Propiedades de los determinantes

Las propiedades de los determinantes facilitan el cálculo.

Estas propiedades son válidas para determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.

Las propiedades referidas a las filas son igualmente aplicables a las columnas.

• Si todos los elementos de una fila de una matriz se descomponen en la suma de dos sumandos, el determinante de la matriz inicial es la suma de dos determinantes que tienen en una fila, respectivamente, el primer y segundo sumando, siendo el resto de las filas iguales a las filas del determinante de la matriz inicial.
  
• Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden, A y B, el determinante de la matriz multiplicación de matrices A·B es el producto de los determinantes de las dos matrices.
  
• Si los elementos de una fila de una matriz se multiplican por un número k diferente de cero, el determinante resultante será el determinante de la matriz original multiplicado por dicho número.
  
• Igualmente, si los elementos de p filas de una matriz se multiplican por un número k diferente de cero, el determinante resultante será el determinante de la matriz original multiplicado por k^p.
  
• En una matriz invertible A, el determinante de su matriz inversa es igual al inverso del determinante A.
  
• Si una matriz es una matriz invertible A, su determinante es distinto de cero. Y en una matriz singular (no tiene inversa) su determinante sí que es nulo.
  
• El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta.
  
• Si una matriz se cambia el orden de una fila (o una columna) sus determinantes son de signo contrario.
  
• Si en una matriz se cambia el orden de n filas (o una columnas) sus determinantes son de signo contrario si n es impar.

  En este ejemplo, se cambia el orden de tres filas: la 1, la 2 y la 3. Número de cambios impar, luego cambia el signo:

  
• Si todos los elementos de una fila son ceros, el determinante también es nulo.
  
• Si los elementos de dos filas son iguales o proporcionales, el determinante es nulo.
  
• Si los elementos de una fila son combinación lineal de otras filas, el determinante es nulo.
  
• Sumando los productos de los elementos de una fila por los adjuntos (o cofactores) de otra fila, el resultado es nulo.
  
• Si a los elementos de una fila se les suma (o resta) una combinación lineal de otras filas, el determinante no varía. Pero si a la línea sustituida le aplicamos un coeficiente, (en el ejemplo, -2), el determinante quedará multiplicado por ese mismo coeficiente:
  
• Dada una matriz A y la potencia de esa matriz Aⁿ, el determinante de esta matriz potencia será igual al determinante |A|ⁿ.
  
• El determinante de cualquier matriz diagonal así como el determinante de cualquier matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal.