Matriz aumentada

La matriz aumentada (o matriz ampliada) se forma al añadir a una matriz cuadrada otra matriz. Este es un ejemplo de una matriz aumentada a partir de la matriz (A) aumentada con la matriz (B):

Dibujo de una matriz aumentada

La matriz aumentada se emplea para encontrar la matriz inversa y en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Un ejemplo de uso de la matriz aumentada para encontrar la matriz inversa A-1 sería este, en el que la matriz original A se amplía con una matriz identidad del mismo orden:

Matriz aumentada del ejemplo 1

En la que, mediante las transformaciones explicadas en la página de la matriz inversa se llega a:

Matriz inversa 4 del ejemplo 1

La matriz aumentada sirve para también para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Enunciado en el ejercicio 1 de la matriz aumentada

Se forman la matriz cuadrada de coeficientes A y la matriz de los términos libres B. En la matriz de coeficientes, como en la tercera ecuación no hay término en x, en el lugar correspondiente se pone un 0:

Cálculo de la matriz coeficientes en el ejercicio 1

Ya se puede formar la matriz aumentada (A|B):

Cálculo de la matriz aumentada AB en el ejercicio 1

Llegando por la método de Gauss-Jordan a resolver el sistema. Sus raíces son:

Cálculo de las raíces en el ejercicio 1

Igualmente, se resolvería el sistema de ecuaciones por otro método: la eliminación gaussiana o método de Gauss. Se diferencia del método de Gauss-Jordan, en que éste busca a la izquierda la matriz identidad, mientras que la eliminación gaussiana forma a la izquierda una matriz triangular superior, hallando, en primer lugar, la raíz de la incógnita de la última fila:

Cálculo por eliminación gaussiana en el ejercicio 1

Completando el resto de raíces, yendo hacia atrás, al subir fila a fila:

Cálculo de las raíces por eliminación gaussiana en el ejercicio 1

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