Potencia de una matriz

La potencia de una matriz solamente es posible en las matrices cuadradas.

La potencia de matrices An consiste en concatenar ene veces multiplicaciones del factor matriz A.

Fórmula de la potencia de una matriz

Con frecuencia, se puede descifrar un determinado patrón en determinadas potencias de matrices. En ese caso se facilita el cálculo sin tener que hacer cada una de las multiplicaciones. Para ello, basta con realizar potencias de grado 3, 4 o 5 y poder llegar a inferir ese patrón.

Para averiguar si existe, se debe observar si exponentes pares o impares cambian los signos de los elementos, si se produce repetición, periódica, o si los sucesivos elementos de las potencias guardan relación con el exponente.

Hay ciertos tipos de matrices, cuyas potencias son inmediatas o muy sencillas.

De estos tres tipos, cualquier potencia resulta la misma matriz original:

Caso de la matriz triangular superior o en la matriz triangular inferior y cuando en ambos casos, los elementos de su diagonal principal son todo ceros. A partir de la potencia cuyo índice coincida con el rango de la matriz A, entonces el resultado es la matriz nula.

Fórmula de la potencia de una matriz triangular

En la matriz escalar, la potencia An es inmediata:

Fórmula de la potencia de una matriz escalar

En la matriz nilpotente, a partir de elevar al índice de nilpotencia, todas las potencias son la matriz nula (y del mismo orden).

En la matriz involutiva, los índices pares dan una matriz identidad y los índices impares, la matriz original.

Fórmula de la potencia de una matriz involutiva

Veamos si existe algún patrón en las potencias de esta matriz:

Patrón de la potencia de una matriz involutiva

Con las cuatro primeras potencias:

Cuatro primeras potencias de una matriz involutiva

Se puede inferir la potencia enésima:

Potencia enésima de una matriz involutiva

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