Tipos de matrices

Existen diferentes tipos de matrices. Vamos a ver las matrices más importantes:

Matriz nula

En una matriz nula, todos los elementos son ceros. Admite todos los órdenes m x n.

Dibujo de la matriz nula

Matriz fila

En una matriz fila, sus elementos están en una única fila (de orden o dimensión 1 x n).

Dibujo de la forma general de una matriz fila

Estos son dos ejemplos de dos matrices fila de orden 1 x 3 y orden 1 x 2:

Dibujo de ejemplos de matrices fila

Matriz columna

Una matriz columna es la que sus elementos están en una única columna (dimensión n x 1):

Dibujo de la forma general de una matriz columna

Un ejemplo de matriz columna, en este caso, de orden 7 x 1:

Dibujo de ejemplos de matrices columna

Matriz rectangular

Una matriz rectangular tiene diferente número de filas (m) que de columnas (n). Su orden o dimensión será m x n (m ≠ n).

Dibujo de la forma general de una matriz rectangular

Matriz traspuesta

Una matriz traspuesta, que la llamaremos At, se obtiene de otra matriz A intercambiando ordenadamente la filas por columnas.

Aquí tenemos una matriz y su traspuesta:

Dibujo de una matriz traspuesta

En sus elementos, se cumple que:

Condición para las matrices traspuestas

Se cumple que la matriz traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original:

Fórmula de la matriz traspuesta de una traspuesta

Si el orden o dimensión de una matriz es m x n la dimensión de su traspuesta será n x m (y si una matriz es cuadrada, lógicamente su traspuesta también lo será).

A partir de la matriz traspuesta se llega a la matriz simétrica y también a la matriz antisimétrica.

Veamos algunos ejemplos de matrices traspuestas:

Ejemplos de matrices traspuestas

Matriz opuesta

Dada una matriz A de orden m x n su matriz opuesta es otra matriz, llamada – A, de la misma dimensión en la que sus elementos son los de la A pero con signo cambiado:

Dibujo de la matriz opuesta

La matriz opuesta de una matriz opuesta es la matriz original:

Fórmula de la matriz opuesta de la opuesta

Matriz escalonada

En una matriz escalonada Am x n se cumple que:

  • Las filas con todos sus elementos nulos están en la parte inferior de la matriz.
  • El primer elemento de una fila (empezando por la izquierda) diferente de cero, si existe, lo llamaremos pivote. Cada pivote está a la derecha del pivote de la fila superior.

A este tipo lo llamamos matriz escalonada por filas. Con las condiciones relativas a columnas estarían la matriz escalonada por columnas.:

Estos son ejemplos de matrices escalonadas. Los pivotes están coloreados:

Ejemplos de matrices escalonadas

A partir de una matriz no nula se puede llegar, mediante operaciones elementales, a infinitas matrices escalonadas.

Y estas matrices no son escalonadas:

Ejemplos de matriz no escalonada

Matriz escalonada reducida

La matriz escalonada reducida, además de cumplir las condiciones de una matriz escalonada general, debe de cumplir también estas dos condiciones:

  • Si en una fila existe un pivote, este es 1.
  • En las columnas en las que hay un pivote, los elementos que están por encima de él también son 0 (es decir, en esas columnas el pivote 1 es el único elemento no nulo).

Estos son ejemplos de matrices escalonadas reducidas. Los pivotes están coloreados:

Ejemplos de matriz escalonada reducible

A partir de una matriz no nula se puede llegar, mediante transformaciones, a una única matriz escalonada reducida.

Matrices iguales

Dos matrices son iguales si son del mismo orden o dimensión Am x n y Bm x n y si los elementos que ocupan la misma posición también lo son.

La condición se expresa así:

Condición para que dos matrices sean iguales

Estas son dos matrices iguales.

Dibujo de dos matrices iguales

Matrices equivalentes

Las matrices equivalentes son matrices de la misma dimensión Am x n y Bm x n cuando la matriz B se obtiene de aplicar a la matriz A un número finito de operaciones elementales.

Estas matrices son equivalentes.

Dibujo de matrices equivalentes

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada es un tipo de matriz fundamental en álgebra y aplicaciones en campos como la econometría. En una matriz cuadrada, el número de filas y de columnas es el mismo. Se denota también como An y se dice que es una matriz de orden n x n o , más habitualmente, como de orden n.

Veamos unos ejemplos de matriz cuadrada 2×2 y matriz cuadrada 3×3:

Dibujo de dos ejemplos de matriz cuadrada

La diagonal principal de una matriz y la diagonal secundaria existen en las matrices cuadradas:

  • En la diagonal principal sus elementos tienen sus subíndices iguales: van de a1, 1 a an, n.
  • En la diagonal secundaria, sus elementos van desde a1, n a an, 1.
Dibujo de las diagonales de una matriz cuadrada

La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal.

Fórmula de la traza de una matriz

Veamos los tipos especiales de matriz cuadrada más importantes.

Matriz triangular

Una matriz triangular es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos, por debajo o por encima de la diagonal principal.

Dibujo de una matriz triangular

Matriz triangular superior

Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos, por debajo de la diagonal principal.

Dibujo de una matriz triangular superior

Matriz triangular inferior

Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada que tiene que tiene todos los elementos nulos, por encima de la diagonal principal.

Dibujo de una matriz triangular inferior

Matriz diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada y un tipo de matriz triangular que, a la vez, es triangular superior y triangular inferior. Todos los elementos de una matriz diagonal que no pertenecen a la diagonal principal, son ceros. La diagonal principal puede contener ceros.

Dibujo de un ejemplo de matriz diagonal

La condición se expresa así:

Condición de las matrices diagonales

Toda matriz escalar , toda matriz identidad y toda matriz nula son casos de matrices diagonales.

Matriz escalar

Una matriz escalar es aquella matriz diagonal en la que los elementos de su diagonal principal son iguales y el resto de elementos son nulos. Es una matriz cuadrada.

Dibujo de una matriz escalar

Matriz identidad

Una matriz idéntica (o matriz identidad o matriz unitaria, también se le llama matriz unidad) es la clase de matriz diagonal en la que los elementos de su diagonal principal son la unidad (es decir, unos). Cuando su orden es n se denomina In. Es una matriz cuadrada.

Dada una matriz cuadrada A de orden n:

Matriz identidad cuadrada

Decimos que es una matriz identidad In cuando cumple que (siendo i el número de la fila y j el número de la columna):

Requisito para las matrices identidades

Estos son casos de matriz identidad de orden 2, 3 y 4:

Dibujo de una matriz identidad

Matriz simétrica

La matriz simétrica es una matriz cuadrada en que los elementos en posición simétrica respecto a la diagonal principal son iguales. Una matriz simétrica es igual a su matriz traspuesta. Toda matriz diagonal (y, por lo tanto, la matriz escalar o la matriz identidad) es simétrica.

Dibujo de una matriz simétrica

Se cumple en una matriz simétrica que:

Condición de una matriz simétrica

Para todo i, j.

Matriz antisimétrica

La matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta At es igual a su opuesta (At = – A).

Los elementos de la diagonal principal deben de ser ceros, porque un número diferente de cero no podría ser igual a sí mismo si se le cambiase el signo (o, dicho de otra forma, un cero es su propio opuesto). Los elementos restantes en posición simétrica respecto a la diagonal principal serán opuestos entre sí.

Se cumple en una matriz antisimétrica que:

Condición de una matriz antisimétrica

Para todo i, j. Y cuando i = j, el elemento de esa posición es nulo.

Matriz inversa

La matriz inversa es una matriz cuadrada, representada por A-1. Se dice que es la inversa de otra matriz cuadrada A del mismo orden n, cuando el producto de ambas matrices es la matriz identidad In.

Dibujo de la matriz inversa

Entonces, tanto A como A-1 son casos de matriz invertible o matriz regular. En ambos casos, el rango coincide con su orden n. Y eso se cumple porque el determinante de ambas matrices no debe de ser nulo.

La matriz inversa de una matriz inversa es la matriz original:

Fórmula de la matriz inversa de la matriz inversa

Los procedimientos de cálculo de una matriz inversa lo desarrollaremos en esta página.

Matriz invertible

Se llama matriz invertible (o matriz regular o matriz inversible) a la matriz cuadrada que tiene su matriz inversa.

No todas las matrices cuadradas tienen su inversa. Para ello, debe ser su determinante ≠ 0. Si una matriz no tuviera inversa, sería una matriz singular.

Si una matriz es invertible también es invertible su matriz traspuesta.

Aquí tenemos dos ejemplos de matrices inversas de orden 2 y 3, junto a su matriz invertible o regular correspondiente (con su determinante no nulo).

Ejemplos de matrices invertibles

Matriz singular

Una matriz singular (o matriz degenerada ) es una matriz cuadrada que no tiene inversa.

La característica principal de una matriz singular es que su determinante es nulo.

Dibujo de una matriz singular

Estos son cuatro ejemplos de matrices singulares:

Ejemplos de matrices singulares

Matriz elemental

Una matriz elemental es cualquier matriz que se obtiene al aplicarle a la matriz identidad una sola operación elemental, de fila o de columna.

Estas son las operaciones elementales:

  • Intercambiar líneas (filas o columnas).
  • Multiplicar una línea por un número real diferente de cero.
  • Obtener una línea al sumarla a otra multiplicada por un número real diferente de cero.
Dibujo de una matriz elemental

Mediante la operación inversa, se puede volver desde la matriz elemental obtenida mediante esas operaciones elementales a la matriz identidad original. Por lo que las matrices elementales son a su vez matrices invertibles.

Dibujo de una matriz elemental 2

Matriz involutiva

Una matriz involutiva A es una matriz invertible y, por tanto, matriz cuadrada, tal que es igual a su matriz inversa (pincha aquí para ver cómo se halla la matriz inversa).

Se debe de verificar que A² = I. Esto es porque una matriz invertible al multiplicarla por su matriz inversa, resulta una matriz identidad.

Condición de una matriz involutiva

El determinante de una matriz involutiva debe de ser ±1. Pero no todas las matrices cuyo determinante sea ±1 debe de ser necesariamente involutiva. Toda matriz identidad, como la matriz opuesta a la matriz identidad, son involutivas.

Una matriz involutiva elevada a cualquier exponente da lugar a otra matriz involutiva, de manera que si el exponente es par, la potencia será la matriz identidad I pero si el exponente es impar, la potencia será la matriz involutiva original A.

Potencia de una matriz involutiva

Se ve en el ejemplo en una matriz involutiva.

Ejemplo de la potencia de una matriz involutiva

Una matriz de orden 2, A2, es involutiva si los dos elementos de su diagonal principal tienen signos opuestos y, además, su determinante es ±1. Para ello, el producto de los elementos de la diagonal secundaria deben de diferir en una unidad del producto de los elementos de la diagonal principal.

Además de esta última condición para una matriz de orden 2, la matriz identidad y su matriz opuesta también son matrices involutivas. Aquí, unos ejemplos de matrices involutivas de orden 2:

Ejemplos de matrices de orden 2

Y un caso de matriz involutiva de orden 3, A3:

Ejemplos de matrices de orden 3

Matriz idempotente

Una matriz idempotente A, es una matriz cuadrada que al multiplicarla por ella misma da lugar a la matriz original.

Condición de una matriz idempotente

Sucesivas potencias de una matriz idempotente A dan lugar a la matriz original A.

Potencia de una matriz idempotente

La matriz identidad y la matriz nula cuadrada son dos casos de matriz idempotente.

Las matrices idempotentes son matrices singulares (no tienen inversa) excepto la matriz identidad y la matriz nula cuadrada.

No es condición necesaria para que una matriz sea idempotente el que sea una matriz simétrica.

El determinante de una matriz idempotente es siempre o 0 o 1.

Una matriz idempotente de orden 2 debe de satisfacer:

Condición de una matriz idempotente de orden 2

Estos son dos ejemplos de matrices idempotentes:

Ejemplos de matrices idempotentes

En una matriz idempotente, la traza es igual al rango.

Matriz nilpotente

Una matriz nilpotente N, es una matriz cuadrada que al multiplicarla por ella misma, al menos un número de veces z, da lugar a una matriz nula (y también cuadrada).

Condición de una matriz nilpotente

Se llama índice de nilpotencia al menor de esos índices z. El índice de nilpotencia es igual o menor que el orden n de la matriz.

Índice de una matriz nilpotente

Un ejemplo de matriz nilpotente de orden 2 es:

Ejemplo de una matriz nilpotente de orden 2

Matriz ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz invertible y, por tanto, matriz cuadrada. Una matriz ortogonal multiplicada por su matriz traspuesta resulta una matriz identidad.

La inversa de una matriz ortogonal es igual a su traspuesta. Una matriz identidad también es ortogonal.

Matriz inversa de una matriz ortogonal

Estos son dos ejemplos de matrices ortogonales:

Ejemplos de matrices ortogonales

Matriz adjunta

La matriz adjunta de A a la que llamaremos Adj(A), es la traspuesta de la matriz de adjuntos o matriz de cofactores Cof(A). La matriz adjunta es cuadrada, invertible y del mismo orden que A.

Hay una disparidad entre autores. Unos llaman matriz de adjuntos a la matriz de cofactores, porque a sus elementos, denominados cofactores (Ci,j), también los llaman adjuntos (adji,j).

Veamos estos conceptos:

Primero introduciremos la noción del menor o menor complementario de una matriz de un elemento ai,j de la matriz A. El menor es el determinante de una matriz de orden n – 1, a la que llamaremos Mi,j, resultante de suprimir en A tanto el elemento ai,j como los de su fila y su columna correspondientes. Lo vemos, por ejemplo, en la imagen, con el menor complementario Mn-1,n-1 correspondiente al elemento an-1,n-1:

Dibujo del menor complementario de una matriz

Vamos a un caso concreto. Partiendo de una matriz A hallaremos el menor complementario de su elemento a1,1, suprimiendo la fila 1 y la columna 1. Lo llamaremos M1,1:

Ejemplo del menor complementario de una matriz 1

Completando el proceso con todos los elementos restantes de A, obtendremos todos sus menores complementarios.

A cada menor complementario le asociaremos su cofactor. Los cofactores (o adjuntos, según textos) se obtienen mediante esta operación que supone cambiarle el signo, o no, a cada menor complementario:

Dibujo cofactor del menor complementario de una matriz

En el ejemplo anterior no habrá cambio de signo:

Ejemplo del menor complementario de una matriz 2

Habrá inversión de signo cuando el exponente sea impar. Una manera sencilla y visual es formar una matriz de la misma dimensión con los signos alternados, empezando por +. Estos serán los signos que habrá que aplicar al menor complementario de cada posición:

Signos de los cofactores de una matriz 4x4

Hallados todos los cofactores (o adjuntos) de la matriz original A, podremos formar la matriz de cofactores (o matriz de adjuntos), colocando cada elemento en su posición. Se forma:

Cálculo de la matriz de cofactores desde la matriz adjunta

Veamos un ejemplo de matriz de cofactores obtenida de una matriz A a través del procedimiento dicho:

Matriz del ejemplo del método de Gauss-Jordan para buscar la matriz inversa

En primer lugar, hallar los menores de cada elemento de A y obtener después el valor de los adjuntos o cofactores con el proceso explicado de fijar el signo:

Ejemplo de la matriz adjunta 1

Obtenidos sus elementos, formar la matriz de adjuntos o matriz de cofactores Cof(A):

Ejemplo de la matriz adjunta 2

Podemos ya obtener la matriz adjunta Adj(A), que, como se ha dicho al principio, es la traspuesta de la matriz de cofactores Cof(A):

Ejemplo de la matriz adjunta 2

En resumen, son cuatro pasos para obtener la matriz adjunta, Adj(A), a partir de una matriz cuadrada invertible A cualquiera de orden n x n:

  • Hallar los valores de los menores de cada elemento de A.
  • Formar los n x n cofactores a partir de los n x n menores, aplicándoles el signo correspondiente.
  • Construir la matriz de cofactores Cof(A), a base de colocar cada cofactor en su lugar.
  • Finalmente, se obtiene la matriz adjunta Adj(A), que es la traspuesta de la matriz de cofactores.

La matriz adjunta Adj(A), que, como se ha dicho al principio, es la traspuesta de la matriz de cofactores Cof(A), sirve para calcular la matriz inversa A-1 de la matriz original A (para lo que el determinante de A no debe de ser nulo al estar en el denominador):

Ejemplo de la matriz adjunta 1

Un procedimiento, usando los cofactores o adjuntos hallados, simplifica el cálculo del determinante de una matriz cuadrada A. Consiste en sumar los productos de los elementos de cualquiera de sus filas o de sus columnas por sus cofactores correspondientes. En la imagen de abajo se aplica esta propiedad en la matriz anterior. Los valores son los elementos de la fila primera con sus correspondientes cofactores:

Ejemplo de la matriz adjunta 3

Se ha hallado así que el determinante de la matriz A es 5.

Matriz aumentada

La matriz aumentada (o matriz ampliada) se forma al añadir a una matriz cuadrada otra matriz. Este es un ejemplo de una matriz aumentada a partir de la matriz (A) aumentada con la matriz (B):

Dibujo de una matriz aumentada

La matriz aumentada se emplea para encontrar la matriz inversa y en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Un ejemplo de uso de la matriz aumentada para encontrar la matriz inversa A-1 sería este, en el que la matriz original A se amplía con una matriz identidad del mismo orden:

Matriz aumentada del ejemplo 1

En la que, mediante las transformaciones explicadas en la página de la matriz inversa se llega a:

Matriz inversa 4 del ejemplo 1

La matriz aumentada sirve para también para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Enunciado en el ejercicio 1 de la matriz aumentada

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