Cargando...El rango de una matriz A cualquiera de orden m x n es un número que representa el número de filas o columnas linealmente independientes. Se representa por rang (A).
Otra definición de rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada de A, sin aplicarle ninguna operación elemental cuyo determinante no sea nulo. Se pueden formar submatrices con filas o columnas no consecutivas.
El rango será igual o mayor que 1 e igual o menor que el número mínimo de las filas m o de las columnas n.
Una matriz de orden m x n tiene rango completo si éste es el número menor entre filas m o de columnas n.
Veamos esta matriz de orden 4×3:
Para hallar su rango, lo hacemos por el primer procedimiento descrito. Averiguando cuantas filas o columnas linealmente independientes hay. La manera más sencilla es convertir la matriz en matriz escalonada, para eliminar los renglones que son linealmente dependientes, que se averiguará cuando en la matriz escalonada haya alguna fila o columna con todos los elementos cero. Lo haremos por Gauss:
Las transformaciones buscan primero hacer ceros los elementos de la primera columna que están por debajo del primer elemento:
Se sigue buscando el escalonamiento, haciendo ceros los elementos por debajo del segundo elemento de la segunda columna:
Por último, transformaremos para intentar hacer cero el último elemento de la tercera y última columna:
La cuarta fila es linealmente dependiente de las otras tres. Habrá tres filas linealmente independientes. El rango es 3:
El otro procedimiento descrito es hallar el rango según el orden de la mayor submatriz cuadrada cuyo determinante sea diferente cero. Probamos con esta submatriz de orden 3×3:
El determinante de esta submatriz de orden 3 es diferente de cero. Por tanto el rango de A será 3. Mismo resultado que el procedimiento anterior.
Esta matriz de orden 3×4 tiene rango completo porque 3 es el número de columna n.
Averiguar el rango de esta matriz cuadrada de orden 3:
Veamos por Gauss si hay renglones dependientes:
Las filas 2 y 3 son linealmente dependientes de la fila 1. Por lo que el rango es 1:
Además, tanto la matriz 3×3 como todas las submatrices que se pueden formar 2×2 tienen el determinante nulo. Se confirma que el rango es 1.