Las matrices tienen utilidad en una diversidad de campos, en especial en el álgebra lineal, especialmente para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Una matriz es una tabla de números ordenada en m filas y n columnas, cerrada entre paréntesis.
Cada elemento de la matriz se denomina aij. Y la matriz se representa por (aij), o, directamente por (A). El subíndice i indica la fila y el subíndice j, la columna.
La matriz tiene m filas y n columnas. El primer elemento es a11 y el último amn.
La posición del elemento a12 es: primera fila y segunda columna.
En esta matriz están reflejadas las calificaciones obtenidas por los tres grupos de primero de un colegio.
En las filas, las calificaciones; en cada columna, los tres grupos.
- Orden de una matriz
- Rango de una matriz
- Tipos de matrices
- Matriz nula
- Matriz fila
- Matriz columna
- Matriz rectangular
- Matriz traspuesta
- Matriz opuesta
- Matriz escalonada
- Matrices iguales
- Matrices equivalentes
- Matriz cuadrada
- Matriz aumentada
- Operaciones con matrices
- Determinante de una matriz
Orden de una matriz
El orden de una matriz (o dimensión de una matriz) representa su número de filas, m y de columnas, n. Se expresa por m x n.
Veamos algunos ejemplos de matrices de distintos órdenes:
Rango de una matriz
El rango de una matriz A cualquiera de orden m x n es un número que representa el número de filas o columnas linealmente independientes. Se representa por rang (A).
Otra definición de rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada de A, sin aplicarle ninguna operación elemental cuyo determinante no sea nulo. Se pueden formar submatrices con filas o columnas no consecutivas.
El rango será igual o mayor que 1 e igual o menor que el número mínimo de las filas m o de las columnas n.
Una matriz de orden m x n tiene rango completo si éste es el número menor entre filas m o de columnas n.
Veamos esta matriz de orden 4×3:
Para hallar su rango, lo hacemos por el primer procedimiento descrito. Averiguando cuantas filas o columnas linealmente independientes hay. La manera más sencilla es convertir la matriz en matriz escalonada, para eliminar los renglones que son linealmente dependientes, que se averiguará cuando en la matriz escalonada haya alguna fila o columna con todos los elementos cero. Lo haremos por Gauss:
Las transformaciones buscan primero hacer ceros los elementos de la primera columna que están por debajo del primer elemento:
Se sigue buscando el escalonamiento, haciendo ceros los elementos por debajo del segundo elemento de la segunda columna:
Por último, transformaremos para intentar hacer cero el último elemento de la tercera y última columna:
La cuarta fila es linealmente dependiente de las otras tres. Habrá tres filas linealmente independientes. El rango es 3:
Tipos de matrices
Existen diferentes tipos de matrices. Vamos a ver las matrices más importantes:
Matriz nula
En una matriz nula, todos los elementos son ceros. Admite todos los órdenes m x n.
Matriz fila
En una matriz fila, sus elementos están en una única fila (de orden o dimensión 1 x n).
Estos son dos ejemplos de dos matrices fila de orden 1 x 3 y orden 1 x 2:
Matriz columna
Una matriz columna es la que sus elementos están en una única columna (dimensión n x 1):
Un ejemplo de matriz columna, en este caso, de orden 7 x 1:
Matriz rectangular
Una matriz rectangular tiene diferente número de filas (m) que de columnas (n). Su orden o dimensión será m x n (m ≠ n).
Matriz traspuesta
Una matriz traspuesta, que la llamaremos At, se obtiene de otra matriz A intercambiando ordenadamente la filas por columnas.
Aquí tenemos una matriz y su traspuesta:
En sus elementos, se cumple que:
Se cumple que la matriz traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original:
Si el orden o dimensión de una matriz es m x n la dimensión de su traspuesta será n x m (y si una matriz es cuadrada, lógicamente su traspuesta también lo será).
A partir de la matriz traspuesta se llega a la matriz simétrica y también a la matriz antisimétrica.
Veamos algunos ejemplos de matrices traspuestas:
Matriz opuesta
Dada una matriz A de orden m x n su matriz opuesta es otra matriz, llamada – A, de la misma dimensión en la que sus elementos son los de la A pero con signo cambiado:
La matriz opuesta de una matriz opuesta es la matriz original:
Matriz escalonada
En una matriz escalonada Am x n se cumple que:
- Las filas con todos sus elementos nulos están en la parte inferior de la matriz.
- El primer elemento de una fila (empezando por la izquierda) diferente de cero, si existe, lo llamaremos pivote. Cada pivote está a la derecha del pivote de la fila superior.
A este tipo lo llamamos matriz escalonada por filas. Con las condiciones relativas a columnas estarían la matriz escalonada por columnas.:
Estos son ejemplos de matrices escalonadas. Los pivotes están coloreados:
A partir de una matriz no nula se puede llegar, mediante operaciones elementales, a infinitas matrices escalonadas.
Y estas matrices no son escalonadas:
Matriz escalonada reducida
La matriz escalonada reducida, además de cumplir las condiciones de una matriz escalonada general, debe de cumplir también estas dos condiciones:
- Si en una fila existe un pivote, este es 1.
- En las columnas en las que hay un pivote, los elementos que están por encima de él también son 0 (es decir, en esas columnas el pivote 1 es el único elemento no nulo).
Estos son ejemplos de matrices escalonadas reducidas. Los pivotes están coloreados:
A partir de una matriz no nula se puede llegar, mediante transformaciones, a una única matriz escalonada reducida.
Matrices iguales
Dos matrices son iguales si son del mismo orden o dimensión Am x n y Bm x n y si los elementos que ocupan la misma posición también lo son.
La condición se expresa así:
Estas son dos matrices iguales.
Matrices equivalentes
Las matrices equivalentes son matrices de la misma dimensión Am x n y Bm x n cuando la matriz B se obtiene de aplicar a la matriz A un número finito de operaciones elementales.
Estas matrices son equivalentes.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada es un tipo de matriz fundamental en álgebra y aplicaciones en campos como la econometría. En una matriz cuadrada, el número de filas y de columnas es el mismo. Se denota también como An y se dice que es una matriz de orden n x n o , más habitualmente, como de orden n.
Veamos unos ejemplos de matriz cuadrada 2×2 y matriz cuadrada 3×3:
La diagonal principal de una matriz y la diagonal secundaria existen en las matrices cuadradas:
- En la diagonal principal sus elementos tienen sus subíndices iguales: van de a1, 1 a an, n.
- En la diagonal secundaria, sus elementos van desde a1, n a an, 1.
La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal.
Veamos los tipos especiales de matriz cuadrada más importantes.
Matriz triangular
Una matriz triangular es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos, por debajo o por encima de la diagonal principal.
Matriz triangular superior
Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos, por debajo de la diagonal principal.
Matriz triangular inferior
Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada que tiene que tiene todos los elementos nulos, por encima de la diagonal principal.
Matriz diagonal
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada y un tipo de matriz triangular que, a la vez, es triangular superior y triangular inferior. Todos los elementos de una matriz diagonal que no pertenecen a la diagonal principal, son ceros. La diagonal principal puede contener ceros.
La condición se expresa así:
Toda matriz escalar , toda matriz identidad y toda matriz nula son casos de matrices diagonales.
Matriz escalar
Una matriz escalar es aquella matriz diagonal en la que los elementos de su diagonal principal son iguales y el resto de elementos son nulos. Es una matriz cuadrada.
Matriz identidad
Una matriz idéntica (o matriz identidad o matriz unitaria, también se le llama matriz unidad) es la clase de matriz diagonal en la que los elementos de su diagonal principal son la unidad (es decir, unos). Cuando su orden es n se denomina In. Es una matriz cuadrada.
Dada una matriz cuadrada A de orden n:
Decimos que es una matriz identidad In cuando cumple que (siendo i el número de la fila y j el número de la columna):
Estos son casos de matriz identidad de orden 2, 3 y 4:
Matriz simétrica
La matriz simétrica es una matriz cuadrada en que los elementos en posición simétrica respecto a la diagonal principal son iguales. Una matriz simétrica es igual a su matriz traspuesta. Toda matriz diagonal (y, por lo tanto, la matriz escalar o la matriz identidad) es simétrica.
Se cumple en una matriz simétrica que:
Para todo i, j.
Matriz antisimétrica
La matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta At es igual a su opuesta (At = – A).
Los elementos de la diagonal principal deben de ser ceros, porque un número diferente de cero no podría ser igual a sí mismo si se le cambiase el signo (o, dicho de otra forma, un cero es su propio opuesto). Los elementos restantes en posición simétrica respecto a la diagonal principal serán opuestos entre sí.
Se cumple en una matriz antisimétrica que:
Para todo i, j. Y cuando i = j, el elemento de esa posición es nulo.
Matriz inversa
La matriz inversa es una matriz cuadrada, representada por A-1. Se dice que es la inversa de otra matriz cuadrada A del mismo orden n, cuando el producto de ambas matrices es la matriz identidad In.
Entonces, tanto A como A-1 son casos de matriz invertible o matriz regular. En ambos casos, el rango coincide con su orden n. Y eso se cumple porque el determinante de ambas matrices no debe de ser nulo.
La matriz inversa de una matriz inversa es la matriz original:
Los procedimientos de cálculo de una matriz inversa lo desarrollaremos en esta página.
Matriz invertible
Se llama matriz invertible (o matriz regular o matriz inversible) a la matriz cuadrada que tiene su matriz inversa.
No todas las matrices cuadradas tienen su inversa. Para ello, debe ser su determinante ≠ 0. Si una matriz no tuviera inversa, sería una matriz singular.
Si una matriz es invertible también es invertible su matriz traspuesta.
Aquí tenemos dos ejemplos de matrices inversas de orden 2 y 3, junto a su matriz invertible o regular correspondiente (con su determinante no nulo).
Matriz singular
Una matriz singular (o matriz degenerada ) es una matriz cuadrada que no tiene inversa.
La característica principal de una matriz singular es que su determinante es nulo.
Estos son cuatro ejemplos de matrices singulares:
Matriz elemental
Una matriz elemental es cualquier matriz que se obtiene al aplicarle a la matriz identidad una sola operación elemental, de fila o de columna.
Estas son las operaciones elementales:
- Intercambiar líneas (filas o columnas).
- Multiplicar una línea por un número real diferente de cero.
- Obtener una línea al sumarla a otra multiplicada por un número real diferente de cero.
Mediante la operación inversa, se puede volver desde la matriz elemental obtenida mediante esas operaciones elementales a la matriz identidad original. Por lo que las matrices elementales son a su vez matrices invertibles.
Matriz involutiva
Una matriz involutiva A es una matriz invertible y, por tanto, matriz cuadrada, tal que es igual a su matriz inversa (pincha aquí para ver cómo se halla la matriz inversa).
Se debe de verificar que A² = I. Esto es porque una matriz invertible al multiplicarla por su matriz inversa, resulta una matriz identidad.
El determinante de una matriz involutiva debe de ser ±1. Pero no todas las matrices cuyo determinante sea ±1 debe de ser necesariamente involutiva. Toda matriz identidad, como la matriz opuesta a la matriz identidad, son involutivas.
Una matriz involutiva elevada a cualquier exponente da lugar a otra matriz involutiva, de manera que si el exponente es par, la potencia será la matriz identidad I pero si el exponente es impar, la potencia será la matriz involutiva original A.
Se ve en el ejemplo en una matriz involutiva.
Una matriz de orden 2, A2, es involutiva si los dos elementos de su diagonal principal tienen signos opuestos y, además, su determinante es ±1. Para ello, el producto de los elementos de la diagonal secundaria deben de diferir en una unidad del producto de los elementos de la diagonal principal.
Además de esta última condición para una matriz de orden 2, la matriz identidad y su matriz opuesta también son matrices involutivas. Aquí, unos ejemplos de matrices involutivas de orden 2:
Y un caso de matriz involutiva de orden 3, A3:
Matriz idempotente
Una matriz idempotente A, es una matriz cuadrada que al multiplicarla por ella misma da lugar a la matriz original.
Sucesivas potencias de una matriz idempotente A dan lugar a la matriz original A.
La matriz identidad y la matriz nula cuadrada son dos casos de matriz idempotente.
Las matrices idempotentes son matrices singulares (no tienen inversa) excepto la matriz identidad y la matriz nula cuadrada.
No es condición necesaria para que una matriz sea idempotente el que sea una matriz simétrica.
El determinante de una matriz idempotente es siempre o 0 o 1.
Una matriz idempotente de orden 2 debe de satisfacer:
Estos son dos ejemplos de matrices idempotentes:
En una matriz idempotente, la traza es igual al rango.
Matriz nilpotente
Una matriz nilpotente N, es una matriz cuadrada que al multiplicarla por ella misma, al menos un número de veces z, da lugar a una matriz nula (y también cuadrada).
Se llama índice de nilpotencia al menor de esos índices z. El índice de nilpotencia es igual o menor que el orden n de la matriz.
Un ejemplo de matriz nilpotente de orden 2 es:
Matriz ortogonal
Una matriz ortogonal es una matriz invertible y, por tanto, matriz cuadrada. Una matriz ortogonal multiplicada por su matriz traspuesta resulta una matriz identidad.
La inversa de una matriz ortogonal es igual a su traspuesta. Una matriz identidad también es ortogonal.
Estos son dos ejemplos de matrices ortogonales:
Matriz adjunta
La matriz adjunta de A a la que llamaremos Adj(A), es la traspuesta de la matriz de adjuntos o matriz de cofactores Cof(A). La matriz adjunta es cuadrada, invertible y del mismo orden que A.
Hay una disparidad entre autores. Unos llaman matriz de adjuntos a la matriz de cofactores, porque a sus elementos, denominados cofactores (Ci,j), también los llaman adjuntos (adji,j).
Veamos estos conceptos:
Primero introduciremos la noción del menor o menor complementario de una matriz de un elemento ai,j de la matriz A. El menor es el determinante de una matriz de orden n – 1, a la que llamaremos Mi,j, resultante de suprimir en A tanto el elemento ai,j como los de su fila y su columna correspondientes. Lo vemos, por ejemplo, en la imagen, con el menor complementario Mn-1,n-1 correspondiente al elemento an-1,n-1:
Vamos a un caso concreto. Partiendo de una matriz A hallaremos el menor complementario de su elemento a1,1, suprimiendo la fila 1 y la columna 1. Lo llamaremos M1,1:
Completando el proceso con todos los elementos restantes de A, obtendremos todos sus menores complementarios.
A cada menor complementario le asociaremos su cofactor. Los cofactores (o adjuntos, según textos) se obtienen mediante esta operación que supone cambiarle el signo, o no, a cada menor complementario:
En el ejemplo anterior no habrá cambio de signo:
Habrá inversión de signo cuando el exponente sea impar. Una manera sencilla y visual es formar una matriz de la misma dimensión con los signos alternados, empezando por +. Estos serán los signos que habrá que aplicar al menor complementario de cada posición:
Hallados todos los cofactores (o adjuntos) de la matriz original A, podremos formar la matriz de cofactores (o matriz de adjuntos), colocando cada elemento en su posición. Se forma:
Veamos un ejemplo de matriz de cofactores obtenida de una matriz A a través del procedimiento dicho:
En primer lugar, hallar los menores de cada elemento de A y obtener después el valor de los adjuntos o cofactores con el proceso explicado de fijar el signo:
Obtenidos sus elementos, formar la matriz de adjuntos o matriz de cofactores Cof(A):
Podemos ya obtener la matriz adjunta Adj(A), que, como se ha dicho al principio, es la traspuesta de la matriz de cofactores Cof(A):
En resumen, son cuatro pasos para obtener la matriz adjunta, Adj(A), a partir de una matriz cuadrada invertible A cualquiera de orden n x n:
- Hallar los valores de los menores de cada elemento de A.
- Formar los n x n cofactores a partir de los n x n menores, aplicándoles el signo correspondiente.
- Construir la matriz de cofactores Cof(A), a base de colocar cada cofactor en su lugar.
- Finalmente, se obtiene la matriz adjunta Adj(A), que es la traspuesta de la matriz de cofactores.
La matriz adjunta Adj(A), que, como se ha dicho al principio, es la traspuesta de la matriz de cofactores Cof(A), sirve para calcular la matriz inversa A-1 de la matriz original A (para lo que el determinante de A no debe de ser nulo al estar en el denominador):
Un procedimiento, usando los cofactores o adjuntos hallados, simplifica el cálculo del determinante de una matriz cuadrada A. Consiste en sumar los productos de los elementos de cualquiera de sus filas o de sus columnas por sus cofactores correspondientes. En la imagen de abajo se aplica esta propiedad en la matriz anterior. Los valores son los elementos de la fila primera con sus correspondientes cofactores:
Se ha hallado así que el determinante de la matriz A es 5.
Matriz aumentada
La matriz aumentada (o matriz ampliada) se forma al añadir a una matriz cuadrada otra matriz. Este es un ejemplo de una matriz aumentada a partir de la matriz (A) aumentada con la matriz (B):
La matriz aumentada se emplea para encontrar la matriz inversa y en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Un ejemplo de uso de la matriz aumentada para encontrar la matriz inversa A-1 sería este, en el que la matriz original A se amplía con una matriz identidad del mismo orden:
En la que, mediante las transformaciones explicadas en la página de la matriz inversa se llega a:
La matriz aumentada sirve para también para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
Operaciones con matrices
Las operaciones con matrices son:
- Suma de matrices
- Resta de matrices
- Multiplicación de un escalar por una matriz
- Multiplicación de matrices
- División de matrices
- Potencias de matrices
Veamos todos los casos por separado:
Suma de matrices
La suma de matrices (de dos o más matrices) solamente existe cuando el orden m x n de estas es el mismo. Y del mismo orden será la matriz suma.
Se suman los elementos que ocupan la misma posición.
Sean dos matrices A y B de la misma dimensión m x n.
La matriz suma S, también será de dimensión m x n:
Ejemplo:
Sean dos matrices de orden 3×2. Su suma será:
La suma de varias matrices cumple las siguientes cuatro propiedades:
- Conmutativa:
- Asociativa:
- Elemento neutro:
- Elemento opuesto:
La matriz 0 es la matriz nula y -A es la matriz opuesta.
Resta de matrices
La resta de dos matrices A y B solamente existe cuando el orden m x n de éstas es el mismo. Y del mismo orden será la matriz resta R.
Se restan los elementos que ocupan la misma posición.
Sean dos matrices A y B de la misma dimensión m x n.
La matriz resta R, también de dimensión m x n, será:
Ejemplo:
Sean dos matrices de orden 3×2. Su resta será:
Escalar por una matriz
La multiplicación de un escalar por una matriz A (el escalar k es un número real) es otra matriz de la misma dimensión que A, cuyos elementos son el resultado de multiplicar ordenadamente el escalar k por cada elemento de A.
Ejemplos:
Veamos algunos ejemplos del producto de un número real por una matriz:
El producto de un número por una matriz cumple las propiedades: distributiva respecto a la suma de matrices, distributiva respecto a escalares, asociativa y existencia de elemento neutro.
- Distributiva respecto a la suma de matrices:
- Distributiva respecto a escalares:
- Asociativa externa:
- Elemento neutro:
Multiplicación de matrices
La multiplicación de matrices solamente es posible si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número filas de la segunda. Sus órdenes deben ser m x n y n x q.
La matriz producto resultante P tendrá un orden o dimensión m x q.
La operativa para obtener todos los elementos pi, j de la matriz producto P, consiste en tomar los m elementos de la fila i de la matriz Am x n y los q elementos de la columna j de la matriz Bn x q (las dos líneas tienen n elementos). Se suman los resultados de los n productos y el resultado es el elemento pi, j.
El caso más simple es una matriz fila An x 1 por una matriz columna B1 x n (o viceversa). Como en este ejemplo, una matriz 3×1 multiplicada por otra 1×2:
Esta matriz producto tiene una dimensión 3×2 (m x q).
Multiplicación de matrices 2×2
Un producto de matrices cuadradas de dimensión 2×2. Por ejemplo:
Esta matriz producto también tiene una dimensión 2×2 (m x q).
Multiplicación de matrices 3×3
Un producto de matrices cuadradas de dimensión 3×3. Vemos un ejemplo:
Se ve la operativa del producto de matrices. Cada fila de la primera matriz se multiplica por todas las columnas de la segunda y se suman los resultados.
Esta matriz producto tiene una dimensión 3×3 (m x q).
Multiplicación de matrices rectangulares
Multiplicando dos matrices rectangulares se comprueba, con estos dos ejemplos, que la matriz producto P tiene un orden o dimensión m x q.
Propiedades del producto de matrices
La multiplicación de dos matrices cumple las siguientes propiedades:
- Distributiva respecto a la suma de matrices:
- Asociativa:
- Respecto a la matriz unidad, se cumple que:
- Elemento neutro:
- En general, en la multiplicación de matrices no se cumple la propiedad conmutativa:
Estas son unas excepciones:
Donde 0 es una matriz nula, In, la matriz unitaria y A-1 una matriz inversa, todas cuadradas y de orden n.
División de matrices
La división de matrices propiamente no existe. Para realizar la operación:
Debemos de operar así:
Es una multiplicación de la matriz del numerador por la matriz inversa del denominador.
Para que esta operación sea posible, se requiere que:
- La matriz B del denominador sea invertible.
- Para que se puedan multiplicar dos matrices, estas deben tener el mismo orden o dimensión.
- Toda matriz invertible debe de ser una matriz cuadrada. A y B deben de ser cuadradas.
- En general, en la multiplicación de matrices no se cumple la propiedad conmutativa.
Ejemplo de división de dos matrices:
Vamos a realizar la división de A y B:
La matriz del denominador tiene inversa, por lo que la operación será:
División de una matriz por un escalar
En la matriz resultante, que tiene la misma dimensión que la matriz original, se divide cada término de la matriz del numerador por el escalar:
Potencia de matrices
La potencia de una matriz solamente es posible en las matrices cuadradas.
La potencia de matrices An consiste en concatenar ene veces multiplicaciones del factor matriz A.
Con frecuencia, se puede descifrar un determinado patrón en determinadas potencias de matrices. En ese caso se facilita el cálculo sin tener que hacer cada una de las multiplicaciones. Para ello, basta con realizar potencias de grado 3, 4 o 5 y poder llegar a inferir ese patrón.
Para averiguar si existe, se debe observar si exponentes pares o impares cambian los signos de los elementos, si se produce repetición, periódica, o si los sucesivos elementos de las potencias guardan relación con el exponente.
Hay ciertos tipos de matrices, cuyas potencias son inmediatas o muy sencillas.
De estos tres tipos, cualquier potencia resulta la misma matriz original:
Caso de la matriz triangular superior o en la matriz triangular inferior y cuando en ambos casos, los elementos de su diagonal principal son todo ceros. A partir de la potencia cuyo índice coincida con el rango de la matriz A, entonces el resultado es la matriz nula.
En la matriz escalar, la potencia An es inmediata:
En la matriz nilpotente, a partir de elevar al índice de nilpotencia, todas las potencias son la matriz nula (y del mismo orden).
En la matriz involutiva, los índices pares dan una matriz identidad y los índices impares, la matriz original.
Veamos si existe algún patrón en las potencias de esta matriz:
Con las cuatro primeras potencias:
Se puede inferir la potencia enésima:
Determinante de una matriz
El determinante de una matriz cuadrada A de orden n, es un único número real, al que llamaremos det(A) o |A|.
Los determinantes tienen muchas aplicaciones. Por enumerar algunas:
- Cálculo de la matriz adjunta.
- Con la matriz adjunta, hallar la matriz inversa.
- Cálculo del rango de una matriz.
- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer.
- Cálculo de áreas, como el área de un polígono irregular por el Determinante de Gauss.
- Cálculo volúmenes, como el volumen de un paralelepípedo conociendo las coordenadas de cuatro vértices no coincidentes en una cara.
Cálculo de un determinante
El cáculo de un determinante es el resultado de aplicar ciertas reglas. Según la dimensión de cada matriz, se empleará la regla más apropiada.
El determinante de una matriz cuadrada A de orden n, es un único número real, al que llamaremos det(A) o |A|. Es el resultado de aplicar ciertas reglas. Según la dimensión de cada matriz, se empleará la regla más apropiada.
Como regla general, un determinante es la suma de n! sumandos. Cada sumando es el producto de n elementos. Cada producto está formado n factores, con un elemento único de cada fila y un único elemento de cada columna de la matriz A. A cada uno de estos sumandos se le antepone el signo + o – según que en cada uno de ellos, los subíndices de fila i tengan o no la misma paridad de inversiones que los subíndices de columna j. (Inversiones son los mínimos movimientos que hay que hacer en los n subíndices para que queden en orden natural).
De más simple a mayor orden, se aplica:
Determinante de una matriz de orden 1
El determinante es su único elemento.
Determinante de una matriz de orden 2
En una matriz de orden 2, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria.
El determinante de esta matriz de segundo orden es 8.
Determinante de una matriz de orden 3
Es el número resultado de este desarrollo:
Vemos que el número de sumandos es 3! = 6.
La llamada regla de Sarrus facilita recordar este desarrollo. Visualmente se apreciarán las operaciones con una ampliación a la derecha con las columnas 1 y 2.
Igualmente se aprecian los seis productos sumandos, con su inversión de signo o no, ampliando la matriz verticalmente, añadiendo abajo las dos primeras filas.
Consiste en la suma del producto de los elementos de la diagonal principal y los productos de sus dos diagonales paralelas, más (con el signo invertido) la suma del producto de la diagonal secundaria y los de sus dos diagonales paralelas.
Para llegar al valor del determinante con el desarrollo indicado.
Ejercicio
El determinante es 12.
Teorema de Laplace
El teorema de Laplace, también denominado determinante por cofactores o desarrollo por los adjuntos propone un algoritmo para el cálculo del determinante de una matriz. Es útil para matrices de orden tres o superior.
Propone el teorema que un determinante puede hallarse con la suma de los productos de una fila o columna cualquiera por sus cofactores o adjuntos correspondientes a los de esa fila o columna (los cofactores son los elementos necesarios para formar la matriz adjunta).
Prioritariamente debe escogerse la fila o columna que tenga más ceros i/o unos, para simplificar el cálculo.
Esta sería la fórmula, si se escogiese la fila i.
Y esta, si se escogiese la columna j.
Este procedimiento supone calcular determinantes de matrices de orden n – 1.
Determinantes de orden superior
A. Otra forma de hallar el determinante de una matriz de orden 3 o superior consiste en basarse en una de las propiedades de los determinantes. La que establece que el determinante de una matriz triangular (superior o inferior), es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. Para ello se realizarán sobre la matriz inicial A las operaciones elementales necesarias para convertirla en una matriz escalonada.
Ejercicio
Aquí tenemos una matriz, cuyo determinante (que previamente se ha hallado, por ejemplo, por la regla de Sarrus) es 72:
Convertiremos la matriz en triangular, con operaciones elementales por eliminación de Gauss. El determinante, producto de los elementos de la diagonal principal, sigue siendo 72:
B. También se puede hallar un determinante de orden superior aplicando una de las propiedades de los determinantes por la que, mediante transformaciones elementales, se llega a que todos los elementos menos uno de una línea (en el caso del siguiente ejercicio, la primera columna) columna, sean ceros. El valor del determinante se obtiene fácilmente por Laplace. Al llegar a un determinante de un cofactor de orden 3, se calculará por la regla de Sarrus.
Determinante de una matriz en Excel
Se escriben los datos numéricos de la matriz sobre la que se quiere obtener su determinante. Cuadrada, mismo número de datos en filas que en columnas. Ninguna celda en blanco.
En otra celda se escribe la fórmula =MDETERM(). Entre paréntesis los datos de la matriz. La primera celda de la izquierda de la primera fila, dos puntos, y la última celda de la última columna. INTRO.
Propiedades de los determinantes
Las propiedades de los determinantes facilitan el cálculo.
Estas propiedades son válidas para determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.
Las propiedades referidas a las filas son igualmente aplicables a las columnas.
- Si todos los elementos de una fila de una matriz se descomponen en la suma de dos sumandos, el determinante de la matriz inicial es la suma de dos determinantes que tienen en una fila, respectivamente, el primer y segundo sumando, siendo el resto de las filas iguales a las filas del determinante de la matriz inicial.
- Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden, A y B, el determinante de la matriz multiplicación de matrices A·B es el producto de los determinantes de las dos matrices.
- Si los elementos de una fila de una matriz se multiplican por un número k diferente de cero, el determinante resultante será el determinante de la matriz original multiplicado por dicho número.
- Igualmente, si los elementos de p filas de una matriz se multiplican por un número k diferente de cero, el determinante resultante será el determinante de la matriz original multiplicado por kp.
- En una matriz invertible A, el determinante de su matriz inversa es igual al inverso del determinante A.
- Si una matriz es una matriz invertible A, su determinante es distinto de cero. Y en una matriz singular (no tiene inversa) su determinante sí que es nulo.
- El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta.
- Si una matriz se cambia el orden de una fila (o una columna) sus determinantes son de signo contrario.
- Si en una matriz se cambia el orden de n filas (o una columnas) sus determinantes son de signo contrario si n es impar.
En este ejemplo, se cambia el orden de tres filas: la 1, la 2 y la 3. Número de cambios impar, luego cambia el signo:
- Si todos los elementos de una fila son ceros, el determinante también es nulo.
- Si los elementos de dos filas son iguales o proporcionales, el determinante es nulo.
- Si los elementos de una fila son combinación lineal de otras filas, el determinante es nulo.
- Sumando los productos de los elementos de una fila por los adjuntos (o cofactores) de otra fila, el resultado es nulo.
- Si a los elementos de una fila se les suma (o resta) una combinación lineal de otras filas, el determinante no varía. Pero si a la línea sustituida le aplicamos un coeficiente, (en el ejemplo, -2), el determinante quedará multiplicado por ese mismo coeficiente:
- Dada una matriz A y la potencia de esa matriz An, el determinante de esta matriz potencia será igual al determinante |A|n.
- El determinante de cualquier matriz diagonal así como el determinante de cualquier matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal.
Regla de Cramer
La regla de Cramer permite resolver un sistema de ecuaciones lineales si cumple estas condiciones:
- El número n de ecuaciones debe ser igual al número n de incógnitas.
- Con los coeficientes de las incógnitas se debe formar una matriz invertible (o matriz regular), por lo que su determinante ha de ser distinto de cero.
Este sistema es útil para resolver sistemas con dos y tres ecuaciones.
El sistema de Cramer lo podemos representar así:
Se puede expresar con matrices, así:
O, abreviadamente:
La matriz de coeficientes A está formada por los coeficientes de las xn incógnitas (ya se ha dicho que su determinante no es nulo).
La matriz X es la matriz columna formada por las xi incógnitas.
La matriz B es la matriz columna formada los n términos independientes.
Necesariamente, un sistema de Cramer es compatible determinado, tiene una solución única. El rango de A es igual al de la matriz aumentada AB.
Para cada incógnita xi, en el denominador está el determinante A, |A|. En cada numerador, el determinante |Ai| es el de la matriz cuadrada en la que de A se ha sustituido la columna de los coeficientes de la variable xi por los elementos de la columna de B (la columna de los términos independientes).
La fórmula de Cramer para hallar cada una de las incógnitas es:
En un sistema de Cramer, con tres ecuaciones y tres incógnitas, las fórmulas de las tres soluciones serían: