Altura de un triángulo

Altura de un triángulo

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Dibujo de las tres alturas de un triángulo y del ortocentro.

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.

Hay tres alturas (ha, hb y hc), según a que lado está asociada dicha altura. A partir de la fórmula de Herón, conociendo los tres lados (a, b y c), se pueden hallar las tres alturas:

Fórmula de las tres alturas del triángulo.

Alturas y ortocentro

Dibujo de las tres alturas de un triángulo y del ortocentro.

Las tres alturas del triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro (H).

Las alturas podrían estar dentro del triángulo, fuera de él, o incluso coincidir con uno de sus lados, depende del tipo de triángulo que sea:

¿Dónde está ubicado el ortocentro?

Altura de un triángulo equilátero

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Dibujo del triángulo equilátero para el cálculo de su altura

La altura (h) del triángulo equilátero se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, a/2 y h forman un triángulo rectángulo. Los lados a/2 y h son los catetos y a la hipotenusa.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

Cálculo de la altura del triángulo equilátero.

Y obtenemos que la altura (h) del triángulo equilátero es:

Fórmula de la altura del triángulo equilátero.

Dibujo del triángulo equilátero para el cálculo de su altura por razones trigonométricas.

Otro procedimiento para calcular su altura sería a partir de las razones trigonométricas.

Respecto al ángulo de 60º, la razón entre la altura h y la hipotenusa del triángulo a es igual al seno de 60º. Por tanto:

Cálculo de la altura del triángulo equilátero por razones trigonométricas.

Altura de un triángulo isósceles

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su altura

La altura (h) del triángulo isósceles se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, b/2 y h forman un triángulo rectángulo. Los lados b/2 y h son los catetos y a la hipotenusa.

Por el teorema de Pitágoras:

Cálculo de la altura del triángulo isósceles

Y se obtiene que la altura h es:

Fórmula de la altura del triángulo isósceles.

En un triángulo isósceles, la altura correspondiente a la base (b) es también la bisectriz, mediatriz y mediana.

Altura de un triángulo rectángulo

Dibujo del triángulo rectángulo

Las alturas del triángulo rectángulo asociadas a los catetos (a y b) son el cateto opuesto. Por lo tanto, ha=b y hb=a.

Para calcular la altura asociada al lado c (la hipotenusa) se recurre al teorema de la altura.

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura

La altura h (o hc) puede obtenerse conociendo los tres lados del triángulo rectángulo.

Fórmula de la altura por el teorema de la altura a partir de los lados

Descárgate esta calculadora para obtener los resultados de las fórmulas de esta página. Elige los datos iniciales e introdúcelos en el recuadro superior izquierdo. Para resultados, pulsa INTRO.

Triangulo-total.rar         o bien   Triangulo-total.exe      

Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

Ejercicio

Dibujo de un ejemplo de triángulo y sus tres alturas.

Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a=3 cm, b=4 cm y c=4.5 cm.

¿Cuales son sus alturas ha, hb y hc? Primero calcularemos el semiperímetro (s).

Cálculo del semiperímetro de un triángulo.

Obtenemos que el semiperímetro es s = 5,75 cm. Ahora podemos calcular las tres alturas

Cálculo de las tres alturas del triángulo.

Y las tres alturas serán ha=3,92 cm, hb=2,94 cm y hc=2,61 cm.

Otros elementos notables de un triángulo


AUTOR: Bernat Requena Serra


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66 comentarios en “Altura de un triángulo”

    1. Visita la página Resolución de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Con la base y dos ángulos tienes el área.
      Y:
      Área = b*h / 2

  1. como puedo calcular la altura de un triángulo Escaleno de base 18 cm, y lados, 20 y 10 cm y quiero calcular su altura como sería?

    1. Busca en la página Fórmula de Herón en UNIVERSO FÓRMULA.
      La respuesta en el ejercicio 2.

    2. Las alturas son 9,98 cm respecto al lado 18
      8,98 cm respecto al de 20
      17,96 cm respecto al de 10 cm

  2. hola
    me pueden ayudar en el siguiente ejercicio

    para sostener un poste de energía electrica los trabajadores de la empresa colocan un cable de 6 cm desde la punta del poste hasta un punto p en la tierra encuentra la altura h del poste y la distancia x horizontal desde p hasta la base del poste

  3. Como puedo calcular la altura de una torre, si se que tiene un teodolito a 12 cm del pie de la torre observando al extremo superior, formando un angulo de 62°?

    1. Si te refieres a la longitud de la circunferencia de la base del volcán:
      7500 = 2πr
      Despeja r
      tan 30° = h /r
      Halla el valor de la altura h

    2. com mi formula es fácil base entre dos al cuadrado entre 90 por 30 seria (7500 /2 ) =3750 .se eleva al cuadrado seria (3750)*(3750) =14062500/90=156250*30 =4687500 la raíz de este seria la altura del volcán 2,165063509 km este seria por mis cálculos gracias formula para triángulos rectángulos con un angulo 30

    1. Supongo que se trata de un triángulo rectángulo
      Perímetro es P e hipotenusa (tu base, supongo) es c
      Área = (P/2)[(P/2) – c]
      Área = c * h / 2
      Despeja la altura h

    1. Se puede calcular la altura de cualquier triángulo, pero siempre que tengas los datos necesarios.
      Por ejemplo, imagina que te dan los tres lados. Tienes el área por Herón.
      Area = (b * h) / 2.
      Si vas a la página Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS, encontrarás más opciones para encontrar una altura a partir de un lado y el área:
      Saber un lado y dos ángulos,
      O dos lados y un ángulo.

  4. Hola, q tal??
    me podrian ayudar con este problema explicandomelo me harían un gran favor, muchas gracias
    L’INS ha puesto en órbita un satelite meteorológico en una órbita a 3500 km de la superfície de la Tierra. Este satelite hace fotografias de toda la superfície terrestre que puede ver.
    Cauntas fotografias tendrá que hacer el satelite, como mínimo, para poder fotografiar TODA la superfície terrestre?
    El radio de la Tierra és de 6370 km.

    1. Si haces la construcción geométrica, verás que el satélite, con esa órbita, abarca la Tierra con un ángulo de 80,5°. Los dos puntos de tangencia de la visión desde el satélite sobre la circunferencia en la superficie terrestre sobre la que se proyecta la órbita forma un ángulo con el centro de la Tierra de 99,5°.
      Necesitaría, como mínimo cuatro fotografías para abarcar los 360°

  5. esta bien que les corrijan los errores ortográficos pero no se pasen, hey mk se creen la gran vg no se si es que tienen ganas de pelear o que les gusta dejar en ridiculo a los demas para ganar «credibilidad» frente a cualquier persona lo cual no sirve de nada, gracias 🙂

    1. tu que me miras

      es con X noob XD no sabes escribir no llores xD aprende a escribir si quieres despues te regalo un pañal para que no te hagas pipi 🙂

  6. no creo que la formula final para la altura de el triangulo equilatero este bien e realizado el ejercicio poniendo valor a a y me da un valor coherente por pitagoras pero no es el mismo valor que da en h=raizde3a/2 pero cuando elevo al cuadrado la a el valor es congruente y es igual al de pitagoras si estoy mal por favor corriganme

    1. La altura de un triángulo equilátero es:
      h = (a*√3)/2
      No entiendo qué es lo que quieres decir. El ejercicio no es de un equilátero.
      Una longitud al cuadrado no te da una altura.

    2. este es unos de mis descubrimientos de los triangulos que los e estudiado mucho para triángulos equilatero.. debemos dividir su perimetro entre la raiz de (12) y tendremos su altura verifica este conocimiento nuevo de que podemos lograr con las raíces cuadradas gracias……y hay mas cosas maravillosas

  7. Pablo Bengochea

    Crystal el semiperimetro es lo que suma todo y te hace saber los lados hb hc ha por lo cual son tres lados. Ya que si hubiera otro seria una figura primalitica

    De nada Crystal

  8. Pablo Bengochea

    Muchas gracias mañana tengo examen sobre esto y tengo que estudiarlo para mañana ya que no lo vamos a trabajar soy de Cuarto A.
    Ponen cosas bastantes dificiles asi quee…………..

    1. si es equilatero todos sus lados son iguales basta que te den un lado …ese lado lo multiplicas por 3 y tienes el perimetro ..yo tengo una formula para triangulos equilateros es perimetro dividido entre la raiz de (12)y ya .esto es una de las cosas que podemos conseguir con las raices cuadradas que yo y muchos nos preguntamos . gracias

  9. y si tengo un triangulo equilatero necesito hallar la altura y tiene un angulo alfa como ago? porfavor esq no entiendo bien esa pregunta

    1. y si tengo un triangulo equilatero necesito hallar la altura y tiene un angulo alfa como ago? porfavor esq no entiendo bien esa pregunta de lado a perdón

    2. Pablo Bengochea

      Jhony eso puede ser posible pero para eso esta el semiperimetro ya que lo que tu dices es una figura Primalitica que esas son las que tienen un angulo alfa y no se puede hallar la altura.Pero puedes ser que te estes equivocando, ya que hace un dia lo eh echo.Pues lo eh echo muy bien,y lo eh echo como tu dices asi que hay que fijarnos

  10. ES ALGO INTERESANTE PERO LA VERDAD EN EL MOMENTO DE ESTAR ESCRIVIENDO MI COMENTARIO ME DICE PORFAVORCOMFIRMA QUE ERES UMANO ANTES DE COMENTAR QUE LES PASA

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