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Elementos de un triángulo

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Los elementos de un triángulo más importantes son:

Dibujo de los elementos de un triángulo

  • Vértices: puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 3 vértices (A, B y C).
  • Lados: segmentos que unen dos vértices consecutivos del triángulo y que delimitan su perímetro. Tiene 3 lados (a, b y c).
  • Ángulos interiores: ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 3 ángulos interiores (α, β y γ). Los ángulos interiores del triángulo suman 180º (¿por qué suman 180º?):
    Fórmula de la suma de los ángulos del triángulo
  • Ángulos exteriores: ángulo de un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 3 ángulos exteriores (θ). Los ángulos exteriores siempre suman 360º.
  • Altura de un triángulo: La altura de un triángulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto. Un triángulo tiene tres alturas, según el vértice de referencia que se escoja. Las tres alturas confluyen en un punto llamado ortocentro.

Elementos de un triángulo rectángulo

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En un triángulo rectángulo se pueden diferenciar diferentes elementos, referentes a sus lados y ángulos.

Dibujo de los elementos de un triángulo rectángulo

  • Catetos: lados del triángulo que forman el ángulo recto.
  • Hipotenusa: lado mayor del triángulo opuesto al ángulo recto.
  • Ángulo recto: ángulo de 90º que forman los dos catetos.
  • Ángulos agudos: los otros dos ángulos del triángulo (α y β) menores de 90º. La suma de ambos es de 90º.

Elementos notables de un triángulo

Los triángulos tienen unos segmentos (también llamados cevianas) y puntos que determinan una serie de elementos importantes.

Altura de un triángulo

Dibujo de las tres alturas de un triángulo y del ortocentro.

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.

Hay tres alturas (ha, hb y hc), según a que lado está asociada dicha altura. A partir de la fórmula de Herón, conociendo los tres lados (a, b y c), se pueden hallar las tres alturas:

Fórmula de las tres alturas del triángulo.

Dibujo de las tres alturas de un triángulo y del ortocentro.

Las tres alturas del triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro (H).

Las alturas podrían estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. El ortocentro también será exterior en los triángulos obtusángulos. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.

Mediana de un triángulo

Dibujo de las tres medianas de un triángulo y del baricentro.

La mediana de un triángulo es el segmento que une uno de sus vértices con el centro del lado opuesto.

Hay tres medianas (ma, mb y mc), según de que vértice parta ésta. La longitud de las medianas se calcula a partir del teorema de la mediana:

Fórmula de las tres medianas del triángulo.

Las tres medianas de un triángulo confluyen en un punto llamado baricentro o centroide (G).

En cualquier mediana, la distancia entre el baricentro (o centroide) G y el centro de su lado correspondiente es 1/3 de la longitud de dicha mediana.

En física, el baricentro (G) sería el centro de gravedad del triángulo.

Mediatriz de un triángulo

Dibujo de las tres mediatrices de un triángulo y del circuncentro.

La mediatriz de un triángulo es la mediatriz asociada a uno de sus lados, es decir, la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el punto medio (o centro) de éste.

La mediatriz de un segmento es una recta, lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de dicho segmento.

Dibujo de las tres mediatrices de un triángulo, el circuncentro y la circunferencia circunscrita.

Existen tres mediatrices en un triángulo (Ma, Mb y Mc), según el lado del triángulo al que se refieren (a, b o c).

Las tres mediatrices de un triángulo confluyen en un punto llamado circuncentro.

El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo, ya que equidista de sus tres vértices.

El radio (R) de la circunferencia circunscrita se halla mediante la fórmula:

Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita en el triángulo.

Dibujo de las circunferencias circunscrita e inscrita para la relación entre sus radios.

La relación entre el radio R del circuncentro O (mediante las mediatrices) y el radio r del incentro I (mediante las bisectrices) es:

Fórmula de la relación entre los radios de la circunferencia circunscrita e inscrita en un triángulo.

Bisectriz de un triángulo

Dibujo de las tres bisectrices de un triángulo y del incentro.

La bisectriz de un triángulo es el segmento que, dividiendo uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

Existen tres bisectrices (Ba, Bb y Bc), según el ángulo en el que empieza. La longitud de las bisectrices se calculan con la fórmula:

Fórmula de las tres bisectrices del triángulo.

Las tres bisectrices de un triángulo confluyen en un punto llamado incentro (I). Éste siempre es un punto interior de cualquier triángulo.

Dibujo de las tres bisectrices de un triángulo, el incentro y la circunferencia inscrita.

El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:

Fórmula del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.

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3 Respuestas

  1. auribell velencia dice:

    me gusta mucho esta clase es muy buena y tiene muy buen consepto

  2. nathalia dice:

    no me sirve

    • Respuestas dice:

      Solución trigonométrica.
      La altura divide el isósceles en dos triángulos rectángulos iguales de catetos 8 mm y el otro, la mitad de la base b/2. Su hipotenusa, uno de los lados iguales a. El ángulo superior de esos triángulos rectángulos es 40° / 2 = 20°.
      Aplicar relaciones trigonométricas a la hipotenusa y al cateto inferior.
      cos 20° = 8/a
      a = 8,51 mm
      tan 20° = (b/2)/8
      b = 5,82 mm
      Perímetro = 8,51 * 2 + 5,82

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