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El ortocentro de un triángulo H es el punto intersección de las tres alturas del triángulo.
Las alturas (ha, hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También pueden entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.
¿Dónde está el ortocentro localizado?
- El ortocentro podría estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo.
- En los triángulos rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto.
- En los triángulos acutángulos, será un punto interior.
En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triángulo obtusángulo.
Recta de Euler
En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.
En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.
Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a 
desde un lado y, por tanto, 
al vértice, siendo h cualquiera de sus tres alturas.
Ejercicio
Hallar las coordenadas del ortocentro H de un triángulo cuyos vértices tienen las coordenadas A(3,5), B(4,-1) y C(-4,1).
El ejercicio lo resolveremos analíticamente. Para ello tendremos que saber las ecuaciones de las alturas ha (que parte del vértice A) y hb (que parte del vértice B) y ver el punto de intersección de ambas alturas, que será H.
Hallaremos la ecuación de la recta que pasa por el lado BC, que es el opuesto al vértice A. Esta ecuación se obtiene sabiendo que pasa por los puntos B(4,-1) y C(-4,1). La ecuación general de la recta que pasa por dos puntos conocidos es:
La ecuación de la recta que contiene al lado BC y su pendiente m serán:
La pendiente de la recta que contiene a la altura ha, por ser perpendicular al lado BC, es la inversa y de signo contrario a la pendiente de la recta que contiene al lado:
Sabiendo que la altura ha pasa por el vértice A(3,5), podemos obtener la ecuación de su recta. La ecuación de una recta, conociendo un punto y su pendiente (pendiente inversa y de signo contrario a la hallada para BC, es decir, mp = 4):
Esta es la ecuación de ha.
Ahora procedemos del mismo modo para hallar la ecuación de la recta que contiene a la altura hb, es decir, a la que, partiendo del vértice B es perpendicular al lado AC.
En primer lugar, la pendiente de la recta de AC:
Y, ahora, la ecuación de la recta que contiene a la altura hb, es decir, la que partiendo del vértice B es perpendicular al lado AC. Su pendiente será, por lo tanto –7/4.
Esta es la ecuación de hb.
Resolvemos este sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Sus raíces serán las coordenadas de su intersección, es decir, del ortocentro H del triangulo ABC.
Resolviendo este sistema de ecuaciones, tenemos que:
Tenemos que las coordenadas del ortocentro son H(2,26 , 2,04).
hola disculpe, como podria resolver esto:
si a(2,0,3) b(6,-5,3) y c(2,4,0) son los vertices del triangulo abc, calcule el ortocentro
No puedo resolver esto, me confunde, el ejercicio es así: «Dados A(3, -1) y B (5, 7), vértices de un triángulo y su ortocentro H(4, -1), calcular el área del triángulo.»
Ve a la página Recta de UNIVERSO FÓRMULAS. De la ecuación punto-punto obtendrás la ecuación de la recta que pasa por AB (y = 4x – 13) tiene una pendiente m = 4. Verás en la misma página que la recta perpendicular, la de la altura relativa a AB, tiene una pendiente m’, inversa negativa (- 1/4) (Rectas perpendiculares en UF).
Solamente tienes que plantear las ecuaciones de las otras dos alturas que pasan por HA y HB respectivamente. Los lados tendrán unas pendientes inversas negativas a las de las ecuaciones de esa dos últimas alturas.
Con dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas obtendrás las coordenadas del vértice restante C.
Puedes hallar las longitudes de los tres lados y calcular el área por la Fórmula de Herón
Obtendrás un triángulo isósceles de 8,25 de área
Ayuda con este ejercicio Dado el triángulo que tiene los siguientes vértices: a.(3,6) b. (3,2) c. (1,-2)
Calcular:
a ) El baricentro.
b ) El circuncentro.
c ) El ortocentro.
Susana, consulta las páginas del Ortocentro, Baricentro y Circuncentro de UNIVERSO FÓRMULAS.
En los dos primeros casos hay un ejercicio similar a lo que buscas. En la página del circuncentro, lo mismo, en el ejercicio 2.
Los resultados serán:
a) G (1,33, 3)
b) O (0, 4)
c) H (4,1)
Y verás como se cumple la recta de Euler.
hola, no te conozco, pero te amo
Tengo que encontrar las coordenadas del otro centro de un triángulo de (2,3) (-2,-2) y (7,-7), ¿me podría ayudar?
Buenas, cómo sería si tuviéramos el ortocentro y dos vértices como datos, siendo la incógnita el tercer vértice
Creo que podrías tratar de resolverlo tu misma guiándote con el ejercicio de la página.
Para ir más segura, repasa la página Recta de UNIVERSO FÓRMULAS, especialmente la ecuación de la recta que pasa por dos puntos y la ecuación de una recta perpendicular a otra que pasa por un punto.
Venga, anímate.
5 dibujos de triángulos con su altura y su ortocentro
puedes ayudarme con este ejercicio el en triangulo de vertices A(1,2),B(3,-4),C(5,3) hallar las ecuaciones de las tres alturas y el ortocentro por favor me podrías ayudar gracias
Jose, precisamente en esta página tienes un ejercicio igual al que planteas. Síguelo paso a paso.
2x + 7y – 16 = 0
4x + y – 8 = 0
x – 3y + 4 = 0
H (1,54, 1,85)
necesito hallar las coordenadas del orto centro de un triángulo cuyas coordenadas son A(5;2), B(5;6), C(2;2) les doy 3 estrellas Bv okno
Evidentemente es (5, 6). Aquí, el ortocentro es B.
B es el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo con el cateto CB paralelo al eje X.
Puedes hacerlo analíticamente según el ejercicio de esta página.
no entendi
Gracias programadores recién entendí eso jeje
mrd afa
saben entendi muy bn
Excelente página. Muy ilustrativa.
gracias
es genial me ayuda mucho y es la mejor pagina que yo e visto
porque tiene la explicación de sus partes y dice en que punto de la figura puede estar
gracias