Operaciones con matrices

Las operaciones con matrices son:

Veamos todos los casos por separado:

Suma de matrices

La suma de matrices (de dos o más matrices) solamente existe cuando el orden m x n de estas es el mismo. Y del mismo orden será la matriz suma.

Se suman los elementos que ocupan la misma posición.

Sean dos matrices A y B de la misma dimensión m x n.

Dos matrices para su suma

La matriz suma S, también será de dimensión m x n:

Matriz suma de dos matrices

Ejemplo:

Sean dos matrices de orden 3×2. Su suma será:

Ejercicio resuelto de suma de matrices

La suma de varias matrices cumple las siguientes cuatro propiedades:

  • Conmutativa:
    Cumplimiento de la propiedad conmutativa
  • Asociativa:
    Cumplimiento de la propiedad asociativa
  • Elemento neutro:
    Existencia del elemento neutro
  • Elemento opuesto:
    Existencia del elemento opuesto

La matriz 0 es la matriz nula y -A es la matriz opuesta.

Resta de matrices

La resta de dos matrices A y B solamente existe cuando el orden m x n de éstas es el mismo. Y del mismo orden será la matriz resta R.

Se restan los elementos que ocupan la misma posición.

Sean dos matrices A y B de la misma dimensión m x n.

Dos matrices para su suma

La matriz resta R, también de dimensión m x n, será:

Matriz resta de dos matrices

Ejemplo:

Sean dos matrices de orden 3×2. Su resta será:

Ejercicio resuelto de resta de matrices

Escalar por una matriz

La multiplicación de un escalar por una matriz A (el escalar k es un número real) es otra matriz de la misma dimensión que A, cuyos elementos son el resultado de multiplicar ordenadamente el escalar k por cada elemento de A.

Fórmula del producto de un escalar por una matriz

Ejemplos:

Veamos algunos ejemplos del producto de un número real por una matriz:

Ejercicio resuelto de un número por una matriz

El producto de un número por una matriz cumple las propiedades: distributiva respecto a la suma de matrices, distributiva respecto a escalares, asociativa y existencia de elemento neutro.

  • Distributiva respecto a la suma de matrices:
    Cumplimento de la propiedad distrbutiva respecto la suma de matrices
  • Distributiva respecto a escalares:
    Cumplimento de la propiedad distrbutiva respecto a escalares
  • Asociativa externa:
    Cumplimento de la propiedad asociativa externa
  • Elemento neutro:
    Existencia del elemento neutro

Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices solamente es posible si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número filas de la segunda. Sus órdenes deben ser m x n y n x q.

La matriz producto resultante P tendrá un orden o dimensión m x q.

La operativa para obtener todos los elementos pi, j de la matriz producto P, consiste en tomar los m elementos de la fila i de la matriz Am x n y los q elementos de la columna j de la matriz Bn x q (las dos líneas tienen n elementos). Se suman los resultados de los n productos y el resultado es el elemento pi, j.

El caso más simple es una matriz fila An x 1 por una matriz columna B1 x n (o viceversa). Como en este ejemplo, una matriz 3×1 multiplicada por otra 1×2:

Fórmula de la multiplicación de matrices

Esta matriz producto tiene una dimensión 3×2 (m x q).

Multiplicación de matrices 2×2

Un producto de matrices cuadradas de dimensión 2×2. Por ejemplo:

Fórmula de la multiplicación de matrices 2x2

Esta matriz producto también tiene una dimensión 2×2 (m x q).

Multiplicación de matrices 3×3

Un producto de matrices cuadradas de dimensión 3×3. Vemos un ejemplo:

Fórmula de la multiplicación de matrices 3x3

Se ve la operativa del producto de matrices. Cada fila de la primera matriz se multiplica por todas las columnas de la segunda y se suman los resultados.

Esta matriz producto tiene una dimensión 3×3 (m x q).

Multiplicación de matrices rectangulares

Multiplicando dos matrices rectangulares se comprueba, con estos dos ejemplos, que la matriz producto P tiene un orden o dimensión m x q.

Fórmula de la multiplicación de matrices rectangulares

Propiedades del producto de matrices

La multiplicación de dos matrices cumple las siguientes propiedades:

División de matrices

La división de matrices propiamente no existe. Para realizar la operación:

Fórmula de la división de matrices

Debemos de operar así:

Fórmula de la división de matrices multiplicando

Es una multiplicación de la matriz del numerador por la matriz inversa del denominador.

Para que esta operación sea posible, se requiere que:

Ejemplo de división de dos matrices:

Vamos a realizar la división de A y B:

Enunciado del ejercicio 1

La matriz del denominador tiene inversa, por lo que la operación será:

Resultado del ejercicio 1

División de una matriz por un escalar

En la matriz resultante, que tiene la misma dimensión que la matriz original, se divide cada término de la matriz del numerador por el escalar:

Fórmula de la división de una matriz por un escalar

Potencia de matrices

La potencia de una matriz solamente es posible en las matrices cuadradas.

La potencia de matrices An consiste en concatenar ene veces multiplicaciones del factor matriz A.

Fórmula de la potencia de una matriz

Con frecuencia, se puede descifrar un determinado patrón en determinadas potencias de matrices. En ese caso se facilita el cálculo sin tener que hacer cada una de las multiplicaciones. Para ello, basta con realizar potencias de grado 3, 4 o 5 y poder llegar a inferir ese patrón.

Para averiguar si existe, se debe observar si exponentes pares o impares cambian los signos de los elementos, si se produce repetición, periódica, o si los sucesivos elementos de las potencias guardan relación con el exponente.

Hay ciertos tipos de matrices, cuyas potencias son inmediatas o muy sencillas.

De estos tres tipos, cualquier potencia resulta la misma matriz original:

Caso de la matriz triangular superior o en la matriz triangular inferior y cuando en ambos casos, los elementos de su diagonal principal son todo ceros. A partir de la potencia cuyo índice coincida con el rango de la matriz A, entonces el resultado es la matriz nula.

Fórmula de la potencia de una matriz triangular

En la matriz escalar, la potencia An es inmediata:

Fórmula de la potencia de una matriz escalar

En la matriz nilpotente, a partir de elevar al índice de nilpotencia, todas las potencias son la matriz nula (y del mismo orden).

En la matriz involutiva, los índices pares dan una matriz identidad y los índices impares, la matriz original.

Fórmula de la potencia de una matriz involutiva

Veamos si existe algún patrón en las potencias de esta matriz:

Patrón de la potencia de una matriz involutiva

Con las cuatro primeras potencias:

Cuatro primeras potencias de una matriz involutiva

Se puede inferir la potencia enésima:

Potencia enésima de una matriz involutiva

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