Matriz adjunta

La matriz adjunta de A a la que llamaremos Adj(A), es la traspuesta de la matriz de adjuntos o matriz de cofactores Cof(A). La matriz adjunta es cuadrada, invertible y del mismo orden que A.

Hay una disparidad entre autores. Unos llaman matriz de adjuntos a la matriz de cofactores, porque a sus elementos, denominados cofactores (C_i,j), también los llaman adjuntos (adj_i,j).

Veamos estos conceptos:

Primero introduciremos la noción del menor o menor complementario de una matriz de un elemento a_i,j de la matriz A. El menor es el determinante de una matriz de orden n – 1, a la que llamaremos M_i,j, resultante de suprimir en A tanto el elemento a_i,j como los de su fila y su columna correspondientes. Lo vemos, por ejemplo, en la imagen, con el menor complementario M_n-1,n-1 correspondiente al elemento a_n-1,n-1:

Vamos a un caso concreto. Partiendo de una matriz A hallaremos el menor complementario de su elemento a_1,1, suprimiendo la fila 1 y la columna 1. Lo llamaremos M_1,1:

Completando el proceso con todos los elementos restantes de A, obtendremos todos sus menores complementarios.

A cada menor complementario le asociaremos su cofactor. Los cofactores (o adjuntos, según textos) se obtienen mediante esta operación que supone cambiarle el signo, o no, a cada menor complementario:

En el ejemplo anterior no habrá cambio de signo:

Habrá inversión de signo cuando el exponente sea impar. Una manera sencilla y visual es formar una matriz de la misma dimensión con los signos alternados, empezando por +. Estos serán los signos que habrá que aplicar al menor complementario de cada posición:

Hallados todos los cofactores (o adjuntos) de la matriz original A, podremos formar la matriz de cofactores (o matriz de adjuntos), colocando cada elemento en su posición. Se forma:

Veamos un ejemplo de matriz de cofactores obtenida de una matriz A a través del procedimiento dicho:

En primer lugar, hallar los menores de cada elemento de A y obtener después el valor de los adjuntos o cofactores con el proceso explicado de fijar el signo:

Obtenidos sus elementos, formar la matriz de adjuntos o matriz de cofactores Cof(A):

Podemos ya obtener la matriz adjunta Adj(A), que, como se ha dicho al principio, es la traspuesta de la matriz de cofactores Cof(A):

En resumen, son cuatro pasos para obtener la matriz adjunta, Adj(A), a partir de una matriz cuadrada invertible A cualquiera de orden n x n:

• Hallar los valores de los menores de cada elemento de A.
• Formar los n x n cofactores a partir de los n x n menores, aplicándoles el signo correspondiente.
• Construir la matriz de cofactores Cof(A), a base de colocar cada cofactor en su lugar.
• Finalmente, se obtiene la matriz adjunta Adj(A), que es la traspuesta de la matriz de cofactores.

La matriz adjunta Adj(A), que, como se ha dicho al principio, es la traspuesta de la matriz de cofactores Cof(A), sirve para calcular la matriz inversa A^-1 de la matriz original A (para lo que el determinante de A no debe de ser nulo al estar en el denominador):

Un procedimiento, usando los cofactores o adjuntos hallados, simplifica el cálculo del determinante de una matriz cuadrada A. Consiste en sumar los productos de los elementos de cualquiera de sus filas o de sus columnas por sus cofactores correspondientes. En la imagen de abajo se aplica esta propiedad en la matriz anterior. Los valores son los elementos de la fila primera con sus correspondientes cofactores:

Se ha hallado así que el determinante de la matriz A es 5.