Matriz cuadrada

La matriz cuadrada es un tipo de matriz fundamental en álgebra y aplicaciones en campos como la econometría. En una matriz cuadrada, el número de filas y de columnas es el mismo. Se denota también como A_n y se dice que es una matriz de orden n x n o , más habitualmente, como de orden n.

Veamos unos ejemplos de matriz cuadrada 2×2 y matriz cuadrada 3×3:

La diagonal principal de una matriz y la diagonal secundaria existen en las matrices cuadradas:

• En la diagonal principal sus elementos tienen sus subíndices iguales: van de a_1, 1 a a_n, n.
• En la diagonal secundaria, sus elementos van desde a_1, n a a_n, 1.

La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal.

Veamos los tipos especiales de matriz cuadrada más importantes.

• Matriz triangular
  • Matriz triangular superior
  • Matriz triangular inferior
• Matriz diagonal
  • Matriz escalar
  • Matriz identidad
• Matriz simétrica
• Matriz antisimétrica
• Matriz inversa
• Matriz invertible
• Matriz singular
• Matriz elemental
• Matriz involutiva
• Matriz idempotente
• Matriz nilpotente
• Matriz ortogonal
• Matriz adjunta

Matriz triangular

Una matriz triangular es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos, por debajo o por encima de la diagonal principal.

Matriz triangular superior

Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos, por debajo de la diagonal principal.

Matriz triangular inferior

Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada que tiene que tiene todos los elementos nulos, por encima de la diagonal principal.

Matriz diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada y un tipo de matriz triangular que, a la vez, es triangular superior y triangular inferior. Todos los elementos de una matriz diagonal que no pertenecen a la diagonal principal, son ceros. La diagonal principal puede contener ceros.

La condición se expresa así:

Toda matriz escalar , toda matriz identidad y toda matriz nula son casos de matrices diagonales.

Matriz escalar

Una matriz escalar es aquella matriz diagonal en la que los elementos de su diagonal principal son iguales y el resto de elementos son nulos. Es una matriz cuadrada.

Matriz identidad

Una matriz idéntica (o matriz identidad o matriz unitaria, también se le llama matriz unidad) es la clase de matriz diagonal en la que los elementos de su diagonal principal son la unidad (es decir, unos). Cuando su orden es n se denomina I_n. Es una matriz cuadrada.

Dada una matriz cuadrada A de orden n:

Decimos que es una matriz identidad I_n cuando cumple que (siendo i el número de la fila y j el número de la columna):

Estos son casos de matriz identidad de orden 2, 3 y 4:

Matriz simétrica

La matriz simétrica es una matriz cuadrada en que los elementos en posición simétrica respecto a la diagonal principal son iguales. Una matriz simétrica es igual a su matriz traspuesta. Toda matriz diagonal (y, por lo tanto, la matriz escalar o la matriz identidad) es simétrica.

Se cumple en una matriz simétrica que:

Para todo i, j.

Matriz antisimétrica

La matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta A^t es igual a su opuesta (A^t = – A).

Los elementos de la diagonal principal deben de ser ceros, porque un número diferente de cero no podría ser igual a sí mismo si se le cambiase el signo (o, dicho de otra forma, un cero es su propio opuesto). Los elementos restantes en posición simétrica respecto a la diagonal principal serán opuestos entre sí.

Se cumple en una matriz antisimétrica que:

Para todo i, j. Y cuando i = j, el elemento de esa posición es nulo.

Matriz inversa

La matriz inversa es una matriz cuadrada, representada por A^-1. Se dice que es la inversa de otra matriz cuadrada A del mismo orden n, cuando el producto de ambas matrices es la matriz identidad I_n.

Entonces, tanto A como A^-1 son casos de matriz invertible o matriz regular. En ambos casos, el rango coincide con su orden n. Y eso se cumple porque el determinante de ambas matrices no debe de ser nulo.

La matriz inversa de una matriz inversa es la matriz original:

Los procedimientos de cálculo de una matriz inversa lo desarrollaremos en esta página.

Matriz invertible

Se llama matriz invertible (o matriz regular o matriz inversible) a la matriz cuadrada que tiene su matriz inversa.

No todas las matrices cuadradas tienen su inversa. Para ello, debe ser su determinante ≠ 0. Si una matriz no tuviera inversa, sería una matriz singular.

Si una matriz es invertible también es invertible su matriz traspuesta.

Aquí tenemos dos ejemplos de matrices inversas de orden 2 y 3, junto a su matriz invertible o regular correspondiente (con su determinante no nulo).

Matriz singular

Una matriz singular (o matriz degenerada ) es una matriz cuadrada que no tiene inversa.

La característica principal de una matriz singular es que su determinante es nulo.

Estos son cuatro ejemplos de matrices singulares:

Matriz elemental

Una matriz elemental es cualquier matriz que se obtiene al aplicarle a la matriz identidad una sola operación elemental, de fila o de columna.

Estas son las operaciones elementales:

• Intercambiar líneas (filas o columnas).
• Multiplicar una línea por un número real diferente de cero.
• Obtener una línea al sumarla a otra multiplicada por un número real diferente de cero.

Mediante la operación inversa, se puede volver desde la matriz elemental obtenida mediante esas operaciones elementales a la matriz identidad original. Por lo que las matrices elementales son a su vez matrices invertibles.

Matriz involutiva

Una matriz involutiva A es una matriz invertible y, por tanto, matriz cuadrada, tal que es igual a su matriz inversa (pincha aquí para ver cómo se halla la matriz inversa).

Se debe de verificar que A² = I. Esto es porque una matriz invertible al multiplicarla por su matriz inversa, resulta una matriz identidad.

El determinante de una matriz involutiva debe de ser ±1. Pero no todas las matrices cuyo determinante sea ±1 debe de ser necesariamente involutiva. Toda matriz identidad, como la matriz opuesta a la matriz identidad, son involutivas.

Una matriz involutiva elevada a cualquier exponente da lugar a otra matriz involutiva, de manera que si el exponente es par, la potencia será la matriz identidad I pero si el exponente es impar, la potencia será la matriz involutiva original A.

Se ve en el ejemplo en una matriz involutiva.

Una matriz de orden 2, A₂, es involutiva si los dos elementos de su diagonal principal tienen signos opuestos y, además, su determinante es ±1. Para ello, el producto de los elementos de la diagonal secundaria deben de diferir en una unidad del producto de los elementos de la diagonal principal.

Además de esta última condición para una matriz de orden 2, la matriz identidad y su matriz opuesta también son matrices involutivas. Aquí, unos ejemplos de matrices involutivas de orden 2:

Y un caso de matriz involutiva de orden 3, A₃:

Matriz idempotente

Una matriz idempotente A, es una matriz cuadrada que al multiplicarla por ella misma da lugar a la matriz original.

Sucesivas potencias de una matriz idempotente A dan lugar a la matriz original A.

La matriz identidad y la matriz nula cuadrada son dos casos de matriz idempotente.

Las matrices idempotentes son matrices singulares (no tienen inversa) excepto la matriz identidad y la matriz nula cuadrada.

No es condición necesaria para que una matriz sea idempotente el que sea una matriz simétrica.

El determinante de una matriz idempotente es siempre o 0 o 1.

Una matriz idempotente de orden 2 debe de satisfacer:

Estos son dos ejemplos de matrices idempotentes:

En una matriz idempotente, la traza es igual al rango.

Matriz nilpotente

Una matriz nilpotente N, es una matriz cuadrada que al multiplicarla por ella misma, al menos un número de veces z, da lugar a una matriz nula (y también cuadrada).

Se llama índice de nilpotencia al menor de esos índices z. El índice de nilpotencia es igual o menor que el orden n de la matriz.

Un ejemplo de matriz nilpotente de orden 2 es:

Matriz ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz invertible y, por tanto, matriz cuadrada. Una matriz ortogonal multiplicada por su matriz traspuesta resulta una matriz identidad.

La inversa de una matriz ortogonal es igual a su traspuesta. Una matriz identidad también es ortogonal.

Estos son dos ejemplos de matrices ortogonales:

Matriz adjunta

La matriz adjunta de A a la que llamaremos Adj(A), es la traspuesta de la matriz de adjuntos o matriz de cofactores Cof(A). La matriz adjunta es cuadrada, invertible y del mismo orden que A.

Hay una disparidad entre autores. Unos llaman matriz de adjuntos a la matriz de cofactores, porque a sus elementos, denominados cofactores (C_i,j), también los llaman adjuntos (adj_i,j).

Veamos estos conceptos:

Primero introduciremos la noción del menor o menor complementario de una matriz de un elemento a_i,j de la matriz A. El menor es el determinante de una matriz de orden n – 1, a la que llamaremos M_i,j, resultante de suprimir en A tanto el elemento a_i,j como los de su fila y su columna correspondientes. Lo vemos, por ejemplo, en la imagen, con el menor complementario M_n-1,n-1 correspondiente al elemento a_n-1,n-1:

Vamos a un caso concreto. Partiendo de una matriz A hallaremos el menor complementario de su elemento a_1,1, suprimiendo la fila 1 y la columna 1. Lo llamaremos M_1,1:

Completando el proceso con todos los elementos restantes de A, obtendremos todos sus menores complementarios.

A cada menor complementario le asociaremos su cofactor. Los cofactores (o adjuntos, según textos) se obtienen mediante esta operación que supone cambiarle el signo, o no, a cada menor complementario:

En el ejemplo anterior no habrá cambio de signo:

Habrá inversión de signo cuando el exponente sea impar. Una manera sencilla y visual es formar una matriz de la misma dimensión con los signos alternados, empezando por +. Estos serán los signos que habrá que aplicar al menor complementario de cada posición:

Hallados todos los cofactores (o adjuntos) de la matriz original A, podremos formar la matriz de cofactores (o matriz de adjuntos), colocando cada elemento en su posición. Se forma:

Veamos un ejemplo de matriz de cofactores obtenida de una matriz A a través del procedimiento dicho:

En primer lugar, hallar los menores de cada elemento de A y obtener después el valor de los adjuntos o cofactores con el proceso explicado de fijar el signo:

Obtenidos sus elementos, formar la matriz de adjuntos o matriz de cofactores Cof(A):

Podemos ya obtener la matriz adjunta Adj(A), que, como se ha dicho al principio, es la traspuesta de la matriz de cofactores Cof(A):

En resumen, son cuatro pasos para obtener la matriz adjunta, Adj(A), a partir de una matriz cuadrada invertible A cualquiera de orden n x n:

• Hallar los valores de los menores de cada elemento de A.
• Formar los n x n cofactores a partir de los n x n menores, aplicándoles el signo correspondiente.
• Construir la matriz de cofactores Cof(A), a base de colocar cada cofactor en su lugar.
• Finalmente, se obtiene la matriz adjunta Adj(A), que es la traspuesta de la matriz de cofactores.

La matriz adjunta Adj(A), que, como se ha dicho al principio, es la traspuesta de la matriz de cofactores Cof(A), sirve para calcular la matriz inversa A^-1 de la matriz original A (para lo que el determinante de A no debe de ser nulo al estar en el denominador):

Un procedimiento, usando los cofactores o adjuntos hallados, simplifica el cálculo del determinante de una matriz cuadrada A. Consiste en sumar los productos de los elementos de cualquiera de sus filas o de sus columnas por sus cofactores correspondientes. En la imagen de abajo se aplica esta propiedad en la matriz anterior. Los valores son los elementos de la fila primera con sus correspondientes cofactores:

Se ha hallado así que el determinante de la matriz A es 5.