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Altura de un triángulo

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Dibujo de las tres alturas de un triángulo y del ortocentro.

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.

Hay tres alturas (ha, hb y hc), según a que lado está asociada dicha altura. A partir de la fórmula de Herón, conociendo los tres lados (a, b y c), se pueden hallar las tres alturas:

Fórmula de las tres alturas del triángulo.

Dibujo de las tres alturas de un triángulo y del ortocentro.

Las tres alturas del triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro (H).

Las alturas podrían estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. El ortocentro también será exterior en los triángulos obtusángulos. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.

Altura de un triángulo equilátero

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Dibujo del triángulo equilátero para el cálculo de su altura

La altura (h) del triángulo equilátero se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, a/2 y h forman un triángulo rectángulo. Los lados a/2 y h son los catetos y a la hipotenusa.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

Cálculo de la altura del triángulo equilátero.

Y obtenemos que la altura (h) del triángulo equilátero es:

Fórmula de la altura del triángulo equilátero.

Dibujo del triángulo equilátero para el cálculo de su altura por razones trigonométricas.

Otro procedimiento para calcular su altura sería a partir de las razones trigonométricas.

Respecto al ángulo de 60º, la razón entre la altura h y la hipotenusa del triángulo a es igual al seno de 60º. Por tanto:

Cálculo de la altura del triángulo equilátero por razones trigonométricas.

Altura de un triángulo isósceles

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su altura

La altura (h) del triángulo isósceles se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, b/2 y h forman un triángulo rectángulo. Los lados b/2 y h son los catetos y a la hipotenusa.

Por el teorema de Pitágoras:

Cálculo de la altura del triángulo isósceles

Y se obtiene que la altura h es:

Fórmula de la altura del triángulo isósceles.

En un triángulo isósceles, la altura correspondiente a la base (b) es también la bisectriz, mediatriz y mediana.

Altura de un triángulo rectángulo

Dibujo del triángulo rectángulo

Las alturas del triángulo rectángulo asociadas a los catetos (a y b) son el cateto opuesto. Por lo tanto, ha=b y hb=a.

Para calcular la altura asociada al lado c (la hipotenusa) se recurre al teorema de la altura.

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura

La altura h (o hc) puede obtenerse conociendo los tres lados del triángulo rectángulo.

Fórmula de la altura por el teorema de la altura a partir de los lados

Ejercicio

Dibujo de un ejemplo de triángulo y sus tres alturas.

Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a=3 cm, b=4 cm y c=4.5 cm.

¿Cuales son sus alturas ha, hb y hc? Primero calcularemos el semiperímetro (s).

Cálculo del semiperímetro de un triángulo.

Obtenemos que el semiperímetro es s=5,75 cm. Ahora podemos calcular las tres alturas

Cálculo de las tres alturas del triángulo.

Y las tres alturas serán ha=3,92 cm, hb=2,94 cm y hc=2,61 cm.

Otros elementos notables de un triángulo

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34 Respuestas

  1. cristian reyes dice:

    no creo que la formula final para la altura de el triangulo equilatero este bien e realizado el ejercicio poniendo valor a a y me da un valor coherente por pitagoras pero no es el mismo valor que da en h=raizde3a/2 pero cuando elevo al cuadrado la a el valor es congruente y es igual al de pitagoras si estoy mal por favor corriganme

    • Respuestas dice:

      La altura de un triángulo equilátero es:
      h = (a*√3)/2
      No entiendo qué es lo que quieres decir. El ejercicio no es de un equilátero.
      Una longitud al cuadrado no te da una altura.

  2. pedro barra dice:

    como compruebo analíticamente que las alturas de los triángulos son concurrentes .por favor . estoy muy confundido

  3. Valeria dice:

    Me encanto mucho ademas si me ayudo demasiado

  4. carol dice:

    Gracias por ayudarme si es que usted me ayudo

  5. VIANEY dice:

    AYUDA, DE DONDE SALE EL 5.88 ?

  6. carla mendez dice:

    no aparece el triangulo rectangulo bien escrito pero gracias

  7. Pablo Bengochea dice:

    Crystal el semiperimetro es lo que suma todo y te hace saber los lados hb hc ha por lo cual son tres lados. Ya que si hubiera otro seria una figura primalitica

    De nada Crystal

  8. Pablo Bengochea dice:

    Muchas gracias mañana tengo examen sobre esto y tengo que estudiarlo para mañana ya que no lo vamos a trabajar soy de Cuarto A.
    Ponen cosas bastantes dificiles asi quee…………..

  9. Pablo Bengochea dice:

    Muchisimas gracias mañana tengo examen sobre esto y me mandaron estudiarlo para mañana el examen

  10. Crystal dice:

    Alguien me lo puede explicar x FA

  11. Trolfce dice:

    Lol chido no

  12. tu mama dice:

    loolololol

  13. jhony dice:

    determine la altura de un triángulo equilátero de lado a alguien me explica porfavor?

  14. jhony dice:

    y si tengo un triangulo equilatero necesito hallar la altura y tiene un angulo alfa como ago? porfavor esq no entiendo bien esa pregunta

    • Pablo Bengochea dice:

      Jhony eso puede ser posible pero para eso esta el semiperimetro ya que lo que tu dices es una figura Primalitica que esas son las que tienen un angulo alfa y no se puede hallar la altura.Pero puedes ser que te estes equivocando, ya que hace un dia lo eh echo.Pues lo eh echo muy bien,y lo eh echo como tu dices asi que hay que fijarnos

    • jhony dice:

      y si tengo un triangulo equilatero necesito hallar la altura y tiene un angulo alfa como ago? porfavor esq no entiendo bien esa pregunta de lado a perdón

  15. jjaajja salu2 dice:

    Holla k ase

  16. élida dice:

    gracias, si me ayudó

  17. lolololololol dice:

    de verdad es bueno

  18. Gabriela Michelle Martinez Córdova dice:

    me encanto esta pagina me ayudo mucho la verdad

  19. Gab956 dice:

    Me ayudo A Mi Examen :D, Gracias, Es Muy Bueno Para Matemáticas

  20. belen dice:

    la verdad no me entran las matematicas esta super dificil esto de sacar alturas

  21. Fernanda dice:

    m tarea estubo bien entonces se ignifica que esta pagina dice verdad

  22. geraldyne dice:

    No me sale la altura de triángulo escaleno

  23. NORMA MARTINEZ dice:

    ES ALGO INTERESANTE PERO LA VERDAD EN EL MOMENTO DE ESTAR ESCRIVIENDO MI COMENTARIO ME DICE PORFAVORCOMFIRMA QUE ERES UMANO ANTES DE COMENTAR QUE LES PASA

  24. camila dice:

    interesane;D

  25. Jesús dice:

    TrianCal.esy.es Es una calculadora de triángulos online para poder comprobar si habéis realizado los cálculos correctctamente e incluso poder calcular triángulos con datos poco corrientes como:
    -3 alturas.
    -2 alturas y el perímetro.
    -1 lado, 1 altura y 1 ángulo
    -2 ángulos y la altura
    -área, altura y perímetro
    y cualquier combinación de tres valores

  26. ezequiel dice:

    que queres que pongp cono

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