Cálculo de un determinante

El cáculo de un determinante es el resultado de aplicar ciertas reglas. Según la dimensión de cada matriz, se empleará la regla más apropiada.

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n, es un único número real, al que llamaremos det(A) o |A|. Es el resultado de aplicar ciertas reglas. Según la dimensión de cada matriz, se empleará la regla más apropiada.

Como regla general, un determinante es la suma de n! sumandos. Cada sumando es el producto de n elementos. Cada producto está formado n factores, con un elemento único de cada fila y un único elemento de cada columna de la matriz A. A cada uno de estos sumandos se le antepone el signo + o – según que en cada uno de ellos, los subíndices de fila i tengan o no la misma paridad de inversiones que los subíndices de columna j. (Inversiones son los mínimos movimientos que hay que hacer en los n subíndices para que queden en orden natural).

De más simple a mayor orden, se aplica:

Determinante de una matriz de orden 1

El determinante es su único elemento.

Determinante de una matriz de orden 2

En una matriz de orden 2, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria.

El determinante de esta matriz de segundo orden es 8.

Determinante de una matriz de orden 3

Es el número resultado de este desarrollo:

Vemos que el número de sumandos es 3! = 6.

La llamada regla de Sarrus facilita recordar este desarrollo. Visualmente se apreciarán las operaciones con una ampliación a la derecha con las columnas 1 y 2.

Igualmente se aprecian los seis productos sumandos, con su inversión de signo o no, ampliando la matriz verticalmente, añadiendo abajo las dos primeras filas.

Consiste en la suma del producto de los elementos de la diagonal principal y los productos de sus dos diagonales paralelas, más (con el signo invertido) la suma del producto de la diagonal secundaria y los de sus dos diagonales paralelas.

Para llegar al valor del determinante con el desarrollo indicado.

Ejercicio

El determinante es 12.

Teorema de Laplace

El teorema de Laplace, también denominado determinante por cofactores o desarrollo por los adjuntos propone un algoritmo para el cálculo del determinante de una matriz. Es útil para matrices de orden tres o superior.

Propone el teorema que un determinante puede hallarse con la suma de los productos de una fila o columna cualquiera por sus cofactores o adjuntos correspondientes a los de esa fila o columna (los cofactores son los elementos necesarios para formar la matriz adjunta).

Prioritariamente debe escogerse la fila o columna que tenga más ceros i/o unos, para simplificar el cálculo.

Esta sería la fórmula, si se escogiese la fila i.

Y esta, si se escogiese la columna j.

Este procedimiento supone calcular determinantes de matrices de orden n – 1.

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar el determinante de la matriz A mediante el teorema de Laplace.

Se escoge la fila 1.

El determinante es 5.

Los tres cofactores o adjuntos correspondientes a los tres elementos de la primera fila se han hallado, obteniendo en primer lugar sus tres menores complementarios y luego los cofactores, con el ajuste del signo.

Ejercicio 2

Hallar el determinante de una matriz de orden 4 usando el teorema de Laplace.

Se escoge la fila 2. Su cálculo será más sencillo, porque esta línea tiene dos ceros y un uno.

De los cuatro sumandos producto de Laplace, nos ahorramos los correspondientes a las posiciones a_2,1 y a_2,4, precisamente porque son ceros. Y nulo será su producto por su menor correspondiente. Así que nos quedarán los elementos a_2,2 y a_2,3, de los que hallaremos sus menores complementarios por la regla de Sarrus. Luego, de estos menores, pasaremos a los cofactores o adjuntos, mediante el cambio o no del signo.

Ya se puede aplicar el teorema de Laplace sumando los productos de los dos elementos no nulos de la fila 2 por sus cofactores o adjuntos correspondientes:

El valor del determinante es 12.

Determinantes de orden superior

A. Otra forma de hallar el determinante de una matriz de orden 3 o superior consiste en basarse en una de las propiedades de los determinantes. La que establece que el determinante de una matriz triangular (superior o inferior), es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. Para ello se realizarán sobre la matriz inicial A las operaciones elementales necesarias para convertirla en una matriz escalonada.

Ejercicio

Aquí tenemos una matriz, cuyo determinante (que previamente se ha hallado, por ejemplo, por la regla de Sarrus) es 72:

Convertiremos la matriz en triangular, con operaciones elementales por eliminación de Gauss. El determinante, producto de los elementos de la diagonal principal, sigue siendo 72:

B. También se puede hallar un determinante de orden superior aplicando una de las propiedades de los determinantes por la que, mediante transformaciones elementales, se llega a que todos los elementos menos uno de una línea (en el caso del siguiente ejercicio, la primera columna) columna, sean ceros. El valor del determinante se obtiene fácilmente por Laplace. Al llegar a un determinante de un cofactor de orden 3, se calculará por la regla de Sarrus.

Ejercicio

Aplicar este procedimiento a la matriz A. Llegados a un único elemento no nulo en la columna 1. Se usa la regla de Sarrus para hallar el menor complementario (aquí el C_1,1 ) que resulta -12:

Terminando con el método de Laplace para resolver el determinante |A|, con un solo sumando. Obteniendo el valor del determinante de 12:

Determinante de una matriz en Excel

Se escriben los datos numéricos de la matriz sobre la que se quiere obtener su determinante. Cuadrada, mismo número de datos en filas que en columnas. Ninguna celda en blanco.

En otra celda se escribe la fórmula =MDETERM(). Entre paréntesis los datos de la matriz. La primera celda de la izquierda de la primera fila, dos puntos, y la última celda de la última columna. INTRO.

Ejercicio

Hallar con Excel el determinante de esta matriz de cuarto orden:

Solución:

Escribimos ordenadamente los datos en una hoja de Excel. En otra casilla se escribe la fórmula del determinante. Con el puntero se marca desde A1 a D4:

Pulsar Aceptar y aparece el resultado. El determinante es 12: