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Teorema del cateto

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Triángulo rectángulo dividido en dos triángulos rectángulos más pequeños

El Teorema del cateto relaciona los segmentos proyectados por los catetos sobre la hipotenusa con cada uno de los catetos.

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema del cateto.

En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).

Fórmula del teorema del cateto

Triángulo rectángulo

Se divide el triángulo rectángulo (ABC) por su altura (h) en dos triángulos rectángulos más pequeños, (CAD y CDB).

La principal aplicación del teorema del cateto es calcular los catetos (a y b) del triángulo rectángulo a partir de los segmentos de las proyecciones en la hipotenusa (n y m) y ésta (c). Sabiendo los catetos y la hipotenusa se puede calcular el perímetro de un triángulo rectángulo.

Ejercicio

Ejemplo de la aplicación del teorema del cateto para el cálculo de sus catetos

Sea un triángulo rectángulo del que se conocen los segmentos en los que divide la altura (h) la hipotenusa (c). Estos segmentos son n=2 cm y m=8 cm.

A partir de los segmentos, gracias al teorema del cateto se pueden calcular los catetos. La hipotenusa (c) es la suma de los dos segmentos, es decir: c=n+m=2+8=10 cm.

Cálculo de los catetos de un triángulo por el teorema del cateto

Conociendo los catetos y la hipotenusa es posible calcular el perímetro de un triángulo rectángulo.

Cálculo del perímetro de un triángulo rectángulo por el teorema del cateto

Relación entre catetos e hipotenusa

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Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los catetos y la hipotenusa. Enuncia que:

Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:

Triángulo rectángulo

Fórmula del teorema de Pitágoras

Teorema de la altura

El teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principal ABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente:

En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura

Fórmula del teorema de la altura

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14 Respuestas

  1. Amira dice:

    Hola hola hola
    Alguien dijo matemáticas
    Quieren una tareilla

  2. Javier dice:

    Para esas personas que dijeron que el teorema del cateto es incorrecto, les aconsejo primero entender lo que es un triangulo rectangulo

  3. Alburbooks dice:

    Quiere usted decir que una linea que baja perpendicular desde el vértice donde se unen los dos catetos hacia la hipotenusa no forma dos triángulos rectángulos? Claro la altura es determinante en el valor de los ángulos y debido a ello el teorema de pitágoras funciona a la perfección puesto que la altura es igual a uno de los catetos en los triángulos rectángulos. De todos modos hice el repaso aconsejado y con mis datos obtuve ángulos de: 5,71 y
    84,28; para el segundo sector: 21,80 y 68,20 , ambos sectores suman cada uno 180° . De todos modos en su propuesta de zanjar este desacuerdo que no debería darse en una ciencia que debe ser exacta como las matemáticas, sin embargo las respuestas a los ejercicios nos da a los dos la razón. Creo en el teorema de los catetos para una altura particular. Gracias de todos modos por mantener este sitio como ayuda y siempre que necesito una formula recurro a él.

  4. Alburbooks dice:

    Se me ocurre una solución tajante para esta polémica. Yo quiero hacer una puerta doble triangular a la entrada de un edificio que mida 10 metros de largo. El vértice donde confluyen las dos alas de la puerta localizado a dos metros y ocho de las paredes, exactamente sus datos, solo que usamos metros. Yo quiero que la puerta tenga 20 metros de alto. Utilizó el teorema de pitágoras y sumo el cuadrado de dos y el de 20 para la primera ala y 8 y 20 para la segunda. Encuentro que los obreros deben entregarme el triángulo de entrada de a=20,10 mtrs, b=21,54 mtrs y c = 10 metros donde m= 8 mtrs y n=2 mtrs. Como me da usted la acertada respuesta del teorema de pitágoras usando solo el teorema de los catetos, conociendo C, m y n..? Por favor no me argumente que no es un triángulo rectángulo por que uso sus mismos datos en la proyección a la hipotenusa C, usted puede dibujarlo y ver claramente que es un triángulo rectángulo como el de su ejemplo, si usted puede darme la misma respuesta de pitágoras, aceptare que el teorema de los catetos no es un dogma de fé sino un teorema contundente para encontrar el valor de los catetos.

    • Respuestas dice:

      Albur, de verdad que lo siento, pero lo que llamas polémica la doy por zanjada.
      Por favor, repasa tu propuesta y verás como el ángulo opuesto a 10 = 2+8 es de 27,51°, no los 90° del triángulo rectángulo del teorema de los catetos.

  5. Alburbooks dice:

    Amigo: No se como explicarle lo que para mi es tan obvio como que dos más dos solo son cuatro y no hay otra respuesta. En el caso que nos ocupa su teorema tiene una sola respuesta donde hay infinidades. Con sus mismos datos, sin cambiar un milímetro, cualquiera puede hacer infinidad de triangulos también rectangulos, puedo poner un centímetro de altura, dos tres, cuatro, etc, los catetos a y b aumentan proporcional al aumento de la altura, como n, m y c siguen teniendo la misma medida es imposible que a y b puedan ser determinadas por solo m y n. Yo hice uno valorando CD o h con 8 cm y a adquirio el valor de 11,31 cm y 8,24 su teorema me da la misma respuesta que usted tiene en su ejercicio, De todos modos gracias por darme la oportunidad de dar mi opinión y dejemos que los lectores se hagan la suya propia.

    • Respuestas dice:

      Gracias por tu opinión. Te sugiero que las pruebas empíricas las realices con un triángulo rectángulo.
      Insisto, porque te veo interesado y me gustaria que llegases a la conclusión correcta, si no te importa.
      Según el segundo teorema de Tales (que supongo que no cuestionarás tampoco), la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el diámetro de una circunferencia circunscrita.
      Espero que finalmente aceptes el teorema del cateto y veas que con dos segmentos de la hipotenusa (proyecciones de los catetos), el triángulo rectángulo es único.

  6. Alburbooks dice:

    Olvide decirle que el maestro me dio este ejemplo, en un triángulo con sus mismos datos, n=2 cm y m= 8 cm es posible construir un triángulo de un millón de metros de altura y la respuesta de su teorema sería siempre la misma. Insisto, una sola respuesta para infinitas posibilidades. He allí el absurdo.

    • Respuestas dice:

      Albur, te ha llegado la información errónea. El teorema es correcto. Se refiere a triángulos rectángulos. Repasa en UNIVERSO FÓRMULAS el segundo teorema de Tales.
      Con 2 cm y 8 cm de proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa de 10 cm solamente hay un triángulo rectángulo (y sólo uno). Si fuesen 8 cm y 2 cm, sería el mismo pero simétrico.

  7. Alburbooks dice:

    Amigo solo quiero decirle que ese teorema como esta descrito,afirma que con un solo cateto conociendo las distancias al lugar donde se anexa la altura permite encontrar los otros catetos y por ende la altura. Es falso. funciona para un triángulo de altura uno, de allí en adelante el error de la respuesta se incrementa proporcional a la altura, yo traté de guiarme por ese teorema y mi maestro me perdonó la calificación y no me puso el cero que me merecía porque le mostre la link de donde habia sacado la formula, me agregó que la proxima vez no me perdonaria. Yo le agradezco las ayudas que he recibido con otras fórmulas, pero por favor, revise el postulado para que otros que necesiten guia, no se resbalen.

  8. Alburbooks dice:

    Ese teorema es una blasfemia contra las matemáticas. Si con sus mismos datos usted aumenta la altura el número de veces que quiera, el error en la respuesta se aumenta en la misma cantidad. Absurdo. Sería mejor llamarlo teorema del absurdo y no de los catetos.

    • Respuestas dice:

      Albur: en serio, antes de proponer nombres nuevos a los teoremas sería mejor repasarlos.

  9. Maria llanos dice:

    como calculo la altura de un triangulo rectángulo de lados de 3, 4 y 5metros

    • Jeanpool dice:

      Multiplica los catetos en este caso 3 y 4 e iguálalo a la multiplicación de la hipotenusa por tu constante (h) … 🙂

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