas las mesas están ocupadas y que no ha quedado ni una silla vacía ni se ha quedado ningún cliente sin sentarse.
      En este caso, hay una relación biyectiva entre clientes y sillas del comedor.

  24. PVC dice:

    Una funcion discontinua puede ser sobreyectiva?

    • Respuestas dice:

      No, en una función discontinua, al menos cuando no exista para x = a su imagen f(a).
      Entonces no es sobreyectiva, porque no son iguales su dominio y su codominio.

  25. Alba zuñiga rugel dice:

    miren me mandaron una tarea de hacer dos funciones inyectiva pero lo q no entiendo es que si es dos x ejenplo inyectiva y no inyectiva o son las dos inyectiva

  26. Ximena dice:

    La función potencia con n par .QUE TIPO DE FUNCIÓN ES?

    • Respuestas dice:

      Función potencia o potencial. Con exponente n par, como preguntas.
      De forma:
      y = axn
      Siendo el exponente n un número natural.
      Función continua en todo su dominio, que son los números reales.
      Gráfica simétrica respecto a eje Y
      Si n par positiva, depende del signo de a. Si a > 0, gráfica el 1 y 2 cuadrante. Y si a < 0, gráfica en 3 y 4 cuadrante. El dominio son los números reales. Si n par negativa, depende del signo de a Y tiene asíntotas en los ejes X, Y.
      Si a > 0, gráfica el 1 y 2 cuadrante. Y si a < 0, gráfica en 3 y 4 cuadrante. El dominio son los números reales, excepto el 0.

  27. kariana españa dice:

    a) f(x)= x²–1

    No es Inyectiva, no es Sobreyectiva, no es Biyectiva.

    b) f(x)= x + 7

    Es Inyectiva, es Sobreyectiva, es Biyectiva.

    c) f(x)= x³ – 2

    Es Inyectiva, es Sobreyectiva, es Biyectiva.

    d) f(x)=√x + 2

    Es Inyectiva, no es Sobreyectiva, no es Biyectiva.

    e) f(x)=x² –x + 2

    No es Inyectiva, no es Sobreyectiva, no es Biyectiva.

    f) f(x)= 3x–5

    Es Inyectiva, es Sobreyectiva, es Biyectiva.

    g) f(x)= √2x – 3

    Es Inyectiva, no es Sobreyectiva, no es Biyectiva.

  28. kariana españa dice:

    Resolver e identificar si es funcion inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
    a) f(x)= x²–1
    b) f(x)= x + 7
    c) f(x)= x³ – 2
    d) f(x)=√x + 2
    e) f(x)=x² –x + 2
    f) f(x)= 3x–5
    g) f(x)= √2x – 3 quisiera que me ayuden

  29. Mariana V dice:

    Determinar cuáles de las siguientes funciones de reales en reales son inyectivas,
    sobreyectivas o biyectivas. Justifica tu respuesta.
    a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥
    b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4
    c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
    d. 𝑓(𝑥) = √𝑥
    Da un ejemplo de una función que cumpla con cada condición. Justifica la respuesta.
    a. Es inyectiva, pero no biyectiva
    b. Es sobreyectiva pero no biyectiva
    c. Satisface que f(4)=4 y es inyectiva
    d. Satisface que f(1)=f(-1)= 10 y es sobreyectiva
    Determine, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
    a. Si la función f, f:R R es sobreyectiva, entonces la gráfica de la función corta el eje y.
    b. Si la función f, f:R R es inyectiva, entonces la gráfica de la función corta el eje x.
    Me podrias ayudar con esto. Gracias

  30. Mariana V dice:

    Determinar cuáles de las siguientes funciones de reales en reales son inyectivas,
    sobreyectivas o biyectivas. Justifica tu respuesta.
    a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥
    b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4
    c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
    d. 𝑓(𝑥) = √𝑥
    4. Da un ejemplo de una función que cumpla con cada condición. Justifica la respuesta.
    a. Es inyectiva, pero no biyectiva
    b. Es sobreyectiva pero no biyectiva
    c. Satisface que f(4)=4 y es inyectiva
    d. Satisface que f(1)=f(-1)= 10 y es sobreyectiva
    5. Determine, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
    a. Si la función f, f:R R es sobreyectiva, entonces la gráfica de la función corta el eje y.
    b. Si la función f, f:R R es inyectiva, entonces la gráfica de la función corta el eje x.

  31. Araceli dice:

    Hola me pueden decir si una función no es inyectiva ni sobreyectiva que seria porque en uno de los ejercicios que plantee supuestamente es una función constante porque no cumplía ninguna de las opciones y obviamente al no ser inyectiva ni sobreyectiva tampoco puede ser biyectiva si me ayudan

    • Respuestas dice:

      Una función constante no es inyectiva porque todos los elementos del dominio tienen la misma imagen. Por lo que tampoco es biyectiva.

  32. Jankins dice:

    Muy buenos dias…Cm se si esta funcion es inyectiva ,sobreunyectiva y biyectiva, diga cual es el dominio y cual es el rango …..le agradesco cualquier ayuda por favor
    A b

    1 a
    2 b
    3 c
    1 a

  33. Dilesa Espinoza dice:

    Buenas tardes, por favor, me ayudan a saber si estas funciones son biyectivas?
    f(x)=(√x)+2
    f(x)=(x^3)-√x

    • Respuestas dice:

      Compruébalo también en esta misma página.
      La primera función sí que es biyectiva (Definida sobre los reales positivos)
      La segunda, definida también sobre reales positivos),no es biyectiva.
      f(0,005) = f(0,4246)

  34. Omar Morales dice:

    Ayudenme por favor, es biyectiva esta función?
    f(x)=(x^3)-√x

    • Respuestas dice:

      Comprueba en esta página con que basta que no sea inyectiva para que tampoco sea biyectiva.
      f(0,1635) = f(0,787)
      0,1635 ≠ 0,787

  35. Lisandro dice:

    Es inyectiva la siguíen te función?
    F={(1,2),(2,3),(3,4),(4,4)}
    Definida del conjunto
    X={1,2,3,4} en el conjunto
    Y={2,3,4}

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