Teorema del cateto

Teorema del cateto

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Triángulo rectángulo dividido en dos triángulos rectángulos más pequeños

El Teorema del cateto relaciona los segmentos proyectados por los catetos sobre la hipotenusa con cada uno de los catetos.

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema del cateto.

En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).

Fórmula del teorema del cateto

Triángulo rectángulo

Se divide el triángulo rectángulo (ABC) por su altura (h) en dos triángulos rectángulos más pequeños, (CAD y CDB).

La principal aplicación del teorema del cateto es calcular los catetos (a y b) del triángulo rectángulo a partir de los segmentos de las proyecciones en la hipotenusa (n y m) y ésta (c). Sabiendo los catetos y la hipotenusa se puede calcular el perímetro de un triángulo rectángulo.

Ejercicio

Ejemplo de la aplicación del teorema del cateto para el cálculo de sus catetos

Sea un triángulo rectángulo del que se conocen los segmentos en los que divide la altura (h) la hipotenusa (c). Estos segmentos son n=2 cm y m=8 cm.

A partir de los segmentos, gracias al teorema del cateto se pueden calcular los catetos. La hipotenusa (c) es la suma de los dos segmentos, es decir: c=n+m=2+8=10 cm.

Cálculo de los catetos de un triángulo por el teorema del cateto

Conociendo los catetos y la hipotenusa es posible calcular el perímetro de un triángulo rectángulo.

Cálculo del perímetro de un triángulo rectángulo por el teorema del cateto

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Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

Relación entre catetos e hipotenusa

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Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los catetos y la hipotenusa. Enuncia que:

Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:

Triángulo rectángulo

Fórmula del teorema de Pitágoras

Teorema de la altura

El teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principal ABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente:

En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura

Fórmula del teorema de la altura

AUTOR: Bernat Requena Serra


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38 comentarios en “Teorema del cateto”

  1. La altura de un triángulo rectángulo mide 10 cm. Determina la longitud de cada uno de los segmentos en que divide la hipotenusa, sabiendo que el otro cateto mide 3 cm.

    1. Si la altura de 10 cm divide a la hipotenusa en dos segmentos, es la altura sobre la hipotenusa. No es un cateto (que también son alturas).
      No es posible una altura sobre la hipotenusa mida 10 cm y que un cateto, 3 cm (Pitágoras). Revísalo.

    1. Visita la página Teorema de Pitágoras de UNIVERSO FÓRMULAS. De su aplicación elevando el binomio x + 2 al cuadrado y resolviendo. Para ello, ve a la página Función cuadrática, también en esta web y busca la fórmula de las raíces de una función cuadrática o de segundo orden.
      Verás como los catetos miden 6 m y 8 m.

  2. En el triángulo rectángulo ABC, el Angulo A = 35° y la hipotenusa C = 1 500mm, Encuentre la longitud del cateto a, con dos cifras decimales.

    1. Consulta la página Resolución de triángulos rectángulos de UNIVERSO FÓRMULAS.
      En el apartado «2. Se conoce la hipotenusa c y el ángulo agudo A» tienes la solución.
      a = 860,36 mm

  3. Calcular la suma de las longitudes de los catetos, si la hipotenusa mide 15 u y la altura relativa a ello mide 6u.

    Sale 9raíz de 5 pero como?

    1. Ves a la página Teorema de la altura de UNIVERSO FÓRMULAS.
      h² = n * m
      6² = n(15 – n)
      n&sup2 – 15n + 36 = 0
      Las raíces de esta ecuación las encuentra en la página Función cuadrática de esta web. Son 12 y 3 las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
      Por Pitágoras, un cateto, el b
      b² = 6² + 3²
      b = 6,71
      a² = 6² + 12²
      a = 12,37
      Suma de catetos
      a + b = 6,71 + 12,37 = 19,08

  4. calcula las proyecciones de n y m, de los catetos sobre la hipotenusa, usando la teorema del cateto y el de la altura respectivamente. Redondea a dos cifras decimales caso de ser necesario
    ayudenme pls

    1. Entiendo que esas dos medidas serán los dos catetos.
      Te faltaría la hipotenusa, que la obtendrás por Pitágoras.
      c² = 0,845² + 1²
      Perímetro = 0,845 + 1 + c

  5. yhonny camacho

    . ¿Cuál es el área de un triangulo rectángulo si la altura de la hipotenusa la divide en los segmentos de longitudes 7m y 21m?

  6. yhonny camacho

    Cuánto miden los catetos de un triangulo rectángulo si la hipotenusa mide 36m y la proyección de uno de los catetos sobre ella mide 9m

    1. Aplica el teorema del cateto que tienes en esta misma página:
      36/b = b/9
      b² = 36*9
      b = 18
      El otro cateto lo puedes sacar o por el mismo teorema o por el de Pitágoras.

  7. como hallar los segmentos de la proyeccion, cuando solo me dan los catetos y la hipotenusa. deseo hallar la altura.
    a=1m
    b=1.25m
    c=1.56m

    1. Área sobre un cateto:
      A = (1 * 1,25) / 2 = 1,125
      Área sobre la hipotenusa
      A = (c * h) / 2
      1,125 = (1,56 * h) / 2
      h = 2,25 / 1,56

    1. Por el teorema de la altura (en esta misma página):
      h = √(m + n)
      3 = √(m + n)
      Siendo m, n las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
      Pero:
      m + n = 10
      m = 10 – n
      Despejando m en la ecuación anterior:
      9 = (10 – n) * n
      Hallando las raíces de esta ecuación de segundo grado que resulta:
      – 10n + 10
      Resultan n = 1,1
      m = 8,9
      (m y n son intercambiables. Ver el segundo teorema de Tales en UNIVERSO FÓRMULAS).
      Dos triángulos rectángulos secundarios formados por los catetos b, n e hipotenusa h
      Y catetos a, m e hipotenusa h.
      Los resolvemos por el teorema de Pitágoras.
      Catetos:
      a = 9,4
      b = 3,2
      Espero que te sirva

  8. David de la rosa

    me pueden ayudar con este problema porfavor. A que distancia deberia de estar un hombre que jala una cuerda para tirar un tambo de 1000 N que esta en la azotea de un edificio que tiene 10 metros de altura

  9. Para esas personas que dijeron que el teorema del cateto es incorrecto, les aconsejo primero entender lo que es un triangulo rectangulo

    1. Mi siquiatra tiene razón cuando me diagnostico con déficit atención desorden, siempre supuse que el triangulo rectángulo al que se refería el Teorema eran los dos triángulos rectángulos siameses en el vértice D, para nada pensé en el vértice C , me consuela pensar que se han reído bastante.

  10. Quiere usted decir que una linea que baja perpendicular desde el vértice donde se unen los dos catetos hacia la hipotenusa no forma dos triángulos rectángulos? Claro la altura es determinante en el valor de los ángulos y debido a ello el teorema de pitágoras funciona a la perfección puesto que la altura es igual a uno de los catetos en los triángulos rectángulos. De todos modos hice el repaso aconsejado y con mis datos obtuve ángulos de: 5,71 y
    84,28; para el segundo sector: 21,80 y 68,20 , ambos sectores suman cada uno 180° . De todos modos en su propuesta de zanjar este desacuerdo que no debería darse en una ciencia que debe ser exacta como las matemáticas, sin embargo las respuestas a los ejercicios nos da a los dos la razón. Creo en el teorema de los catetos para una altura particular. Gracias de todos modos por mantener este sitio como ayuda y siempre que necesito una formula recurro a él.

  11. Se me ocurre una solución tajante para esta polémica. Yo quiero hacer una puerta doble triangular a la entrada de un edificio que mida 10 metros de largo. El vértice donde confluyen las dos alas de la puerta localizado a dos metros y ocho de las paredes, exactamente sus datos, solo que usamos metros. Yo quiero que la puerta tenga 20 metros de alto. Utilizó el teorema de pitágoras y sumo el cuadrado de dos y el de 20 para la primera ala y 8 y 20 para la segunda. Encuentro que los obreros deben entregarme el triángulo de entrada de a=20,10 mtrs, b=21,54 mtrs y c = 10 metros donde m= 8 mtrs y n=2 mtrs. Como me da usted la acertada respuesta del teorema de pitágoras usando solo el teorema de los catetos, conociendo C, m y n..? Por favor no me argumente que no es un triángulo rectángulo por que uso sus mismos datos en la proyección a la hipotenusa C, usted puede dibujarlo y ver claramente que es un triángulo rectángulo como el de su ejemplo, si usted puede darme la misma respuesta de pitágoras, aceptare que el teorema de los catetos no es un dogma de fé sino un teorema contundente para encontrar el valor de los catetos.

    1. Albur, de verdad que lo siento, pero lo que llamas polémica la doy por zanjada.
      Por favor, repasa tu propuesta y verás como el ángulo opuesto a 10 = 2+8 es de 27,51°, no los 90° del triángulo rectángulo del teorema de los catetos.

  12. Amigo: No se como explicarle lo que para mi es tan obvio como que dos más dos solo son cuatro y no hay otra respuesta. En el caso que nos ocupa su teorema tiene una sola respuesta donde hay infinidades. Con sus mismos datos, sin cambiar un milímetro, cualquiera puede hacer infinidad de triangulos también rectangulos, puedo poner un centímetro de altura, dos tres, cuatro, etc, los catetos a y b aumentan proporcional al aumento de la altura, como n, m y c siguen teniendo la misma medida es imposible que a y b puedan ser determinadas por solo m y n. Yo hice uno valorando CD o h con 8 cm y a adquirio el valor de 11,31 cm y 8,24 su teorema me da la misma respuesta que usted tiene en su ejercicio, De todos modos gracias por darme la oportunidad de dar mi opinión y dejemos que los lectores se hagan la suya propia.

    1. Gracias por tu opinión. Te sugiero que las pruebas empíricas las realices con un triángulo rectángulo.
      Insisto, porque te veo interesado y me gustaria que llegases a la conclusión correcta, si no te importa.
      Según el segundo teorema de Tales (que supongo que no cuestionarás tampoco), la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el diámetro de una circunferencia circunscrita.
      Espero que finalmente aceptes el teorema del cateto y veas que con dos segmentos de la hipotenusa (proyecciones de los catetos), el triángulo rectángulo es único.

  13. Olvide decirle que el maestro me dio este ejemplo, en un triángulo con sus mismos datos, n=2 cm y m= 8 cm es posible construir un triángulo de un millón de metros de altura y la respuesta de su teorema sería siempre la misma. Insisto, una sola respuesta para infinitas posibilidades. He allí el absurdo.

    1. Albur, te ha llegado la información errónea. El teorema es correcto. Se refiere a triángulos rectángulos. Repasa en UNIVERSO FÓRMULAS el segundo teorema de Tales.
      Con 2 cm y 8 cm de proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa de 10 cm solamente hay un triángulo rectángulo (y sólo uno). Si fuesen 8 cm y 2 cm, sería el mismo pero simétrico.

  14. Amigo solo quiero decirle que ese teorema como esta descrito,afirma que con un solo cateto conociendo las distancias al lugar donde se anexa la altura permite encontrar los otros catetos y por ende la altura. Es falso. funciona para un triángulo de altura uno, de allí en adelante el error de la respuesta se incrementa proporcional a la altura, yo traté de guiarme por ese teorema y mi maestro me perdonó la calificación y no me puso el cero que me merecía porque le mostre la link de donde habia sacado la formula, me agregó que la proxima vez no me perdonaria. Yo le agradezco las ayudas que he recibido con otras fórmulas, pero por favor, revise el postulado para que otros que necesiten guia, no se resbalen.

  15. Ese teorema es una blasfemia contra las matemáticas. Si con sus mismos datos usted aumenta la altura el número de veces que quiera, el error en la respuesta se aumenta en la misma cantidad. Absurdo. Sería mejor llamarlo teorema del absurdo y no de los catetos.

    1. Multiplica los catetos en este caso 3 y 4 e iguálalo a la multiplicación de la hipotenusa por tu constante (h) … 🙂

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