Triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo es un polígono de tres lados que tiene uno de sus ángulos recto (α=90°).

Los dos ángulos menores (β y γ) suman 90°.

Los elementos de un triángulo rectángulo son: los dos lados contiguos al ángulo recto, a y b (cada uno de ellos es un cateto), y el lado mayor c, opuesto al ángulo recto, que es la hipotenusa.

Tipos de triángulo rectángulo

Hay dos tipos de triángulo rectángulo, según los dos ángulos águdos:

• Triángulo rectángulo isósceles: tiene un ángulo recto (90°) y dos ángulos de 45°. Los dos catetos son iguales.



• Triángulo rectángulo escaleno: tiene todos los ángulos diferentes (siendo uno de ellos de 90°). Los lados también son diferentes.

Triángulos rectángulos especiales

Un triángulo rectángulo especial es un triángulo rectángulo cuyos lados o ángulos están en una proporción particular. Hay algunos triángulos rectángulos especiales tan comunes que resulta útil conocer las proporciones de sus lados. Esto le permite encontrar los lados que faltan cuando solo conoce un lado sin recurrir a métodos más avanzados como el Teorema de Pitágoras.

Los triángulos rectángulos especiales se dividen en dos categorías:

1. Triángulo rectángulo especial basado en ángulos. Hay dos triángulos rectángulos especiales basados en ángulos :
   • 

     Triángulo rectángulo 45-45-90: como vimos anteriormente, este es el triángulo rectángulo isósceles cuyas relaciones de lados son x, x, x√2. En otras palabras, los lados están en la proporción 1:1:√2 y los ángulos están en la proporción 1:1:2.

   • 

     Triángulo rectángulo 30-60-90: es un triángulo rectángulo escaleno especial cuyos ángulos miden 30-60-90. Están en una proporción de 1:2:3. Un triángulo rectángulo 30-60-90 tiene proporciones de lados x, 2x y x√3 (o proporción 1:2:√3)
2. Triángulo rectángulo especial de base lateral. Hay triángulos rectángulos especiales cuyos lados tienen longitudes enteras. Este tipo de triángulo rectángulo se llama triángulo triple pitagórico, y sus lados forman una terna pitagórica.

   Los Triángulos Triples Pitagóricos (o triángulos pitagóricos) más comunes son cuyos lados están en las proporciones:

   • 3: 4 :5
   • 5: 12 :13
   • 8: 15 :17
   • 7: 24 :25
   • 9: 40 :41

   Podemos encontrar más triángulos triples pitagóricos multiplicando las ternas pitagóricas por cualquier número entero. Por ejemplo, multiplicando por 3 la siguiente terna pitagórica 3:4:5 obtenemos la terna 9:12:15.

Altura del triángulo rectángulo

Las alturas del triángulo rectángulo asociadas a los catetos (a y b) son el cateto opuesto correspondiente. Por lo tanto, h_a=b y h_b=a. La altura associada a la hipotenusa es h_c.

Las tres alturas confluyen en el ortocentro, H en el vértice C del ángulo recto.

Para calcular la altura asociada al lado c (la hipotenusa) se recurre al teorema de la altura.

La altura h (o h_c) puede obtenerse conociendo los tres lados del triángulo rectángulo.

Área de un triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90°), por lo que su altura coincide con uno de sus lados (a). Su área es la mitad del producto de los dos lados que forman el ángulo recto (catetos a y b).

Perímetro de un triángulo rectángulo

El perímetro de un triángulo rectángulo es la suma de los tres lados.

El triángulo rectángulo cumple el teorema de Pitágoras, por lo que la hipotenusa (c) se puede expresar a partir de los catetos (a y b).

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los catetos y la hipotenusa. Enuncia que:

Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:

Teorema de la altura

El teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principal ABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente:

En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).

Teorema del cateto

El teorema del cateto relaciona los segmentos proyectados por los catetos sobre la hipotenusa con cada uno de los catetos.

En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).

Segundo teorema de Tales

El segundo teorema de Tales está relacionado con los triángulos rectángulos inscritos en una circunferencia.

El teorema dice lo siguiente:

En una circunferencia de centro en O y diámetro AC, cualquier punto B de esa circunferencia no perteneciente a AC determina un triángulo rectángulo Δ ABC con el ángulo de 90° en B.

Demostración

Demostración geométrica del segundo teorema de Tales:

El segmento BO divide al triángulo Δ ABC en dos triángulos: Δ ABO y Δ OBC. Estos dos triángulos son isósceles, porque los lados OA, OB y OC son iguales. Los tres son radios r de la circunferencia.

Por ser triángulos isósceles, tienen cada uno de ellos dos ángulos iguales: α y β.

Como en todo triángulo, los ángulos interiores del triángulo Δ ABC suman 180°:

Dividiendo la igualdad por 2:

Como α + β es el ángulo del Δ ABC en B, queda demostrado el segundo teorema de Tales.