Triángulo rectángulo

Triángulo rectángulo

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Dibujo del triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo es un polígono de tres lados que tiene uno de sus ángulos recto (α=90°).

Los dos ángulos menores (β y γ) suman 90°.

Los elementos de un triángulo rectángulo son: los dos lados contiguos al ángulo recto, a y b (cada uno de ellos es un cateto), y el lado mayor c, opuesto al ángulo recto, que es la hipotenusa.

Tipos de triángulo rectángulo

Hay dos tipos de triángulo rectángulo, según los dos ángulos águdos:

    Dibujo del triángulo rectángulo isósceles

  • Triángulo rectángulo isósceles: tiene un ángulo recto (90°) y dos ángulos de 45°. Los dos catetos son iguales.
  • Dibujo del triángulo rectángulo escaleno

  • Triángulo rectángulo escaleno: tiene todos los ángulos diferentes (siendo uno de ellos de 90°). Los lados también son diferentes.

Triángulos rectángulos especiales

Un triángulo rectángulo especial es un triángulo rectángulo cuyos lados o ángulos están en una proporción particular. Hay algunos triángulos rectángulos especiales tan comunes que resulta útil conocer las proporciones de sus lados. Esto le permite encontrar los lados que faltan cuando solo conoce un lado sin recurrir a métodos más avanzados como el Teorema de Pitágoras.

Los triángulos rectángulos especiales se dividen en dos categorías:

  1. Triángulo rectángulo especial basado en ángulos. Hay dos triángulos rectángulos especiales basados en ángulos :
    • Dibujo del triángulo rectángulo isósceles especial

      Triángulo rectángulo 45-45-90: como vimos anteriormente, este es el triángulo rectángulo isósceles cuyas relaciones de lados son x, x, x√2. En otras palabras, los lados están en la proporción 1:1:√2 y los ángulos están en la proporción 1:1:2.

    • Dibujo del triángulo rectángulo escaleno especial

      Triángulo rectángulo 30-60-90: es un triángulo rectángulo escaleno especial cuyos ángulos miden 30-60-90. Están en una proporción de 1:2:3. Un triángulo rectángulo 30-60-90 tiene proporciones de lados x, 2x y x√3 (o proporción 1:2:√3)

  2. Triángulo rectángulo especial de base lateral. Hay triángulos rectángulos especiales cuyos lados tienen longitudes enteras. Este tipo de triángulo rectángulo se llama triángulo triple pitagórico, y sus lados forman una terna pitagórica.

    Los Triángulos Triples Pitagóricos (o triángulos pitagóricos) más comunes son cuyos lados están en las proporciones:

    • 3: 4 :5
    • 5: 12 :13
    • 8: 15 :17
    • 7: 24 :25
    • 9: 40 :41

    Podemos encontrar más triángulos triples pitagóricos multiplicando las ternas pitagóricas por cualquier número entero. Por ejemplo, multiplicando por 3 la siguiente terna pitagórica 3:4:5 obtenemos la terna 9:12:15.

Altura del triángulo rectángulo

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Dibujo de las alturas del triángulo rectángulo

Las alturas del triángulo rectángulo asociadas a los catetos (a y b) son el cateto opuesto correspondiente. Por lo tanto, ha=b y hb=a. La altura associada a la hipotenusa es hc.

Las tres alturas confluyen en el ortocentro, H en el vértice C del ángulo recto.

Para calcular la altura asociada al lado c (la hipotenusa) se recurre al teorema de la altura.

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura

La altura h (o hc) puede obtenerse conociendo los tres lados del triángulo rectángulo.

Fórmula de la altura por el teorema de la altura a partir de los lados

Área de un triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90°), por lo que su altura coincide con uno de sus lados (a). Su área es la mitad del producto de los dos lados que forman el ángulo recto (catetos a y b).

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de su área

Fórmula del área de un triángulo rectángulo

Perímetro de un triángulo rectángulo

El perímetro de un triángulo rectángulo es la suma de los tres lados.

Dibujo del triángulo rectángulo

Fórmula del perímetro de un triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo cumple el teorema de Pitágoras, por lo que la hipotenusa (c) se puede expresar a partir de los catetos (a y b).

Fórmula del perímetro de un triángulo rectángulo a través del teorema de Pitágoras, poniendo la hipotenusa en función de los catetos.

Descárgate esta calculadora para obtener los resultados de las fórmulas de esta página. Elige los datos iniciales e introdúcelos en el recuadro superior izquierdo. Para resultados, pulsa INTRO.

Triangulo-total.rar         o bien   Triangulo-total.exe      

Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

Teorema de Pitágoras

Triángulo rectángulo

El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los catetos y la hipotenusa. Enuncia que:

Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:

Fórmula del teorema de Pitágoras

Teorema de la altura

El teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principal ABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente:

En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura

Fórmula del teorema de la altura

Teorema del cateto

El teorema del cateto relaciona los segmentos proyectados por los catetos sobre la hipotenusa con cada uno de los catetos.

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema del cateto.

En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).

Fórmula del teorema del cateto

Segundo teorema de Tales

Dibujo del Segundo Teorema de Tales

El segundo teorema de Tales está relacionado con los triángulos rectángulos inscritos en una circunferencia.

El teorema dice lo siguiente:

En una circunferencia de centro en O y diámetro AC, cualquier punto B de esa circunferencia no perteneciente a AC determina un triángulo rectángulo Δ ABC con el ángulo de 90° en B.

Demostración

Demostración geométrica del segundo teorema de Tales:

El segmento BO divide al triángulo Δ ABC en dos triángulos: Δ ABO y Δ OBC. Estos dos triángulos son isósceles, porque los lados OA, OB y OC son iguales. Los tres son radios r de la circunferencia.

Dibujo de la demostracion del Segundo Teorema de Tales

Por ser triángulos isósceles, tienen cada uno de ellos dos ángulos iguales: α y β.

Como en todo triángulo, los ángulos interiores del triángulo Δ ABC suman 180°:

Cálculo 1 de la demostración del Segundo Teorema de Tales

Dividiendo la igualdad por 2:

Cálculo 2 de la demostración del Segundo Teorema de Tales

Como α + β es el ángulo del Δ ABC en B, queda demostrado el segundo teorema de Tales.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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98 comentarios en “Triángulo rectángulo”

  1. Nececito ayuda, ¿Que puedo hacer si solo tengo el ángulo de 90° (ya que es un triángulo rectangulo) y los demás ángulos los desconozco, incluyendo los catetos e hipotenusa?

    1. Naturalmente, nada.
      Como se dice en la página Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS:
      Cualquier triángulo puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, siendo al menos uno de ellos un lado.

    1. Entiendo que C = 90°
      En la página Triángulo de UNIVERSO FÓRMULAS:
      Los tres ángulos interiores del triángulo suman 180° (π radianes).
      A + B + C = 180°
      Por lo tanto, A + B = 90°
      Los ángulos A y B son complementarios (Mira Ángulos complementarios en UNIVERSO FÓRMULAS).
      En la página Identidades trigonométricas, también de esta web, apartado Ángulos complementarios dice que:
      sen(90° – A) = cos A = sen B
      En la misma página busca la identidad fundamental de la trigonometría:
      sen² A + cos² A = 1
      0,6² + cos² A = 0,6² + sen² B = 1
      Despeja sen B
      0,8

    1. Ve a la página Resolución de triángulos rectángulos de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Apartado 1.
      Realmente un dato de un ángulo no es necesario.
      180° – 90 ° – 37° = 53°
      Cateto a = 361,7 m
      Hipotenusa c = 601,03 m
      Área = 86909,43 m²

    1. Visita la página Resolución de triángulos rectángulos de UNIVERSO FÓRMULAS, en su apartado 4c.
      O
      Área = a * b / 2
      tan A = a / b
      Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

  2. La altura perpendicular a la hipotenusa de un triángulo
    rectángulo es de 12 cm. Exprese la longitud de la hipotenusa
    en función del perímetro.

    1. Teorema de la altura
      h² = n * m
      Teorema de Pitágoras
      a² + b² = (m + n)²
      P = a + b + (m + n)
      A partir de aquí

  3. María Arucutipa Huarachi

    Una gran antena de radio de 50 metros de longitud se ha anclado al suelo verticalmente mediante cuatro cables sujetos a los puntos A,B,CyD cuál es la longitud total en metros de los cables utilizados

  4. Hola me plantearon este ejercicio y no se que hacer:
    Considere el triángulo rectángulo ⊿ABC. Tenemos que ∡DAB = α, ∡DBA = β y que
    los ángulos ∡ADB y ∡ABC son rectos. ¿Cuánto mide el ángulo ∡ACB?

  5. Hola necesito ayuda de él área de un triángulo, cuya altura es 12, es igual al área de un rectángulo cuyo ancho es 3, ¿cuánto mide de largo el rectángulo con respecto a la base del triángulo ?
    Me pueden ayudar porfavor

    1. Tienes que igualar las fórmulas del área del triángulo y la del rectángulo.
      b * 12 / 2 = 3 * L
      6b = 3L
      2b = L
      el largo del rectángulo es el doble de la base del triángulo

    1. Datos induficientes
      Mira la respuesta de hoy en la página Área de un triángulo rectángulo de UNIVERSO FÓRMULAS
      Los catetos suman 24-10 = 14
      1) 2*12/2 = 12
      2) 4*10/2 = 20
      3) 6*8/2 = 24

    1. Si es un triángulo escaleno, con solo dos lados no se puede hallar el área.
      Tendría que ser rectángulo o isósceles. O darte un ángulo.
      Consulta Resolución de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Si fuesen los catetos de un triángulo rectángulo:
      Á = 11*5/2

  6. hola necesito hallar la medida de la hipotenusa si la altura de hipotenusa es 6 y la diferencia de los segmento determinado en la hipotenusa por dicha altura es 5

  7. Hola me podrían necesito urgente calcular el perímetro de un triangulo rectángulo isósceles y solo tengo la altura de 5 metros gracias

    1. Mira la página teorema de Tales en UNIVERSO FÓRMULAS. En particular, el segundo.
      Verás que la hipotenusa / base es el diámetro de la circunferencia circunscrita con centro en el centro del D
      Hipotenusa = 2r = 2 * 5 = 10
      Saca los lados iguales por Pitágoras.

    2. Dos triángulos rectángulos isósceles unidos por sus hipotenusas forman un cuadrado.
      (Mira el punto 5.4 de la página Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS).
      La Diagonal D = h * 2 = 5 * 2 = 10 m
      Área del cuadrado = D² / 2 = 10² / 2 = 50 m²
      El triángulo tuyo, como hay dos, tendría de área 50 / 2 = 25 m²
      El área de tu triángulo es b * h / 2, pudiendo ser b = h = cateto
      25 = cateto² / 2
      cateto = 7,07 m
      Te queda sumar para el perímetro

    1. Tienes que decir què significan esos 8 cm
      Puedes ‘inventarte’ un triángulo rectángulo con un cateto o una hipotenusa de 8 cm y el resto hacerlo a tu aire, porque te faltan datos
      Lo siento. No se puede decir mucho más. Hay que recordar que, para definir un triángulo hacen falta tres datos, que no sean los tres ángulos
      Tu tienes dos. El ángulo de 90° y el lado de 8 cm (pero tendrías que saber si es cateto o hipotenusa). Pero seguiría faltando o un lado o un ángulo.

  8. Kevin montiel huertas

    Si tengo un triangulo recto de angulos 50 y 40 y la hipotenusa ez 8 cm…. Me piden hallar su área del triangulo como lo haría…?

    1. Consulta en la página resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS en el apartado triángulos rectángulos

  9. (2) En el triángulo ABC se sabe que la hipotenusa mide 27 √5 m y que un cateto mide el doble del otro. ¿Cuánto miden su perímetro y su superficie?
    Como lo resuelvo?

    1. Aplica el teorema de Pitágoras
      Un cateto es x
      El otro cateto 2x
      Halla x. A partir de ahí, el otro cateto, el perímetro y el área.

    1. Sólamente es posible si el triángulo rectángulo es a la vez isósceles (catetos iguales).
      P = a + b + c = a + a + c
      P = 2a + c
      a² + b² = c²
      2a² = c²
      Resolver estas dos ecuaciones con dos incógnitas (de segundo grado)

  10. Me pusieron este ejercicio pero no entiendo como resolverlo
    Calcular perímetro y área de rectangulo de 13/2. Raiz de 5cm de largo. Y 7/4 raiz de 5 cm de ancho ¿Expresa las siguientes raices en sus respectivas potencia
    A) Raíz cúbica de mil.
    B) Raiz quinta de 1024
    C) Raiz cuadrada de 169
    ¿Cómo puedo solucionarlo?

  11. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 11cm y el otro cateto y la hipotenusa están expresados po 2 números naturales consecutivos. El perímetro del triángulo es:

    1. Piensa que si unes dos triángulos rectángulos-isósceles iguales por su hipotenusa, tienes un cuadrado de área doble y de lado un cateto del triángulo.
      2 * A = a²
      Sabiendo un cateto a, por Pitágoras obtendrás la hipotenusa c

  12. Como deberia hacer este ejercicio
    Determinar el perimetro del cuadrado x , inscrito en el triangulo rectangulo, tal que uno de los vertices del cuadrado divide a la hipotenusa de dos segmentos de 30cm y 40cm el resultado es 96

    1. Lado del cuadrado x = 96 / 4 = 24 cm
      Por semejanza de triángulos:
      24 / 30 = C1 / 70
      C1 = 42 cm
      24 / 40 = C2 / 70
      C2 = 56 cm
      C1 y C2 son los dos catetos.
      Comprobación por Pitágoras:
      42² + 56² = 4900
      √(4900) = 70 cm
      Que es la hipotenusa.

    1. Si consultas la parte inferior de esta misma página, verás que, según el segundo teorema de Tales, a partir de un diámetro determinado, cualquier punto de la circunferencia que no sean los dos extremos del diámetro, forma con él un triángulo rectángulo.
      Se pueden inscribir en una circunferencia infinitos triángulos rectángulos, en los que la hipotenusa es un diámetro.

    1. De este triángulo rectángulo, ¿qué es L? ¿la hipotenusa, el perímetro o uno de sus catetos?.
      Por ángulos A y C, tu fórmula se transforma en:
      L = 3 * cos A / sen (90° – A) + 1 = 3 * (L / a) * (L / c) + 1
      L² = a² + b²
      Se podria resolver sabiendo a qué representa L

  13. Alguien me puede ayudar con este problema «con un rayo laser que apunta a una ventana . El angulo que se forma con su horizontal es de 43°. Con un segundo rayo se apunta justo a la ventana del piso de abajo y el angulo que forma con la horizontal es de 27°, calcula el angulo que forman los dos rayos. urge. gracias

  14. tengo que resolver de un problema
    dice.. un clavadista esta entrenando en una piscina con una plataforma, cuando realiza el salto, cae a una distancia de 1 metro de la plataforma sumergiéndose 2,4 metros bajo el agua. para salir a la superficie, bucea hasta el final de la piscina siguiendo una linea transversal de 8,8 metros de longitud.
    si la longitud desde la parte superior de la plataforma al lugar en donde emerge del agua es de 11,2 metros, ¿cual es la altura de la plataforma (desde el nivel del agua)?

    1. Si he entendido el planteamiento gráficamente, sería una aplicación del teorema de Pitágoras:
      (8,8 + 1)² + h² = 11,2²
      h = 5,33 m
      Pero esto es suponiendo que el metro donde entra en el agua y los 8.8 m de trayectoria están alineados. Así, los 2,4 m serían irrelevantes. También suponer que los 8,8 m son la proyección horizontal de la trayectoria.
      Otra cosa requeriría saber el ángulo de la trayectoria con el eje de la piscina o alberca. Es decir, ver el planteamiento gráficamente.

    1. Triángulo rectángulo isósceles tiene los dos catetos iguales (una escuadra).
      Todo triángulo tiene tres medianas.

  15. Hola, tengo este problema que no estoy pudiendo resolver agradecería su ayuda. Un triangulo rectángulo 60cm2 tiene la hipotenusa de 13cm de longitud el cateto menor mide. Me pide encontrar el cateto menor. existe alguna formula para resolver esto,o para hallar unos de los catetos la misma figura conociendo solamente el area y la hipotenusa sin usar trigonometria, es para un examen de ingreso por favor ayuda. Desde ya muchas gracias.

    1. No hay ningún triángulo rectángulo de 60 cm² de área con un diámetro de 13 cm.
      Sabiendo el área, tienes la altura h sobre la hipotenusa c.
      Revisa el teorema del cateto, el teorema de la altura y el teorema de la hipotenusa (c*h = b*c)

    1. Las medidas de 10 y 12, ¿a qué corresponden?
      ¿Es 10 la proyección horizontal, es decir, el cateto de la base y 12 la longitud de la rampa, o sea,la hipotenusa?
      Si fuese así la aplicación del teorema de Pitágoras sería inmediata y la altura sería de 6,63.

  16. paola betancourt

    tengo un triangulo rectangulo que tienes los siguientes lados a ,b area de 16.50 cm2 , si el valor de a es 3(cmt) cual es el valor de b

    1. Universo Formulas Respuestas

      Exacto Lorenzo. Y dando por supuesto la convención de que a y b sean los catetos y c la hipotenusa.

  17. Sofía Cruces

    Hola, me plantearon este ejercicio y no encuentro ninguna formula para usar:
    Se formó la letra Z de la figura num. 63 con un alambre de ochenta cm de longitud. Encuentra las dimensiones para segmento de la letra.
    En la figura se muetra que la Z forma dos triangulos rectangulos y me da uno de sus angulos qe es de 40°

  18. Hola quisiera saber cual es la función que relaciona el área de un triángulo rectángulo isósceles con la longitud de su cateto? Graciad

  19. JOSE RENE LOPEZ MORA

    TENGO UN TRIANGULO RECTANGULO ASI : EL CATETO MENOR MIDE 290 . LA PREGUNTA ES : LOS GRADOS DE LOS DOS ANGULOS,LA MEDIDA DE LA HIPOTENUSA Y LA MEDIDA DEL CATETO RESTANTE. GRACIAS POR SU INFORMACIÓN.

    1. seawed, itsosoko landarerik panpoxena

      JAJAJA yo tampoco le entendi muy bien. si quieres te soluciono el problema. Como un autentico british diria «No problem!» ;):)
      BESOOOOS !!! <3<3<3<3<3<3

  20. buenos días,

    me interesa sacar las medidas de los catetos de un triangulo sabiendo que la hipotenusa mide 6 cm .
    solo tengo la hipotenusa y el angulo de 90º. sabe alguien como se puede resolver el problema? yo creo que me faltan datos. Saludos,

    1. seawed, itsosoko landarerik panpoxena

      verdad? tienes que ver la pelicula «Donald en el pais de las matematicas», impresionante. Cuando lo vi, me abrio los ojos a un mundo inesperado. No entendi mucho, solo veia al pato donals y ciertos numeros, pero buffff una calidad de imagen… no todos los dias se ven cosas por el estilo, te lo recomiendo. SALUDOS!!!

    1. seawed, itsosoko landarerik panpoxena

      Cateto one y cateto two. O «seno» (sino jjajajajajajaja cuanta chispa que tengo, lo siento las mates me emocionan :’) <3) cateto A y cateto B. Espero que te sirva, besooooooos

    1. seawed, itsosoko landarerik panpoxena

      practicar y practicar, esa es la cuestion, la base de todo, que razon tienes. la practica hace la perfeccion y yo de tanto practicar amo a las mates

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