La multiplicación de matrices solamente es posible si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número filas de la segunda. Sus órdenes deben ser m x n y n x q.
La matriz producto resultante P tendrá un orden o dimensión m x q.
La operativa para obtener todos los elementos pi, j de la matriz producto P, consiste en tomar los m elementos de la fila i de la matriz Am x n y los q elementos de la columna j de la matriz Bn x q (las dos líneas tienen n elementos). Se suman los resultados de los n productos y el resultado es el elemento pi, j.
El caso más simple es una matriz fila An x 1 por una matriz columna B1 x n (o viceversa). Como en este ejemplo, una matriz 3×1 multiplicada por otra 1×2:
Esta matriz producto tiene una dimensión 3×2 (m x q).
Multiplicación de matrices 2×2
Un producto de matrices cuadradas de dimensión 2×2. Por ejemplo:
Esta matriz producto también tiene una dimensión 2×2 (m x q).
Multiplicación de matrices 3×3
Un producto de matrices cuadradas de dimensión 3×3. Vemos un ejemplo:
Se ve la operativa del producto de matrices. Cada fila de la primera matriz se multiplica por todas las columnas de la segunda y se suman los resultados.
Esta matriz producto tiene una dimensión 3×3 (m x q).
Multiplicación de matrices rectangulares
Multiplicando dos matrices rectangulares se comprueba, con estos dos ejemplos, que la matriz producto P tiene un orden o dimensión m x q.
Propiedades del producto de matrices
La multiplicación de dos matrices cumple las siguientes propiedades:
- Distributiva respecto a la suma de matrices:
- Asociativa:
- Respecto a la matriz unidad, se cumple que:
- Elemento neutro:
- En general, en la multiplicación de matrices no se cumple la propiedad conmutativa:
Estas son unas excepciones:
Donde 0 es una matriz nula, In, la matriz unitaria y A-1 una matriz inversa, todas cuadradas y de orden n.
Ejercicio resuelto
Hallar los elementos de la primera matriz:
Se plantea la multiplicación por el método descrito:
De las primeras filas de las dos matrices, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
Lo resolvemos, obteniendo sucesivamente los valores de b y a:
Se repite el procedimiento para las segundas filas, obteniendo un segundo sistema de dos ecuaciones:
Lo resolvemos igualmente, obteniendo los valores de d y c:
Quedan determinados los elementos de la primera matriz factor que se buscaba:
