Teorema de la altura

Teorema de la altura

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Triángulo rectángulo dividido en dos triángulos rectángulos más pequeños

El Teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principal ABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente:

En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura

Fórmula del teorema de la altura

Triángulo rectángulo

Para ello, se divide el triángulo rectángulo (ABC) por su altura (h) en dos triángulos rectángulos más pequeños, (CAD y CDB).

La principal aplicación de este teorema es calcular la altura (h) del triángulo rectángulo a partir de los segmentos en los que se divide la hipotenusa (n y m). Conociendo la hipotenusa y la altura (h), se puede calcular el área del triángulo rectángulo.

Altura del triángulo rectángulo a partir de los lados

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura

Aplicándole el teorema del cateto a la fórmula de la altura que se tiene en el teorema de la altura, se puede obtener la altura del triángulo rectángulo sabiendo sus tres lados.

Fórmula de la altura por el teorema de la altura a partir de los lados

Se aplica las fórmulas del teorema del cateto que relacionan las proyecciones de los catetos con los lados.

Cálculo de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa a partir de los lados

Sustituyendo en la fórmula de la altura se obtiene:

Cálculo de la altura del triángulo rectángulo a partir de sus lados

Ejercicio

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Ejemplo de la aplicación del teorema de la altura para el cálculo de su altura

Sea un triángulo rectángulo del que se conocen los segmentos en los que divide la altura (h) la hipotenusa (c). Estos segmentos son n=3 cm y m=12 cm.

A partir de los segmentos, gracias al teorema de la altura se puede calcular la altura (h) del triángulo:

Cálculo de la altura de un triángulo por el teorema de la altura

La altura del triángulo es de h=6 cm. La hipotenusa es la suma de los segmentos n y m, es decir c=n+m=3+12=15 cm.

A partir de la hipotenusa y la la altura correspondiente a ésta, se puede calcular el área del triángulo rectángulo.

Cálculo del área de un triángulo rectángulo por el teorema de la altura

Relación entre catetos e hipotenusa

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los catetos y la hipotenusa. Enuncia que:

Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:

Triángulo rectángulo

Fórmula del teorema de Pitágoras

Teorema del cateto

El teorema del cateto relaciona los segmentos proyectados por los catetos sobre la hipotenusa con cada uno de los catetos.

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema del cateto.

En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).

Fórmula del teorema del cateto

AUTOR: Bernat Requena Serra


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24 comentarios en “Teorema de la altura”

    1. Te falta un dato. Con solo un lado, sea cateto o hipotenusa no puedes.
      Para resolver cualquier triángulo se necesitan tres datos (siempre que no sean los tres ángulos).
      en tu caso conoces un lado y el ángulo recto.

    1. Se supone que hablas de la altura referida a la hipotenusa hc (de otra forma, otra altura sería ya un cateto). Supongamos que el ángulo conocido sea el A.
      b = hc/sen A
      a = hc/sen (90° – A)

    1. En esta misma página tienes la fórmula de la altura del triángulo rectángulo a partir de los lados.
      Con esta fórmula, la del perímetro y el teorema de Pitágoras, forma un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
      h = 12 = a*b/c
      a+b+c=60
      a²+b² = c²
      Resuélvelo y te dará:
      a = 15 cm
      b = 20 cm
      c = 25 cm

    1. Página Resolución de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS. (Al principio de la página).
      Teorema del seno.

    1. Tiene sentido llamar así a los catetos de un triángulo rectángulo cuando los referimos a uno de los dos dos ángulos agudos, diferente del ángulo recto.
      Así, el cateto opuesto es el opuesto a uno de los dos ángulos no rectos.
      El cateto adyacente es el que, con la hipotenusa, forma el ángulo agudo al que nos estamos refiriendo.
      El diccionario define «adyacente» como:
      Situado en la inmediación o proximidad de algo
      En resumen, según a cual de los dos ángulos agudos nos refiramos, un mismo cateto puede ser opuesto o adyacente

  1. tengo la base de un triangulo que es dos centímetros mayor que la altura y tengo el área que es de 54 centímetros deseo hallar la base y la altura. quien me pude ayudar?

    1. Mira área de un triángulo en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Área = b*h / 2
      b = h + 2
      Área = (h + 2)*h / 2 = 54
      + 2h – 108 = 0
      Las raíces de esta ecuación de segundo grado son -11,44 y 9,44
      Eliminamos la negativa.
      La altura es de h = 9,44 cm
      La base es de b = 9,44 + 2 = 11,44 cm

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