Una matriz elemental es cualquier matriz que se obtiene al aplicarle a la matriz identidad una sola operación elemental, de fila o de columna.
Estas son las operaciones elementales:
- Intercambiar líneas (filas o columnas).
- Multiplicar una línea por un número real diferente de cero.
- Obtener una línea al sumarla a otra multiplicada por un número real diferente de cero.
En el primer ejemplo, se han intercambiado las filas dos y cuatro.
En la segunda matriz identidad, se ha obtenido una matriz elemental multiplicando la segunda columna por tres.
En el tercer caso, la primera fila de la matriz elemental obtenida procede de restar de la fila uno de la matriz identidad I4 su tercera fila multiplicada por dos.
Mediante la operación inversa, se puede volver desde la matriz elemental obtenida mediante esas operaciones elementales a la matriz identidad original. Por lo que las matrices elementales son a su vez matrices invertibles.
La operación inversa se ha aplicado sobre la matriz elemental obtenida en el tercer caso anterior. Se ha vuelto a llegar a la matriz identidad I4.