Teorema de Laplace

El teorema de Laplace, también denominado determinante por cofactores o desarrollo por los adjuntos propone un algoritmo para el cálculo del determinante de una matriz. Es útil para matrices de orden tres o superior.

Propone el teorema que un determinante puede hallarse con la suma de los productos de una fila o columna cualquiera por sus cofactores o adjuntos correspondientes a los de esa fila o columna (los cofactores son los elementos necesarios para formar la matriz adjunta).

Prioritariamente debe escogerse la fila o columna que tenga más ceros i/o unos, para simplificar el cálculo.

Esta sería la fórmula, si se escogiese la fila i.

Fórmula del teorema de Laplace con la fila i

Y esta, si se escogiese la columna j.

Fórmula del teorema de Laplace con la columna j

Este procedimiento supone calcular determinantes de matrices de orden n – 1.

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar el determinante de la matriz A mediante el teorema de Laplace.

Se escoge la fila 1.

Cálculo eligiendo la fila 1 en el ejercicio 1

El determinante es 5.

Los tres cofactores o adjuntos correspondientes a los tres elementos de la primera fila se han hallado, obteniendo en primer lugar sus tres menores complementarios y luego los cofactores, con el ajuste del signo.

Cálculo por adjuntos en el ejercicio 1

Ejercicio 2

Hallar el determinante de una matriz de orden 4 usando el teorema de Laplace.

Se escoge la fila 2. Su cálculo será más sencillo, porque esta línea tiene dos ceros y un uno.

Cálculo eligiendo la fila 2 en el ejercicio 2

De los cuatro sumandos producto de Laplace, nos ahorramos los correspondientes a las posiciones a2,1 y a2,4, precisamente porque son ceros. Y nulo será su producto por su menor correspondiente. Así que nos quedarán los elementos a2,2 y a2,3, de los que hallaremos sus menores complementarios por la regla de Sarrus. Luego, de estos menores, pasaremos a los cofactores o adjuntos, mediante el cambio o no del signo.

Cálculo de los menores complementarios en el ejercicio 2

Ya se puede aplicar el teorema de Laplace sumando los productos de los dos elementos no nulos de la fila 2 por sus cofactores o adjuntos correspondientes:

Cálculo de los adjuntos en el ejercicio 2

El valor del determinante es 12.

2 comentarios en “Teorema de Laplace”

  1. Hola, no entiendo muy bien este enunciado de la regla de Laplace:

    Todo determinante es igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando todos los menores de orden h que se pueden firmar en las líneas fijas paralelas por sus adjuntos respectivos

    1. Repasa el enunciado del teorema de Laplace que ofrece esta página de UNIVERSO FÓRMULAS
      Propone el teorema que un determinante puede hallarse con la suma de los productos de una fila o columna cualquiera por sus cofactores o adjuntos correspondientes a los de esa fila o columna (los cofactores son los elementos necesarios para formar la matriz adjunta).
      Tienes un ejercicio en esta misma página en el que está desarrollada la obtención de adjuntos

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