Las funciones definidas a trozos (o función a trozos o función por partes) son aquellas que tienen distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable independiente (x).
Por ejemplo:
O escrita la función de otra forma:
Su gráfica sería:
La imagen de un valor x se calcula según en que intervalo se encuentra x. Por ejemplo, el 0 se encuentra en el intervalo (-∞,1), por lo que su imagen es f(0)=0. El valor 3 está en el intervalo [1,4], entonces su imagen es f(3)=2.
Continuidad de funciones por partes
Las funciones definidas a trozos son continuas si son continuas en todo su dominio, es decir:
- La función es continua en los trozos donde está definida.
- La función es continua en los puntos de división de los trozos.
Ejemplo
Estudiar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función definida a trozos:
O escrita de otra forma:
Para ello, debemos estudiar la continuidad en los tres trozos, en los intervalos (-∞,1) , [1,4] y (4,+∞) , y en los puntos de división x=1 y x=4.
La función es continua en todos sus trozos, ya que f(x)=-x+2, f(x)=1 y f(x)=x-2 son funciones lineales, que son continuas en todo su dominio.
Veamos ahora que es continua en el punto x=1, viendo que se cumplen las tres condiciones:
- La función f existe en 1 y su imagen es:
- Existe el límite de f en el punto x = 1:
- La imagen de 1 y el límite de la función en 1 coinciden:
Se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, por lo que la función es continua en x=1.
Ahora veamos si es continua en el punto x=4
Como la función no tiene límite en 4, podemos decir que f es discontinua en x=4.
Por lo tanto, la función f es continua en todo su dominio menos en x=4.
OLI
En cierto país, el impuesto sobre ingresos iguales o menores a €20000 es 10%. Para ingresos mayores a €20000, el impuesto es €2000 más 20% de la cantidad que pase de €20000.
Exprese 𝑓 como función definida por tramos ????
{ 0,1*x si x ≤ 20000
f(x) { 2000 + 0,2 * (2000 – x) si x > 20000
Pon f(x) en solitario a la izquierda. En el centro, un corchete largo que abarque las dos lineas posteriores
Para alguien que lo ve por primera vez es poco claro…
Me gusta, como ejemplos básicos.
Siga con este trabajazo, por favor, está resultando tan clarificador como imprrescindible: estoy salvando las Matemáticas a mis nietos . Gracias, gracias, gracias
SIMPLEMENTE, MARAVILLOSAS LAS PÁGINAS