Matriz involutiva

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Una matriz involutiva A es una matriz invertible y, por tanto, matriz cuadrada, tal que es igual a su matriz inversa (pincha aquí para ver cómo se halla la matriz inversa).

Se debe de verificar que A² = I. Esto es porque una matriz invertible al multiplicarla por su matriz inversa, resulta una matriz identidad.

Condición de una matriz involutiva

El determinante de una matriz involutiva debe de ser ±1. Pero no todas las matrices cuyo determinante sea ±1 debe de ser necesariamente involutiva. Toda matriz identidad, como la matriz opuesta a la matriz identidad, son involutivas.

Una matriz involutiva elevada a cualquier exponente da lugar a otra matriz involutiva, de manera que si el exponente es par, la potencia será la matriz identidad I pero si el exponente es impar, la potencia será la matriz involutiva original A.

Potencia de una matriz involutiva

Se ve en el ejemplo en una matriz involutiva.

Ejemplo de la potencia de una matriz involutiva

Una matriz de orden 2, A2, es involutiva si los dos elementos de su diagonal principal tienen signos opuestos y, además, su determinante es ±1. Para ello, el producto de los elementos de la diagonal secundaria deben de diferir en una unidad del producto de los elementos de la diagonal principal.

Además de esta última condición para una matriz de orden 2, la matriz identidad y su matriz opuesta también son matrices involutivas. Aquí, unos ejemplos de matrices involutivas de orden 2:

Ejemplos de matrices de orden 2

Y un caso de matriz involutiva de orden 3, A3:

Ejemplos de matrices de orden 3

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2021


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