Matriz inversa

La matriz inversa es una matriz cuadrada, representada por A^-1. Se dice que es la inversa de otra matriz cuadrada A del mismo orden n, cuando el producto de ambas matrices es la matriz identidad I_n.

Entonces, tanto A como A^-1 son casos de matriz invertible o matriz regular. En ambos casos, el rango coincide con su orden n. Y eso se cumple porque el determinante de ambas matrices no debe de ser nulo.

La matriz inversa de una matriz inversa es la matriz original:

No todas las matrices cuadradas tienen inversa (solamente las matrices invertibles). Si tienen inversa, ésta es única.

Dada una matriz invertible A, la matriz traspuesta de su matriz inversa es la matriz inversa de su matriz traspuesta.

Ejemplo: una matriz A, su inversa y su traspuesta.

Comprobación de la propiedad anterior:

Inversa de una matriz. Métodos de cálculo

Calcular la matriz inversa A^-1 a partir de una matriz invertible A puede realizarse por estos tres procedimientos:

• Calcular la inversa por la propia definición.
• Método de Gauss-Jordan.
• A partir de la matriz adjunta y el determinante.

Antes de obtener la inversa por uno de estos procedimientos, hay que asegurarse que la matriz A es invertible comprobando que su determinante no sea nulo.

Calcular la matriz inversa por la propia definición

Este método es muy sencillo para matrices 2 x 2.

La definición de matriz inversa dice que el producto de la matriz por su inversa es la matriz identidad:

La segunda matriz, la inversa, es la que se va a hallar:

Se opera por multiplicación de matrices:

Quedan planteadas cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas:

Dan lugar a dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Se hallan sus raíces.

El primer sistema de dos ecuaciones:

Lo mismo con el segundo sistema de dos ecuaciones:

Con esas cuatro raíces se forma la matriz inversa buscada:

Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss–Jordan sirve para hallar la matriz inversa y, también, para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

No hay que confundir el método de Gauss-Jordan con la eliminación gaussiana, que se utiliza también en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Desarrollamos aquí el método de Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa.

Es un método eficiente para matrices 2 x 2 y 3 x 3.

Consiste en construir una matriz aumentada, colocando a la derecha de la matriz original A una matriz identidad del mismo orden.

A continuación, se hacen las transformaciones elementales sucesivas con el fin de que la matriz identidad quede ahora a la izquierda. La de la derecha obtenida será la matriz inversa.

Por ejemplo, sea la matriz A del que buscamos su inversa:

Formamos una matriz aumentada, añadiendo a su derecha la correspondiente matriz identidad:

Sucesivas transformaciones en filas se encaminarán a que la matriz identidad quede al final a la izquierda. Las primeras transformaciones buscan que la primera columna tenga un primer elemento 1 seguido de ceros. Luego buscamos que de la segunda columna, su segundo elemento (perteneciente a la diagonal principal) sea el 1:

Se sigue transformando, completando con ceros debajo del 1 anterior en la segunda columna. Después, transformamos para que el último elemento de la diagonal principal sea un 1. El proceso final terminará haciendo ahora 0 los elementos que queden por encima de la diagonal principal:

Y se ha llegado a formar la matriz identidad a la izquierda, quedando a la derecha la matriz inversa:

La matriz inversa buscada es:

Cálculo de la inversa con la matriz adjunta

Otro método para obtener la matriz inversa A^-1 es mediante la matriz adjunta A^-1, que es la matriz traspuesta de la matriz de adjuntos o matriz de cofactores.

Se puede ver cómo se obtiene la matriz adjunta yendo al enlace correspondiente.

Hay autores que a la matriz de adjuntos le llaman matriz adjunta.

Este método, que requiere el cálculo previo de la matriz adjunta no es eficaz para matrices de dimensiones grandes.

Veamos un ejemplo de cálculo con este método. Partir de la matriz A empleada para la obtención de la matriz adjunta:

Si consultamos la página de la matriz adjunta, se ve que ésta (que es la inversa de la matriz de adjuntos o matriz de cofactores) es:

Aplicamos la fórmula de este tercer método y obtenemos la matriz inversa:

Ante la misma matriz original A se ha obtenido la misma matriz inversa que la hallada con el segundo método, el de Gauss-Jordan.