Matriz escalonada

En una matriz escalonada Am x n se cumple que:

  • Las filas con todos sus elementos nulos están en la parte inferior de la matriz.
  • El primer elemento de una fila (empezando por la izquierda) diferente de cero, si existe, lo llamaremos pivote. Cada pivote está a la derecha del pivote de la fila superior.

A este tipo lo llamamos matriz escalonada por filas. Con las condiciones relativas a columnas estarían la matriz escalonada por columnas.:

Estos son ejemplos de matrices escalonadas. Los pivotes están coloreados:

Ejemplos de matrices escalonadas

Una matriz triangular superior y cualquier tipo de matriz diagonal son matrices escalonadas.

A partir de una matriz no nula se puede llegar, mediante operaciones elementales, a infinitas matrices escalonadas.

Este sería un procedimiento para llegar, a partir de una matriz cualquiera, a una matriz escalonada. Para lo cual, buscaremos hacer nulos los elementos de cada fila situados bajo el pivote de la fila superior:

Procedimiento para llegar a matrices escalonadas

Y estas matrices no son escalonadas:

Ejemplos de matriz no escalonada

Matriz escalonada reducida

La matriz escalonada reducida, además de cumplir las condiciones de una matriz escalonada general, debe de cumplir también estas dos condiciones:

  • Si en una fila existe un pivote, este es 1.
  • En las columnas en las que hay un pivote, los elementos que están por encima de él también son 0 (es decir, en esas columnas el pivote 1 es el único elemento no nulo).

Estos son ejemplos de matrices escalonadas reducidas. Los pivotes están coloreados:

Ejemplos de matriz escalonada reducible

A partir de una matriz no nula se puede llegar, mediante transformaciones, a una única matriz escalonada reducida.

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