Determinante de una matriz

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n, es un único número real, al que llamaremos det(A) o |A|.

Los determinantes tienen muchas aplicaciones. Por enumerar algunas:

• Cálculo de la matriz adjunta.
• Con la matriz adjunta, hallar la matriz inversa.
  
• Cálculo del rango de una matriz.
• Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer.
  
• Cálculo de áreas, como el área de un polígono irregular por el Determinante de Gauss.
• Cálculo volúmenes, como el volumen de un paralelepípedo conociendo las coordenadas de cuatro vértices no coincidentes en una cara.
  

• Cálculo de un determinante
  • Regla de Sarrus
  • Teorema de Laplace
• Propiedades de los determinantes
• Regla de Cramer

Cálculo de un determinante

El cáculo de un determinante es el resultado de aplicar ciertas reglas. Según la dimensión de cada matriz, se empleará la regla más apropiada.

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n, es un único número real, al que llamaremos det(A) o |A|. Es el resultado de aplicar ciertas reglas. Según la dimensión de cada matriz, se empleará la regla más apropiada.

Como regla general, un determinante es la suma de n! sumandos. Cada sumando es el producto de n elementos. Cada producto está formado n factores, con un elemento único de cada fila y un único elemento de cada columna de la matriz A. A cada uno de estos sumandos se le antepone el signo + o – según que en cada uno de ellos, los subíndices de fila i tengan o no la misma paridad de inversiones que los subíndices de columna j. (Inversiones son los mínimos movimientos que hay que hacer en los n subíndices para que queden en orden natural).

De más simple a mayor orden, se aplica:

Determinante de una matriz de orden 1

El determinante es su único elemento.

Determinante de una matriz de orden 2

En una matriz de orden 2, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria.

El determinante de esta matriz de segundo orden es 8.

Determinante de una matriz de orden 3

Es el número resultado de este desarrollo:

Vemos que el número de sumandos es 3! = 6.

La llamada regla de Sarrus facilita recordar este desarrollo. Visualmente se apreciarán las operaciones con una ampliación a la derecha con las columnas 1 y 2.

Igualmente se aprecian los seis productos sumandos, con su inversión de signo o no, ampliando la matriz verticalmente, añadiendo abajo las dos primeras filas.

Consiste en la suma del producto de los elementos de la diagonal principal y los productos de sus dos diagonales paralelas, más (con el signo invertido) la suma del producto de la diagonal secundaria y los de sus dos diagonales paralelas.

Para llegar al valor del determinante con el desarrollo indicado.

Ejercicio

El determinante es 12.

Teorema de Laplace

El teorema de Laplace, también denominado determinante por cofactores o desarrollo por los adjuntos propone un algoritmo para el cálculo del determinante de una matriz. Es útil para matrices de orden tres o superior.

Propone el teorema que un determinante puede hallarse con la suma de los productos de una fila o columna cualquiera por sus cofactores o adjuntos correspondientes a los de esa fila o columna (los cofactores son los elementos necesarios para formar la matriz adjunta).

Prioritariamente debe escogerse la fila o columna que tenga más ceros i/o unos, para simplificar el cálculo.

Esta sería la fórmula, si se escogiese la fila i.

Y esta, si se escogiese la columna j.

Este procedimiento supone calcular determinantes de matrices de orden n – 1.

Determinantes de orden superior

A. Otra forma de hallar el determinante de una matriz de orden 3 o superior consiste en basarse en una de las propiedades de los determinantes. La que establece que el determinante de una matriz triangular (superior o inferior), es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. Para ello se realizarán sobre la matriz inicial A las operaciones elementales necesarias para convertirla en una matriz escalonada.

Ejercicio

Aquí tenemos una matriz, cuyo determinante (que previamente se ha hallado, por ejemplo, por la regla de Sarrus) es 72:

Convertiremos la matriz en triangular, con operaciones elementales por eliminación de Gauss. El determinante, producto de los elementos de la diagonal principal, sigue siendo 72:

B. También se puede hallar un determinante de orden superior aplicando una de las propiedades de los determinantes por la que, mediante transformaciones elementales, se llega a que todos los elementos menos uno de una línea (en el caso del siguiente ejercicio, la primera columna) columna, sean ceros. El valor del determinante se obtiene fácilmente por Laplace. Al llegar a un determinante de un cofactor de orden 3, se calculará por la regla de Sarrus.

Determinante de una matriz en Excel

Se escriben los datos numéricos de la matriz sobre la que se quiere obtener su determinante. Cuadrada, mismo número de datos en filas que en columnas. Ninguna celda en blanco.

En otra celda se escribe la fórmula =MDETERM(). Entre paréntesis los datos de la matriz. La primera celda de la izquierda de la primera fila, dos puntos, y la última celda de la última columna. INTRO.

Propiedades de los determinantes

Las propiedades de los determinantes facilitan el cálculo.

Estas propiedades son válidas para determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.

Las propiedades referidas a las filas son igualmente aplicables a las columnas.

• Si todos los elementos de una fila de una matriz se descomponen en la suma de dos sumandos, el determinante de la matriz inicial es la suma de dos determinantes que tienen en una fila, respectivamente, el primer y segundo sumando, siendo el resto de las filas iguales a las filas del determinante de la matriz inicial.
  
• Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden, A y B, el determinante de la matriz multiplicación de matrices A·B es el producto de los determinantes de las dos matrices.
  
• Si los elementos de una fila de una matriz se multiplican por un número k diferente de cero, el determinante resultante será el determinante de la matriz original multiplicado por dicho número.
  
• Igualmente, si los elementos de p filas de una matriz se multiplican por un número k diferente de cero, el determinante resultante será el determinante de la matriz original multiplicado por k^p.
  
• En una matriz invertible A, el determinante de su matriz inversa es igual al inverso del determinante A.
  
• Si una matriz es una matriz invertible A, su determinante es distinto de cero. Y en una matriz singular (no tiene inversa) su determinante sí que es nulo.
  
• El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta.
  
• Si una matriz se cambia el orden de una fila (o una columna) sus determinantes son de signo contrario.
  
• Si en una matriz se cambia el orden de n filas (o una columnas) sus determinantes son de signo contrario si n es impar.

  En este ejemplo, se cambia el orden de tres filas: la 1, la 2 y la 3. Número de cambios impar, luego cambia el signo:

  
• Si todos los elementos de una fila son ceros, el determinante también es nulo.
  
• Si los elementos de dos filas son iguales o proporcionales, el determinante es nulo.
  
• Si los elementos de una fila son combinación lineal de otras filas, el determinante es nulo.
  
• Sumando los productos de los elementos de una fila por los adjuntos (o cofactores) de otra fila, el resultado es nulo.
  
• Si a los elementos de una fila se les suma (o resta) una combinación lineal de otras filas, el determinante no varía. Pero si a la línea sustituida le aplicamos un coeficiente, (en el ejemplo, -2), el determinante quedará multiplicado por ese mismo coeficiente:
  
• Dada una matriz A y la potencia de esa matriz Aⁿ, el determinante de esta matriz potencia será igual al determinante |A|ⁿ.
  
• El determinante de cualquier matriz diagonal así como el determinante de cualquier matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal.
  

Regla de Cramer

La regla de Cramer permite resolver un sistema de ecuaciones lineales si cumple estas condiciones:

• El número n de ecuaciones debe ser igual al número n de incógnitas.
• Con los coeficientes de las incógnitas se debe formar una matriz invertible (o matriz regular), por lo que su determinante ha de ser distinto de cero.

Este sistema es útil para resolver sistemas con dos y tres ecuaciones.

El sistema de Cramer lo podemos representar así:

Se puede expresar con matrices, así:

O, abreviadamente:

La matriz de coeficientes A está formada por los coeficientes de las x_n incógnitas (ya se ha dicho que su determinante no es nulo).

La matriz X es la matriz columna formada por las x_i incógnitas.

La matriz B es la matriz columna formada los n términos independientes.

Necesariamente, un sistema de Cramer es compatible determinado, tiene una solución única. El rango de A es igual al de la matriz aumentada AB.

Para cada incógnita x_i, en el denominador está el determinante A, |A|. En cada numerador, el determinante |A_i| es el de la matriz cuadrada en la que de A se ha sustituido la columna de los coeficientes de la variable x_i por los elementos de la columna de B (la columna de los términos independientes).

La fórmula de Cramer para hallar cada una de las incógnitas es:

En un sistema de Cramer, con tres ecuaciones y tres incógnitas, las fórmulas de las tres soluciones serían: