Regla de Cramer

La regla de Cramer permite resolver un sistema de ecuaciones lineales si cumple estas condiciones:

  • El número n de ecuaciones debe ser igual al número n de incógnitas.
  • Con los coeficientes de las incógnitas se debe formar una matriz invertible (o matriz regular), por lo que su determinante ha de ser distinto de cero.

Este sistema es útil para resolver sistemas con dos y tres ecuaciones.

El sistema de Cramer lo podemos representar así:

Sistema 1 del ejemplo 2

Se puede expresar con matrices, así:

Sistema 2 del ejemplo 2

O, abreviadamente:

Sistema 3 del ejemplo 2

La matriz de coeficientes A está formada por los coeficientes de las xn incógnitas (ya se ha dicho que su determinante no es nulo).

La matriz X es la matriz columna formada por las xi incógnitas.

La matriz B es la matriz columna formada los n términos independientes.

Necesariamente, un sistema de Cramer es compatible determinado, tiene una solución única. El rango de A es igual al de la matriz aumentada AB.

Para cada incógnita xi, en el denominador está el determinante A, |A|. En cada numerador, el determinante |Ai| es el de la matriz cuadrada en la que de A se ha sustituido la columna de los coeficientes de la variable xi por los elementos de la columna de B (la columna de los términos independientes).

La fórmula de Cramer para hallar cada una de las incógnitas es:

Fórmula de la regla de Cramer

En un sistema de Cramer, con tres ecuaciones y tres incógnitas, las fórmulas de las tres soluciones serían:

Soluciones de la regla de Cramer

Ejercicios

Ejercicio 1

Resolver este sistema de ecuaciones, aplicando, si es posible, el sistema de Cramer:

Sistema de ecuaciones del ejercicio 1

Solución:

Se halla el determinante de la matriz de coeficientes:

Determinante del ejercicio 1

El determinante no es nulo, luego A es regular y se ha hallado por la regla de Sarrus. El sistema es de Cramer y se pueden aplicar las fórmulas para hallar sus raíces:

Raíces del ejercicio 1

Las raíces son -2, 1, 3. El resultado se puede comprobar, sustituyendo los valores en las ecuaciones.

Ejercicio 2

Averiguar si este sistema se puede resolver por la regla de Cramer:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

El primer paso es hallar el determinante de la matriz de coeficientes:

Determinante del ejercicio 2

Como el determinante es nulo, la matriz de coeficientes no es invertible, el sistema no es de Cramer.

Esto no significa necesariamente que el sistema no tenga solución única. Resuelto por otros procedimientos, sus raíces son x = -1, y = -2, z = 4.

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Scroll al inicio