Operaciones con matrices

Las operaciones con matrices son:

Suma de matrices
Resta de matrices
Multiplicación de un escalar por una matriz
Multiplicación de matrices
División de matrices
Potencias de matrices

Veamos todos los casos por separado:

Suma de matrices

La suma de matrices (de dos o más matrices) solamente existe cuando el orden m x n de estas es el mismo. Y del mismo orden será la matriz suma.

Se suman los elementos que ocupan la misma posición.

Sean dos matrices A y B de la misma dimensión m x n.

La matriz suma S, también será de dimensión m x n:

Ejemplo:

Sean dos matrices de orden 3×2. Su suma será:

La suma de varias matrices cumple las siguientes cuatro propiedades:

Conmutativa:
Asociativa:
Elemento neutro:
Elemento opuesto:

La matriz 0 es la matriz nula y -A es la matriz opuesta.

Resta de matrices

ANUNCIOS

La resta de dos matrices A y B solamente existe cuando el orden m x n de éstas es el mismo. Y del mismo orden será la matriz resta R.

Se restan los elementos que ocupan la misma posición.

Sean dos matrices A y B de la misma dimensión m x n.

La matriz resta R, también de dimensión m x n, será:

Ejemplo:

Sean dos matrices de orden 3×2. Su resta será:

La multiplicación de un escalar por una matriz A (el escalar k es un número real) es otra matriz de la misma dimensión que A, cuyos elementos son el resultado de multiplicar ordenadamente el escalar k por cada elemento de A.

Fórmula del producto de un escalar por una matriz

Ejemplos:

Veamos algunos ejemplos del producto de un número real por una matriz:

Ejercicio resuelto de un número por una matriz

El producto de un número por una matriz cumple las propiedades: distributiva respecto a la suma de matrices, distributiva respecto a escalares, asociativa y existencia de elemento neutro.

Distributiva respecto a la suma de matrices:
Distributiva respecto a escalares:
Asociativa externa:
Elemento neutro:

Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices solamente es posible si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número filas de la segunda. Sus órdenes deben ser m x n y n x q.

La matriz producto resultante P tendrá un orden o dimensión m x q.

La operativa para obtener todos los elementos p_i, j de la matriz producto P, consiste en tomar los m elementos de la fila i de la matriz A_m x n y los q elementos de la columna j de la matriz B_n x q (las dos líneas tienen n elementos). Se suman los resultados de los n productos y el resultado es el elemento p_i, j.

El caso más simple es una matriz fila A_n x 1 por una matriz columna B_1 x n (o viceversa). Como en este ejemplo, una matriz 3×1 multiplicada por otra 1×2:

Fórmula de la multiplicación de matrices

Esta matriz producto tiene una dimensión 3×2 (m x q).

Multiplicación de matrices 2×2

Un producto de matrices cuadradas de dimensión 2×2. Por ejemplo:

Fórmula de la multiplicación de matrices 2x2

Esta matriz producto también tiene una dimensión 2×2 (m x q).

Multiplicación de matrices 3×3

Un producto de matrices cuadradas de dimensión 3×3. Vemos un ejemplo:

Fórmula de la multiplicación de matrices 3x3

Se ve la operativa del producto de matrices. Cada fila de la primera matriz se multiplica por todas las columnas de la segunda y se suman los resultados.

Esta matriz producto tiene una dimensión 3×3 (m x q).

Multiplicación de matrices rectangulares

Multiplicando dos matrices rectangulares se comprueba, con estos dos ejemplos, que la matriz producto P tiene un orden o dimensión m x q.

Propiedades del producto de matrices

La multiplicación de dos matrices cumple las siguientes propiedades:

Distributiva respecto a la suma de matrices:
Asociativa:
Respecto a la matriz unidad, se cumple que:
Elemento neutro:
En general, en la multiplicación de matrices no se cumple la propiedad conmutativa:

Estas son unas excepciones:

Donde 0 es una matriz nula, I_n, la matriz unitaria y A^-1 una matriz inversa, todas cuadradas y de orden n.

División de matrices

La división de matrices propiamente no existe. Para realizar la operación:

Debemos de operar así:

Es una multiplicación de la matriz del numerador por la matriz inversa del denominador.

Para que esta operación sea posible, se requiere que:

La matriz B del denominador sea invertible.
Para que se puedan multiplicar dos matrices, estas deben tener el mismo orden o dimensión.
Toda matriz invertible debe de ser una matriz cuadrada. A y B deben de ser cuadradas.
En general, en la multiplicación de matrices no se cumple la propiedad conmutativa.

Ejemplo de división de dos matrices:

Vamos a realizar la división de A y B:

La matriz del denominador tiene inversa, por lo que la operación será:

División de una matriz por un escalar

En la matriz resultante, que tiene la misma dimensión que la matriz original, se divide cada término de la matriz del numerador por el escalar:

Potencia de matrices

La potencia de una matriz solamente es posible en las matrices cuadradas.

La potencia de matrices Aⁿ consiste en concatenar ene veces multiplicaciones del factor matriz A.

Con frecuencia, se puede descifrar un determinado patrón en determinadas potencias de matrices. En ese caso se facilita el cálculo sin tener que hacer cada una de las multiplicaciones. Para ello, basta con realizar potencias de grado 3, 4 o 5 y poder llegar a inferir ese patrón.

Para averiguar si existe, se debe observar si exponentes pares o impares cambian los signos de los elementos, si se produce repetición, periódica, o si los sucesivos elementos de las potencias guardan relación con el exponente.

Hay ciertos tipos de matrices, cuyas potencias son inmediatas o muy sencillas.

De estos tres tipos, cualquier potencia resulta la misma matriz original:

Caso de la matriz triangular superior o en la matriz triangular inferior y cuando en ambos casos, los elementos de su diagonal principal son todo ceros. A partir de la potencia cuyo índice coincida con el rango de la matriz A, entonces el resultado es la matriz nula.