Teorema de Laplace

El teorema de Laplace, también denominado determinante por cofactores o desarrollo por los adjuntos propone un algoritmo para el cálculo del determinante de una matriz. Es útil para matrices de orden tres o superior.

Propone el teorema que un determinante puede hallarse con la suma de los productos de una fila o columna cualquiera por sus cofactores o adjuntos correspondientes a los de esa fila o columna (los cofactores son los elementos necesarios para formar la matriz adjunta).

Prioritariamente debe escogerse la fila o columna que tenga más ceros i/o unos, para simplificar el cálculo.

Esta sería la fórmula, si se escogiese la fila i.

Y esta, si se escogiese la columna j.

Este procedimiento supone calcular determinantes de matrices de orden n – 1.

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar el determinante de la matriz A mediante el teorema de Laplace.

Se escoge la fila 1.

El determinante es 5.

Los tres cofactores o adjuntos correspondientes a los tres elementos de la primera fila se han hallado, obteniendo en primer lugar sus tres menores complementarios y luego los cofactores, con el ajuste del signo.

Ejercicio 2

Hallar el determinante de una matriz de orden 4 usando el teorema de Laplace.

Se escoge la fila 2. Su cálculo será más sencillo, porque esta línea tiene dos ceros y un uno.

De los cuatro sumandos producto de Laplace, nos ahorramos los correspondientes a las posiciones a_2,1 y a_2,4, precisamente porque son ceros. Y nulo será su producto por su menor correspondiente. Así que nos quedarán los elementos a_2,2 y a_2,3, de los que hallaremos sus menores complementarios por la regla de Sarrus. Luego, de estos menores, pasaremos a los cofactores o adjuntos, mediante el cambio o no del signo.

Ya se puede aplicar el teorema de Laplace sumando los productos de los dos elementos no nulos de la fila 2 por sus cofactores o adjuntos correspondientes:

El valor del determinante es 12.