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Matrices

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Las matrices tienen utilidad en una diversidad de campos, en especial en el álgebra lineal, especialmente para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Una matriz es una tabla de números ordenada en m filas y n columnas, cerrada entre paréntesis.

Cada elemento de la matriz se denomina aij. Y la matriz se representa por (aij), o, directamente por (A). El subíndice i indica la fila y el subíndice j, la columna.

Dibujo de una matriz

La matriz tiene m filas y n columnas. El primer elemento es a11 y el último amn.

La posición del elemento a12 es: primera fila y segunda columna.

En esta matriz están reflejadas las calificaciones obtenidas por los tres grupos de primero de un colegio.

Dibujo de un ejemplo de una matriz

En las filas, las calificaciones; en cada columna, los tres grupos.

Orden de una matriz

El orden de una matriz (o dimensión de una matriz) representa su número de filas, m y de columnas, n. Se expresa por m x n.

Veamos algunos ejemplos de matrices de distintos órdenes:

Dibujo de tres ejemplos del orden de una matriz

Rango de una matriz

El rango de una matriz A cualquiera de orden m x n es un número que representa el número de filas o columnas linealmente independientes. Se representa por rang (A).

Otra definición de rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada de A, sin aplicarle ninguna operación elemental cuyo determinante no sea nulo. Se pueden formar submatrices con filas o columnas no consecutivas.

El rango será igual o mayor que 1 e igual o menor que el número mínimo de las filas m o de las columnas n.

Una matriz de orden m x n tiene rango completo si éste es el número menor entre filas m o de columnas n.

Veamos esta matriz de orden 4×3:

Matriz para el ejemplo de rango de una matriz

Para hallar su rango, lo hacemos por el primer procedimiento descrito. Averiguando cuantas filas o columnas linealmente independientes hay. La manera más sencilla es convertir la matriz en matriz escalonada, para eliminar los renglones que son linealmente dependientes, que se averiguará cuando en la matriz escalonada haya alguna fila o columna con todos los elementos cero. Lo haremos por Gauss:

Las transformaciones buscan primero hacer ceros los elementos de la primera columna que están por debajo del primer elemento:

Cálculo de los ceros de la primera columna en el ejemplo

Se sigue buscando el escalonamiento, haciendo ceros los elementos por debajo del segundo elemento de la segunda columna:

Cálculo de los ceros de la segunda columna en el ejemplo

Por último, transformaremos para intentar hacer cero el último elemento de la tercera y última columna:

Cálculo de los ceros de la tercera columna en el ejemplo

La cuarta fila es linealmente dependiente de las otras tres. Habrá tres filas linealmente independientes. El rango es 3:

Ejemplo de rango de una matriz

Tipos de matrices

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Existen diferentes tipos de matrices. Vamos a ver las matrices más importantes:

Matriz nula

En una matriz nula, todos los elementos son ceros. Admite todos los órdenes m x n.

Dibujo de la matriz nula

Matriz fila

En una matriz fila, sus elementos están en una única fila (de orden o dimensión 1 x n).

Dibujo de la forma general de una matriz fila

Estos son dos ejemplos de dos matrices fila de orden 1 x 3 y orden 1 x 2:

Dibujo de ejemplos de matrices fila

Matriz columna

Una matriz columna es la que sus elementos están en una única columna (dimensión n x 1):

Dibujo de la forma general de una matriz columna

Un ejemplo de matriz columna, en este caso, de orden 7 x 1:

Dibujo de ejemplos de matrices columna

Matriz rectangular

Una matriz rectangular tiene diferente número de filas (m) que de columnas (n). Su orden o dimensión será m x n (m ≠ n).

Dibujo de la forma general de una matriz rectangular

Matriz traspuesta

Una matriz traspuesta, que la llamaremos At, se obtiene de otra matriz A intercambiando ordenadamente la filas por columnas.

Aquí tenemos una matriz y su traspuesta:

Dibujo de una matriz traspuesta

En sus elementos, se cumple que:

Condición para las matrices traspuestas

Se cumple que la matriz traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original:

Fórmula de la matriz traspuesta de una traspuesta

Si el orden o dimensión de una matriz es m x n la dimensión de su traspuesta será n x m (y si una matriz es cuadrada, lógicamente su traspuesta también lo será).

A partir de la matriz traspuesta se llega a la matriz simétrica y también a la matriz antisimétrica.

Veamos algunos ejemplos de matrices traspuestas:

Ejemplos de matrices traspuestas

Matriz opuesta

Dada una matriz A de orden m x n su matriz opuesta es otra matriz, llamada – A, de la misma dimensión en la que sus elementos son los de la A pero con signo cambiado:

Dibujo de la matriz opuesta

La matriz opuesta de una matriz opuesta es la matriz original:

Fórmula de la matriz opuesta de la opuesta

Matriz escalonada

En una matriz escalonada Am x n se cumple que:

  • Las filas con todos sus elementos nulos están en la parte inferior de la matriz.
  • El primer elemento de una fila (empezando por la izquierda) diferente de cero, si existe, lo llamaremos pivote. Cada pivote está a la derecha del pivote de la fila superior.

A este tipo lo llamamos matriz escalonada por filas. Con las condiciones relativas a columnas estarían la matriz escalonada por columnas.:

Estos son ejemplos de matrices escalonadas. Los pivotes están coloreados:

Ejemplos de matrices escalonadas

A partir de una matriz no nula se puede llegar, mediante operaciones elementales, a infinitas matrices escalonadas.

Y estas matrices no son escalonadas:

Ejemplos de matriz no escalonada

Matriz escalonada reducida

La matriz escalonada reducida, además de cumplir las condiciones de una matriz escalonada general, debe de cumplir también estas dos condiciones:

  • Si en una fila existe un pivote, este es 1.
  • En las columnas en las que hay un pivote, los elementos que están por encima de él también son 0 (es decir, en esas columnas el pivote 1 es el único elemento no nulo).

Estos son ejemplos de matrices escalonadas reducidas. Los pivotes están coloreados:

Ejemplos de matriz escalonada reducible

A partir de una matriz no nula se puede llegar, mediante transformaciones, a una única matriz escalonada reducida.

Matrices iguales

Dos matrices son iguales si son del mismo orden o dimensión Am x n y Bm x n y si los elementos que ocupan la misma posición también lo son.

La condición se expresa así:

Condición para que dos matrices sean iguales

Estas son dos matrices iguales.

Dibujo de dos matrices iguales

Matrices equivalentes

Las matrices equivalentes son matrices de la misma dimensión Am x n y Bm x n cuando la matriz B se obtiene de aplicar a la matriz A un número finito de operaciones elementales.

Estas matrices son equivalentes.

Dibujo de matrices equivalentes

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada es un tipo de matriz fundamental en álgebra y aplicaciones en campos como la econometría. En una matriz cuadrada, el número de filas y de columnas es el mismo. Se denota también como An y se dice que es una matriz de orden n x n o , más habitualmente, como de orden n.

Veamos unos ejemplos de matriz cuadrada 2×2 y matriz cuadrada 3×3:

Dibujo de dos ejemplos de matriz cuadrada

La diagonal principal de una matriz y la diagonal secundaria existen en las matrices cuadradas:

  • En la diagonal principal sus elementos tienen sus subíndices iguales: van de a1, 1 a an, n.
  • En la diagonal secundaria, sus elementos van desde a1, n a an, 1.
Dibujo de las diagonales de una matriz cuadrada

La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal.

Fórmula de la traza de una matriz

Veamos los tipos especiales de matriz cuadrada más importantes.

Matriz triangular

Una matriz triangular es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos, por debajo o por encima de la diagonal principal.

Dibujo de una matriz triangular
Matriz triangular superior

Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos, por debajo de la diagonal principal.

Dibujo de una matriz triangular superior
Matriz triangular inferior

Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada que tiene que tiene todos los elementos nulos, por encima de la diagonal principal.

Dibujo de una matriz triangular inferior

Matriz diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada y un tipo de matriz triangular que, a la vez, es triangular superior y triangular inferior. Todos los elementos de una matriz diagonal que no pertenecen a la diagonal principal, son ceros. La diagonal principal puede contener ceros.

Dibujo de un ejemplo de matriz diagonal

La condición se expresa así:

Condición de las matrices diagonales

Toda matriz escalar , toda matriz identidad y toda matriz nula son casos de matrices diagonales.

Matriz escalar

Una matriz escalar es aquella matriz diagonal en la que los elementos de su diagonal principal son iguales y el resto de elementos son nulos. Es una matriz cuadrada.

Dibujo de una matriz escalar
Matriz identidad

Una matriz idéntica (o matriz identidad o matriz unitaria, también se le llama matriz unidad) es la clase de matriz diagonal en la que los elementos de su diagonal principal son la unidad (es decir, unos). Cuando su orden es n se denomina In. Es una matriz cuadrada.

Dada una matriz cuadrada A de orden n:

Matriz identidad cuadrada

Decimos que es una matriz identidad In cuando cumple que (siendo i el número de la fila y j el número de la columna):

Requisito para las matrices identidades

Estos son casos de matriz identidad de orden 2, 3 y 4:

Dibujo de una matriz identidad

Matriz simétrica

La matriz simétrica es una matriz cuadrada en que los elementos en posición simétrica respecto a la diagonal principal son iguales. Una matriz simétrica es igual a su matriz traspuesta. Toda matriz diagonal (y, por lo tanto, la matriz escalar o la matriz identidad) es simétrica.

Dibujo de una matriz simétrica

Se cumple en una matriz simétrica que:

Condición de una matriz simétrica

Para todo i, j.

Matriz antisimétrica

La matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta At es igual a su opuesta (At = – A).

Los elementos de la diagonal principal deben de ser ceros, porque un número diferente de cero no podría ser igual a sí mismo si se le cambiase el signo (o, dicho de otra forma, un cero es su propio opuesto). Los elementos restantes en posición simétrica respecto a la diagonal principal serán opuestos entre sí.

Se cumple en una matriz antisimétrica que:

Condición de una matriz antisimétrica

Para todo i, j. Y cuando i = j, el elemento de esa posición es nulo.

Matriz inversa

La matriz inversa es una matriz cuadrada, representada por A-1. Se dice que es la inversa de otra matriz cuadrada A del mismo orden n, cuando el producto de ambas matrices es la matriz identidad In.

Dibujo de la matriz inversa

Entonces, tanto A como A-1 son casos de matriz invertible o matriz regular. En ambos casos, el rango coincide con su orden n. Y eso se cumple porque el determinante de ambas matrices no debe de ser nulo.

La matriz inversa de una matriz inversa es la matriz original:

Fórmula de la matriz inversa de la matriz inversa

Los procedimientos de cálculo de una matriz inversa lo desarrollaremos en esta página.

Matriz invertible

Se llama matriz invertible (o matriz regular o matriz inversible) a la matriz cuadrada que tiene su matriz inversa.

No todas las matrices cuadradas tienen su inversa. Para ello, debe ser su determinante ≠ 0. Si una matriz no tuviera inversa, sería una matriz singular.

Si una matriz es invertible también es invertible su matriz traspuesta.

Aquí tenemos dos ejemplos de matrices inversas de orden 2 y 3, junto a su matriz invertible o regular correspondiente (con su determinante no nulo).

Ejemplos de matrices invertibles

Matriz singular

Una matriz singular (o matriz degenerada ) es una matriz cuadrada que no tiene inversa.

La característica principal de una matriz singular es que su determinante es nulo.

Dibujo de una matriz singular

Estos son cuatro ejemplos de matrices singulares:

Ejemplos de matrices singulares

Matriz elemental

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Una matriz elemental es cualquier matriz que se obtiene al aplicarle a la matriz identidad una sola operación elemental, de fila o de columna.

Estas son las operaciones elementales:

  • Intercambiar líneas (filas o columnas).
  • Multiplicar una línea por un número real diferente de cero.
  • Obtener una línea al sumarla a otra multiplicada por un número real diferente de cero.
Dibujo de una matriz elemental

Mediante la operación inversa, se puede volver desde la matriz elemental obtenida mediante esas operaciones elementales a la matriz identidad original. Por lo que las matrices elementales son a su vez matrices invertibles.

Dibujo de una matriz elemental 2

Matriz involutiva

Una matriz involutiva A es una matriz invertible y, por tanto, matriz cuadrada, tal que es igual a su matriz inversa (pincha aquí para ver cómo se halla la matriz inversa).

Se debe de verificar que A² = I. Esto es porque una matriz invertible al multiplicarla por su matriz inversa, resulta una matriz identidad.

Condición de una matriz involutiva

El determinante de una matriz involutiva debe de ser ±1. Pero no todas las matrices cuyo determinante sea ±1 debe de ser necesariamente involutiva. Toda matriz identidad, como la matriz opuesta a la matriz identidad, son involutivas.

Una matriz involutiva elevada a cualquier exponente da lugar a otra matriz involutiva, de manera que si el exponente es par, la potencia será la matriz identidad I pero si el exponente es impar, la potencia será la matriz involutiva original A.

Potencia de una matriz involutiva

Se ve en el ejemplo en una matriz involutiva.

Ejemplo de la potencia de una matriz involutiva

Una matriz de orden 2, A2, es involutiva si los dos elementos de su diagonal principal tienen signos opuestos y, además, su determinante es ±1. Para ello, el producto de los elementos de la diagonal secundaria deben de diferir en una unidad del producto de los elementos de la diagonal principal.

Además de esta última condición para una matriz de orden 2, la matriz identidad y su matriz opuesta también son matrices involutivas. Aquí, unos ejemplos de matrices involutivas de orden 2:

Ejemplos de matrices de orden 2

Y un caso de matriz involutiva de orden 3, A3:

Ejemplos de matrices de orden 3

Matriz idempotente

Una matriz idempotente A, es una matriz cuadrada que al multiplicarla por ella misma da lugar a la matriz original.

Condición de una matriz idempotente

Sucesivas potencias de una matriz idempotente A dan lugar a la matriz original A.

Potencia de una matriz idempotente

La matriz identidad y la matriz nula cuadrada son dos casos de matriz idempotente.

Las matrices idempotentes son matrices singulares (no tienen inversa) excepto la matriz identidad y la matriz nula cuadrada.

No es condición necesaria para que una matriz sea idempotente el que sea una matriz simétrica.

El determinante de una matriz idempotente es siempre o 0 o 1.

Una matriz idempotente de orden 2 debe de satisfacer:

Condición de una matriz idempotente de orden 2

Estos son dos ejemplos de matrices idempotentes:

Ejemplos de matrices idempotentes

En una matriz idempotente, la traza es igual al rango.

Matriz nilpotente

Una matriz nilpotente N, es una matriz cuadrada que al multiplicarla por ella misma, al menos un número de veces z, da lugar a una matriz nula (y también cuadrada).

Condición de una matriz nilpotente

Se llama índice de nilpotencia al menor de esos índices z. El índice de nilpotencia es igual o menor que el orden n de la matriz.

Índice de una matriz nilpotente

Un ejemplo de matriz nilpotente de orden 2 es:

Ejemplo de una matriz nilpotente de orden 2

Matriz ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz invertible y, por tanto, matriz cuadrada. Una matriz ortogonal multiplicada por su matriz traspuesta resulta una matriz identidad.

La inversa de una matriz ortogonal es igual a su traspuesta. Una matriz identidad también es ortogonal.

Matriz inversa de una matriz ortogonal

Estos son dos ejemplos de matrices ortogonales:

Ejemplos de matrices ortogonales

Matriz adjunta

La matriz adjunta de A a la que llamaremos Adj(A), es la traspuesta de la matriz de adjuntos o matriz de cofactores Cof(A). La matriz adjunta es cuadrada, invertible y del mismo orden que A.

Hay una disparidad entre autores. Unos llaman matriz de adjuntos a la matriz de cofactores, porque a sus elementos, denominados cofactores (Ci,j), también los llaman adjuntos (adji,j).

Veamos estos conceptos:

Primero introduciremos la noción del menor o menor complementario de una matriz de un elemento ai,j de la matriz A. El menor es el determinante de una matriz de orden n – 1, a la que llamaremos Mi,j, resultante de suprimir en A tanto el elemento ai,j como los de su fila y su columna correspondientes. Lo vemos, por ejemplo, en la imagen, con el menor complementario Mn-1,n-1 correspondiente al elemento an-1,n-1:

Dibujo del menor complementario de una matriz

Vamos a un caso concreto. Partiendo de una matriz A hallaremos el menor complementario de su elemento a1,1, suprimiendo la fila 1 y la columna 1. Lo llamaremos M1,1:

Ejemplo del menor complementario de una matriz 1

Completando el proceso con todos los elementos restantes de A, obtendremos todos sus menores complementarios.

A cada menor complementario le asociaremos su cofactor. Los cofactores (o adjuntos, según textos) se obtienen mediante esta operación que supone cambiarle el signo, o no, a cada menor complementario:

Dibujo cofactor del menor complementario de una matriz

En el ejemplo anterior no habrá cambio de signo:

Ejemplo del menor complementario de una matriz 2

Habrá inversión de signo cuando el exponente sea impar. Una manera sencilla y visual es formar una matriz de la misma dimensión con los signos alternados, empezando por +. Estos serán los signos que habrá que aplicar al menor complementario de cada posición:

Signos de los cofactores de una matriz 4x4

Hallados todos los cofactores (o adjuntos) de la matriz original A, podremos formar la matriz de cofactores (o matriz de adjuntos), colocando cada elemento en su posición. Se forma:

Cálculo de la matriz de cofactores desde la matriz adjunta

Veamos un ejemplo de matriz de cofactores obtenida de una matriz A a través del procedimiento dicho:

Matriz del ejemplo del método de Gauss-Jordan para buscar la matriz inversa

En primer lugar, hallar los menores de cada elemento de A y obtener después el valor de los adjuntos o cofactores con el proceso explicado de fijar el signo:

Ejemplo de la matriz adjunta 1

Obtenidos sus elementos, formar la matriz de adjuntos o matriz de cofactores Cof(A):

Ejemplo de la matriz adjunta 2

Podemos ya obtener la matriz adjunta Adj(A), que, como se ha dicho al principio, es la traspuesta de la matriz de cofactores Cof(A):

Ejemplo de la matriz adjunta 2

En resumen, son cuatro pasos para obtener la matriz adjunta, Adj(A), a partir de una matriz cuadrada invertible A cualquiera de orden n x n:

  • Hallar los valores de los menores de cada elemento de A.
  • Formar los n x n cofactores a partir de los n x n menores, aplicándoles el signo correspondiente.
  • Construir la matriz de cofactores Cof(A), a base de colocar cada cofactor en su lugar.
  • Finalmente, se obtiene la matriz adjunta Adj(A), que es la traspuesta de la matriz de cofactores.

La matriz adjunta Adj(A), que, como se ha dicho al principio, es la traspuesta de la matriz de cofactores Cof(A), sirve para calcular la matriz inversa A-1 de la matriz original A (para lo que el determinante de A no debe de ser nulo al estar en el denominador):

Ejemplo de la matriz adjunta 1

Un procedimiento, usando los cofactores o adjuntos hallados, simplifica el cálculo del determinante de una matriz cuadrada A. Consiste en sumar los productos de los elementos de cualquiera de sus filas o de sus columnas por sus cofactores correspondientes. En la imagen de abajo se aplica esta propiedad en la matriz anterior. Los valores son los elementos de la fila primera con sus correspondientes cofactores:

Ejemplo de la matriz adjunta 3

Se ha hallado así que el determinante de la matriz A es 5.

Matriz aumentada

La matriz aumentada (o matriz ampliada) se forma al añadir a una matriz cuadrada otra matriz. Este es un ejemplo de una matriz aumentada a partir de la matriz (A) aumentada con la matriz (B):

Dibujo de una matriz aumentada

La matriz aumentada se emplea para encontrar la matriz inversa y en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Un ejemplo de uso de la matriz aumentada para encontrar la matriz inversa A-1 sería este, en el que la matriz original A se amplía con una matriz identidad del mismo orden:

Matriz aumentada del ejemplo 1

En la que, mediante las transformaciones explicadas en la página de la matriz inversa se llega a:

Matriz inversa 4 del ejemplo 1

La matriz aumentada sirve para también para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Enunciado en el ejercicio 1 de la matriz aumentada

Operaciones con matrices

Las operaciones con matrices son:

Veamos todos los casos por separado:

Suma de matrices

La suma de matrices (de dos o más matrices) solamente existe cuando el orden m x n de estas es el mismo. Y del mismo orden será la matriz suma.

Se suman los elementos que ocupan la misma posición.

Sean dos matrices A y B de la misma dimensión m x n.

Dos matrices para su suma

La matriz suma S, también será de dimensión m x n:

Matriz suma de dos matrices

Ejemplo:

Sean dos matrices de orden 3×2. Su suma será:

Ejercicio resuelto de suma de matrices

La suma de varias matrices cumple las siguientes cuatro propiedades:

  • Conmutativa:
    Cumplimiento de la propiedad conmutativa
  • Asociativa:
    Cumplimiento de la propiedad asociativa
  • Elemento neutro:
    Existencia del elemento neutro
  • Elemento opuesto:
    Existencia del elemento opuesto

La matriz 0 es la matriz nula y -A es la matriz opuesta.

Resta de matrices

La resta de dos matrices A y B solamente existe cuando el orden m x n de éstas es el mismo. Y del mismo orden será la matriz resta R.

Se restan los elementos que ocupan la misma posición.

Sean dos matrices A y B de la misma dimensión m x n.

Dos matrices para su suma

La matriz resta R, también de dimensión m x n, será:

Matriz resta de dos matrices

Ejemplo:

Sean dos matrices de orden 3×2. Su resta será:

Ejercicio resuelto de resta de matrices

Escalar por una matriz

La multiplicación de un escalar por una matriz A (el escalar k es un número real) es otra matriz de la misma dimensión que A, cuyos elementos son el resultado de multiplicar ordenadamente el escalar k por cada elemento de A.

Fórmula del producto de un escalar por una matriz

Ejemplos:

Veamos algunos ejemplos del producto de un número real por una matriz:

Ejercicio resuelto de un número por una matriz

El producto de un número por una matriz cumple las propiedades: distributiva respecto a la suma de matrices, distributiva respecto a escalares, asociativa y existencia de elemento neutro.

  • Distributiva respecto a la suma de matrices:
    Cumplimento de la propiedad distrbutiva respecto la suma de matrices
  • Distributiva respecto a escalares:
    Cumplimento de la propiedad distrbutiva respecto a escalares
  • Asociativa externa:
    Cumplimento de la propiedad asociativa externa
  • Elemento neutro:
    Existencia del elemento neutro

Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices solamente es posible si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número filas de la segunda. Sus órdenes deben ser m x n y n x q.

La matriz producto resultante P tendrá un orden o dimensión m x q.

La operativa para obtener todos los elementos pi, j de la matriz producto P, consiste en tomar los m elementos de la fila i de la matriz Am x n y los q elementos de la columna j de la matriz Bn x q (las dos líneas tienen n elementos). Se suman los resultados de los n productos y el resultado es el elemento pi, j.

El caso más simple es una matriz fila An x 1 por una matriz columna B1 x n (o viceversa). Como en este ejemplo, una matriz 3×1 multiplicada por otra 1×2:

Fórmula de la multiplicación de matrices

Esta matriz producto tiene una dimensión 3×2 (m x q).

Multiplicación de matrices 2×2

Un producto de matrices cuadradas de dimensión 2×2. Por ejemplo:

Fórmula de la multiplicación de matrices 2x2

Esta matriz producto también tiene una dimensión 2×2 (m x q).

Multiplicación de matrices 3×3

Un producto de matrices cuadradas de dimensión 3×3. Vemos un ejemplo:

Fórmula de la multiplicación de matrices 3x3

Se ve la operativa del producto de matrices. Cada fila de la primera matriz se multiplica por todas las columnas de la segunda y se suman los resultados.

Esta matriz producto tiene una dimensión 3×3 (m x q).

Multiplicación de matrices rectangulares

Multiplicando dos matrices rectangulares se comprueba, con estos dos ejemplos, que la matriz producto P tiene un orden o dimensión m x q.

Fórmula de la multiplicación de matrices rectangulares

Propiedades del producto de matrices

La multiplicación de dos matrices cumple las siguientes propiedades:

División de matrices

La división de matrices propiamente no existe. Para realizar la operación:

Fórmula de la división de matrices

Debemos de operar así:

Fórmula de la división de matrices multiplicando

Es una multiplicación de la matriz del numerador por la matriz inversa del denominador.

Para que esta operación sea posible, se requiere que:

Ejemplo de división de dos matrices:

Vamos a realizar la división de A y B:

Enunciado del ejercicio 1

La matriz del denominador tiene inversa, por lo que la operación será:

Resultado del ejercicio 1

División de una matriz por un escalar

En la matriz resultante, que tiene la misma dimensión que la matriz original, se divide cada término de la matriz del numerador por el escalar:

Fórmula de la división de una matriz por un escalar

Potencia de matrices

La potencia de una matriz solamente es posible en las matrices cuadradas.

La potencia de matrices An consiste en concatenar ene veces multiplicaciones del factor matriz A.

Fórmula de la potencia de una matriz

Con frecuencia, se puede descifrar un determinado patrón en determinadas potencias de matrices. En ese caso se facilita el cálculo sin tener que hacer cada una de las multiplicaciones. Para ello, basta con realizar potencias de grado 3, 4 o 5 y poder llegar a inferir ese patrón.

Para averiguar si existe, se debe observar si exponentes pares o impares cambian los signos de los elementos, si se produce repetición, periódica, o si los sucesivos elementos de las potencias guardan relación con el exponente.

Hay ciertos tipos de matrices, cuyas potencias son inmediatas o muy sencillas.

De estos tres tipos, cualquier potencia resulta la misma matriz original:

Caso de la matriz triangular superior o en la matriz triangular inferior y cuando en ambos casos, los elementos de su diagonal principal son todo ceros. A partir de la potencia cuyo índice coincida con el rango de la matriz A, entonces el resultado es la matriz nula.

Fórmula de la potencia de una matriz triangular

En la matriz escalar, la potencia An es inmediata:

Fórmula de la potencia de una matriz escalar

En la matriz nilpotente, a partir de elevar al índice de nilpotencia, todas las potencias son la matriz nula (y del mismo orden).

En la matriz involutiva, los índices pares dan una matriz identidad y los índices impares, la matriz original.

Fórmula de la potencia de una matriz involutiva

Veamos si existe algún patrón en las potencias de esta matriz:

Patrón de la potencia de una matriz involutiva

Con las cuatro primeras potencias:

Cuatro primeras potencias de una matriz involutiva

Se puede inferir la potencia enésima:

Potencia enésima de una matriz involutiva

Determinante de una matriz

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n, es un único número real, al que llamaremos det(A) o |A|.

Los determinantes tienen muchas aplicaciones. Por enumerar algunas:

Cálculo de un determinante

El cáculo de un determinante es el resultado de aplicar ciertas reglas. Según la dimensión de cada matriz, se empleará la regla más apropiada.

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n, es un único número real, al que llamaremos det(A) o |A|. Es el resultado de aplicar ciertas reglas. Según la dimensión de cada matriz, se empleará la regla más apropiada.

Como regla general, un determinante es la suma de n! sumandos. Cada sumando es el producto de n elementos. Cada producto está formado n factores, con un elemento único de cada fila y un único elemento de cada columna de la matriz A. A cada uno de estos sumandos se le antepone el signo + o – según que en cada uno de ellos, los subíndices de fila i tengan o no la misma paridad de inversiones que los subíndices de columna j. (Inversiones son los mínimos movimientos que hay que hacer en los n subíndices para que queden en orden natural).

De más simple a mayor orden, se aplica:

Determinante de una matriz de orden 1

El determinante es su único elemento.

Fórmula del determinante de una matriz de orden 1

Determinante de una matriz de orden 2

En una matriz de orden 2, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria.

Fórmula del determinante de una matriz de orden 2

El determinante de esta matriz de segundo orden es 8.

Determinante de una matriz de orden 3

Es el número resultado de este desarrollo:

Fórmula de la regla de Sarrus

Vemos que el número de sumandos es 3! = 6.

La llamada regla de Sarrus facilita recordar este desarrollo. Visualmente se apreciarán las operaciones con una ampliación a la derecha con las columnas 1 y 2.

Fórmula de la regla de Sarrus ampliada

Igualmente se aprecian los seis productos sumandos, con su inversión de signo o no, ampliando la matriz verticalmente, añadiendo abajo las dos primeras filas.

Fórmula de la regla de Sarrus ampliada 2

Consiste en la suma del producto de los elementos de la diagonal principal y los productos de sus dos diagonales paralelas, más (con el signo invertido) la suma del producto de la diagonal secundaria y los de sus dos diagonales paralelas.

Para llegar al valor del determinante con el desarrollo indicado.

Ejercicio
Cálculos en el ejercicio 1

El determinante es 12.

Teorema de Laplace

El teorema de Laplace, también denominado determinante por cofactores o desarrollo por los adjuntos propone un algoritmo para el cálculo del determinante de una matriz. Es útil para matrices de orden tres o superior.

Propone el teorema que un determinante puede hallarse con la suma de los productos de una fila o columna cualquiera por sus cofactores o adjuntos correspondientes a los de esa fila o columna (los cofactores son los elementos necesarios para formar la matriz adjunta).

Prioritariamente debe escogerse la fila o columna que tenga más ceros i/o unos, para simplificar el cálculo.

Esta sería la fórmula, si se escogiese la fila i.

Fórmula del teorema de Laplace con la fila i

Y esta, si se escogiese la columna j.

Fórmula del teorema de Laplace con la columna j

Este procedimiento supone calcular determinantes de matrices de orden n – 1.

Determinantes de orden superior

A. Otra forma de hallar el determinante de una matriz de orden 3 o superior consiste en basarse en una de las propiedades de los determinantes. La que establece que el determinante de una matriz triangular (superior o inferior), es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. Para ello se realizarán sobre la matriz inicial A las operaciones elementales necesarias para convertirla en una matriz escalonada.

Ejercicio

Aquí tenemos una matriz, cuyo determinante (que previamente se ha hallado, por ejemplo, por la regla de Sarrus) es 72:

Enunciado en el ejercicio 1 de determinante de orden superior

Convertiremos la matriz en triangular, con operaciones elementales por eliminación de Gauss. El determinante, producto de los elementos de la diagonal principal, sigue siendo 72:

Resultado en el ejercicio 1 de determinante de orden superior

B. También se puede hallar un determinante de orden superior aplicando una de las propiedades de los determinantes por la que, mediante transformaciones elementales, se llega a que todos los elementos menos uno de una línea (en el caso del siguiente ejercicio, la primera columna) columna, sean ceros. El valor del determinante se obtiene fácilmente por Laplace. Al llegar a un determinante de un cofactor de orden 3, se calculará por la regla de Sarrus.

Determinante de una matriz en Excel

Se escriben los datos numéricos de la matriz sobre la que se quiere obtener su determinante. Cuadrada, mismo número de datos en filas que en columnas. Ninguna celda en blanco.

En otra celda se escribe la fórmula =MDETERM(). Entre paréntesis los datos de la matriz. La primera celda de la izquierda de la primera fila, dos puntos, y la última celda de la última columna. INTRO.

Propiedades de los determinantes

Las propiedades de los determinantes facilitan el cálculo.

Estas propiedades son válidas para determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.

Las propiedades referidas a las filas son igualmente aplicables a las columnas.

  • Si todos los elementos de una fila de una matriz se descomponen en la suma de dos sumandos, el determinante de la matriz inicial es la suma de dos determinantes que tienen en una fila, respectivamente, el primer y segundo sumando, siendo el resto de las filas iguales a las filas del determinante de la matriz inicial.
    Descomposición en filas en propiedades de los determinantes
  • Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden, A y B, el determinante de la matriz multiplicación de matrices A·B es el producto de los determinantes de las dos matrices.
    Propiedad del determinante de la multiplicación de matrices
  • Si los elementos de una fila de una matriz se multiplican por un número k diferente de cero, el determinante resultante será el determinante de la matriz original multiplicado por dicho número.
    Propiedad del determinante de la multiplicación por un escalar
  • Igualmente, si los elementos de p filas de una matriz se multiplican por un número k diferente de cero, el determinante resultante será el determinante de la matriz original multiplicado por kp.
    Propiedad del determinante de la multiplicación de filas por un escalar
  • En una matriz invertible A, el determinante de su matriz inversa es igual al inverso del determinante A.
    Propiedad del determinante de la matriz inversa
  • Si una matriz es una matriz invertible A, su determinante es distinto de cero. Y en una matriz singular (no tiene inversa) su determinante sí que es nulo.
    Propiedad del determinante de la matriz singular
  • El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta.
    Propiedad del determinante de la matriz traspuesta
  • Si una matriz se cambia el orden de una fila (o una columna) sus determinantes son de signo contrario.
    Propiedad del determinante de cambiar una fila de orden
  • Si en una matriz se cambia el orden de n filas (o una columnas) sus determinantes son de signo contrario si n es impar.

    En este ejemplo, se cambia el orden de tres filas: la 1, la 2 y la 3. Número de cambios impar, luego cambia el signo:

    Propiedad del determinante de cambiar varias filas de orden
  • Si todos los elementos de una fila son ceros, el determinante también es nulo.
    Propiedad del determinante de una fila de ceros
  • Si los elementos de dos filas son iguales o proporcionales, el determinante es nulo.
    Propiedad del determinante de dos filas iguales
  • Si los elementos de una fila son combinación lineal de otras filas, el determinante es nulo.
    Propiedad del determinante con una fila combinación lineal
  • Sumando los productos de los elementos de una fila por los adjuntos (o cofactores) de otra fila, el resultado es nulo.
    Propiedad del determinante de la matriz adjuntos
  • Si a los elementos de una fila se les suma (o resta) una combinación lineal de otras filas, el determinante no varía. Pero si a la línea sustituida le aplicamos un coeficiente, (en el ejemplo, -2), el determinante quedará multiplicado por ese mismo coeficiente:
    Propiedad del determinante con una fila combinación lineal 2
  • Dada una matriz A y la potencia de esa matriz An, el determinante de esta matriz potencia será igual al determinante |A|n.
    Propiedad del determinante de la potencia de una matriz
  • El determinante de cualquier matriz diagonal así como el determinante de cualquier matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal.
    Propiedad del determinante de la matriz diagonal

Regla de Cramer

La regla de Cramer permite resolver un sistema de ecuaciones lineales si cumple estas condiciones:

  • El número n de ecuaciones debe ser igual al número n de incógnitas.
  • Con los coeficientes de las incógnitas se debe formar una matriz invertible (o matriz regular), por lo que su determinante ha de ser distinto de cero.

Este sistema es útil para resolver sistemas con dos y tres ecuaciones.

El sistema de Cramer lo podemos representar así:

Sistema 1 del ejemplo 2

Se puede expresar con matrices, así:

Sistema 2 del ejemplo 2

O, abreviadamente:

Sistema 3 del ejemplo 2

La matriz de coeficientes A está formada por los coeficientes de las xn incógnitas (ya se ha dicho que su determinante no es nulo).

La matriz X es la matriz columna formada por las xi incógnitas.

La matriz B es la matriz columna formada los n términos independientes.

Necesariamente, un sistema de Cramer es compatible determinado, tiene una solución única. El rango de A es igual al de la matriz aumentada AB.

Para cada incógnita xi, en el denominador está el determinante A, |A|. En cada numerador, el determinante |Ai| es el de la matriz cuadrada en la que de A se ha sustituido la columna de los coeficientes de la variable xi por los elementos de la columna de B (la columna de los términos independientes).

La fórmula de Cramer para hallar cada una de las incógnitas es:

Fórmula de la regla de Cramer

En un sistema de Cramer, con tres ecuaciones y tres incógnitas, las fórmulas de las tres soluciones serían:

Soluciones de la regla de Cramer

AUTOR: Bernat Requena Serra


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