Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan sirve para hallar la matriz inversa y, también, para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

No hay que confundir el método de Gauss-Jordan con la eliminación gaussiana, que se utiliza también en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Método de Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa

Es un método eficiente para matrices 2 x 2 y 3 x 3.

Consiste en construir una matriz aumentada, colocando a la derecha de la matriz original A una matriz identidad I_n del mismo orden.

A continuación, se hacen las transformaciones elementales sucesivas con el fin de que la matriz identidad quede ahora a la izquierda. La submatriz de la derecha obtenida será la matriz inversa.

Por ejemplo, sea la matriz A del que buscamos su inversa:

Formamos una matriz aumentada, añadiendo a su derecha la correspondiente matriz identidad:

Sucesivas transformaciones en filas se encaminarán a que la matriz identidad quede al final a la izquierda. Las primeras transformaciones buscan que la primera columna tenga un primer elemento 1 seguido de ceros. Luego buscamos que de la segunda columna, su segundo elemento (perteneciente a la diagonal principal) sea el 1:

Se sigue transformando, completando con ceros debajo del 1 anterior en la segunda columna. Después, transformamos para que el último elemento de la diagonal principal sea un 1. El proceso final terminará haciendo ahora 0 los elementos que queden por encima de la diagonal principal:

Y se ha llegado a formar la matriz identidad a la izquierda, quedando a la derecha la matriz inversa:

La matriz inversa buscada es:

Método de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales

Consiste en encontrar otro sistema de ecuaciones equivalente, de manera que la matriz ampliada, en la forma (A|B), mediante operaciones elementales de matrices, se convierta en una matriz escalonada reducida. O, lo que es lo mismo, que la parte de la izquierda, la matriz A, o matriz de coeficientes, se transforme en una matriz identidad. El sistema queda resuelto directamente.

Esas operaciones elementales son:

• Intercambiar filas.
• Multiplicar una fila por un número real diferente de cero.
• Obtener una fila al sumarla a otra multiplicada por un número real diferente de cero.

Un paso intermedio es llegar a una matriz escalonada: que proporciona un sistema de ecuaciones lineales equivalente que ofrece una solución a las raíces, retrocediendo de la última ecuación a la primera. Esto es el método de Gauss o eliminación gaussiana.

Recordemos que un sistema de ecuaciones lineales:

Puede expresarse en forma matricial:

O, abreviadamente:

La matriz de coeficientes A está formada por los coeficientes de las x_n incógnitas (ya se ha dicho que su determinante no es nulo).

La matriz X es la matriz columna formada por las x_i incógnitas.

La matriz B es la matriz columna formada los n términos independientes.

Se muestra la aplicación del método de Gauss-Jordan para resolver un caso particular de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Ejercicio:

Hallar las raíces de este sistema de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan:

Solución:

Se construye la matriz ampliada, añadiendo a la matriz de coeficientes de las incógnitas A, la matriz vertical de los términos independientes B.

Se intercambian la primera fila y la segunda. (Siempre que sea posible, el primer elemento de la primera fila conviene que sea el 1):

Operaciones elementales hacen 0 los siguientes elementos de la primera columna:

Operamos para hacer 0 el último elemento de la segunda columna:

Hasta aquí serían las transformaciones del método de Gauss o eliminación gaussiana. Pero seguimos transformando hasta llegar a una matriz escalonada reducida, que es el método de Gauss-Jordan.

Quedan las últimas transformaciones para hacer ceros en el segundo y tercer elemento de la primera fila para llegar a la matriz escalonada reducida que se busca:

Con el método de Gauss-Jordan, se ha llegado a una matriz escalonada reducida, donde, a la izquierda está la matriz identidad. La matriz escalonada conseguida se corresponde con este sistema de ecuaciones lineales equivalente:

Este sistema ofrece directamente las raíces del sistema que se buscan, x = -2, y = 1, z = 3.