Área de un triángulo

Área de un triángulo

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El área de un triángulo se calcula por diferentes procedimientos según el tipo de triángulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triángulo.

La fórmula general para calcular el área de cualquier triángulo es:

Fórmula general del área de un triángulo.

Área del triángulo equilátero

Dibujo del triángulo equilátero

El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales. Su área, como en todo triángulo, será un medio de la base (a) por su altura. En el triángulo equilátero viene definida por la siguiente fórmula:

Fórmula del área de un triángulo equilátero

Área del triángulo isósceles

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su área

El área de un triángulo isósceles, como en todo triángulo, será un medio de la base (b) por su altura. En el triángulo isósceles se calcula mediante la siguiente fórmula:

Fórmula del área de un triángulo isósceles

Área del triángulo escaleno

Dibujo del triángulo escaleno con los lados conocidos.

El área del triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón si se conocen todos sus lados (a, b y c).

Fórmula del área de un triángulo escaleno

También se podría calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado.

Dibujo del triángulo escaleno con un lado y la altura conocidos.

Fórmula del área de un triángulo escaleno conociendo un lado y la altura asocidada.

Área del triángulo rectángulo

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Dibujo del triángulo rectángulo.

El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º), por lo que su altura coincide con uno de sus lados (a). El área es la mitad del producto de los dos lados que forman el ángulo recto (catetos a y b).

Fórmula del área de un triángulo rectángulo.

Área del triángulo de base y altura conocidas

El área de cualquier triángulo puede calcularse conociendo un lado y la altura asociada a dicho lado. Éste lado ejerce como base.

Su área será un medio del producto de la base (b) por la altura (h).

Dibujo del triángulo con base y altura conocidas.

Fórmula del área de un triángulo con base y altura conocidas.

Descárgate esta calculadora para obtener los resultados de las fórmulas de esta página. Elige los datos iniciales e introdúcelos en el recuadro superior izquierdo. Para resultados, pulsa INTRO.

Triangulo-total.rar         o bien   Triangulo-total.exe      

Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

Fórmula de Herón

La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c).

Dibujo de un triángulo cualquiera.

Fórmula de Herón. Fórmula del área de un triángulo con los tres lados conocidos.

Área del triángulo con razones trigonométricas

Dibujo del triángulo con sus lados y ángulos

Cualquier triángulo puede resolverse (resolución de triángulos) si se conocen tres de sus elementos, donde, como mínimo, uno de ellos debe de ser un lado.

En particular, conociendo dos de sus lados y el ángulo que forman se puede calcular el área de un triángulo.

Por lo tanto, se pueden aplicar tres fórmulas para el cálculo del área dependiendo de los dos lados que se conozcan (a y b, a y c o b y c).

Fórmula del área de un triángulo por razones trigonométricas

Triángulo inscrito en una circunferencia

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Disponemos de un procedimiento más para calcular el área de un triángulo, si conocemos sus tres lados y el radio R de la circunferencia circunscrita (sin necesidad de recurrir a la fórmula de Herón).

Dibujo de un triángulo inscrito en una circunferencia para calcular su área

Fórmula del área de un triángulo inscrito en una circunferencia.

DEMOSTRACIÓN:

Se traza un diámetro desde B (de longitud 2R) que corta a la circunferencia en un punto B’.

Desde el lado c, por el arco capaz, se ven con el mismo ángulo todos los puntos de la circunferencia. Luego los ángulos C y B’ son iguales. Y serán iguales sen C y sen B’.

Dibujo en la demostración del triángulo inscrito en una circunferencia

Por el segundo teorema de Tales, el ángulo B’AB es recto, luego sen B’AB = 1.

Se aplica el teorema del seno, al triángulo ABB’ y se despeja el sen C:

Demostración 1 del área de un triángulo inscrito en una circunferencia.

El área del triángulo ABC será:

Demostración 2 del área de un triángulo inscrito en una circunferencia.

Triángulo circunscrito en una circunferencia

Igualmente, sin la fórmula de Herón, disponemos de un procedimiento más para calcular el área de un triángulo, pero ahora a partir de la circunferencia de radio r inscrita en el triángulo.

Dibujo de un triángulo circunscrito en una circunferencia para calcular su área.

Fórmula del área de un triángulo circunscrito en una circunferencia

Área conociendo las coordenadas de sus tres vértices

Con las coordenadas cartesianas de los tres vértices, se puede hallar el área de un triángulo mediante determinantes.

Dibujo de las coordenadas del vértice de un triángulo

Empleando la fórmula llamada Determinante de Gauss:

Fórmula del área de un triángulo circunscrito en una circunferencia

Los vértices se colocan siguiendo el sentido de las manecillas de un reloj. El resultado es en valor absoluto.

Tabla de fórmulas del área de un triángulo

Puedes ver la tabla de fórmulas del área del triangulo. Dependiendo del tipo de triángulo puedes necesitar un elemento (triángulo equilátero), dos (base y altura) o tres(siempre que no sean los tres ángulos.

Tabla de las fórmulas del área del triángulo según las razones que conocemos

Ejercicios resueltos

Ejercicio del área de un triángulo equilátero

Ejemplo de triángulo equilátero para el cálculo de su área.

Sea un triángulo equilátero con todos los lados iguales de longitud a=5 cm.

¿Cuál es su área?

Aplicando la fórmula anterior:

Ejemplo del área de un triángulo equilátero.

Como resultado, tenemos que su área es de 10,83 cm2.

Ejercicio del área de un triángulo isósceles

Ejemplo del triángulo isósceles para el cálculo de su área

Se requiere calcular el área de un triángulo isósceles. Se conocen sus lados: hay dos lados iguales de a=3 cm y un lado diferente de b=2 cm.

¿Cuál es su área?

Se calcula ésta mediante la fórmula anterior, multiplicando la base por la altura:

Ejemplo de cálculo del área de un triángulo isósceles

El área de este triángulo isósceles es de 2,83 cm2.

Ejercicio del área de un triángulo escaleno

Ejemplo de triángulo escaleno con los lados conocidos.

Sea un triángulo escaleno de lados conocidos, siendo éstos a=2 cm, b=4 cm y c=3 cm.

¿Cuál es su área? Ésta se calcula mediante la fórmula de herón. Antes de todo calcularemos el semiperímetro s:

Cálculo del semiperímetro de un triángulo escaleno para obtener su área.

Sabiendo el semiperímetro, aplicamos la fórmula de herón:

Cálculo del área de un triángulo escaleno.

Y se obtiene que su área es 2,9 cm2.

Ejercicio del área de un triángulo rectángulo

Ejemplo de triángulo rectángulo para el cálculo de su área.

Sea un triángulo rectángulo con los lados que forman el ángulo recto (a y b) conocidos, siendo a=3 cm y b=4 cm.

¿Cuál es su área?

Aplicamos la fórmula anterior:

Ejemplo del área de un triángulo rectangulo.

Y se obtiene que su área es de 6 cm2.

Ejercicio

De un triángulo conocemos sus tres lados que miden 6 cm, 8 cm y 10 cm.

Dibujo de un triángulo para el cálculo de sus ángulos y su área

Calcula sus ángulos. Determina su área sin emplear la fórmula de Herón.

Para saber cada ángulo emplearemos el teorema del coseno.

Cálculo del área y de los ángulos de un ejemplo de triángulo

Sustituimos valores:

Cálculo 2 del área y de los ángulos de un ejemplo de triángulo

Repetimos el cálculo en los otros dos ángulos:

Cálculo 3 del área y de los ángulos de un ejemplo de triángulo

Y:

Cálculo 4 del área y de los ángulos de un ejemplo de triángulo

Comprobación:

Cálculo 5 del área y de los ángulos de un ejemplo de triángulo

Como el ángulo B es recto, los lados a y c son los catetos. Podremos aplicar la fórmula general del área de un triángulo:

Cálculo 6 del área y de los ángulos de un ejemplo de triángulo

Ejercicio área por determinantes

Se conocen las coordenadas de los tres vértices. Hallar el área:

Dibujo de un triángulo para el cálculo de su área por determinantes

Solución:

Se aplica la fórmula desarrollando el determinante por la regla de Sarrus.

Solución del ejercicio del cálculo del área por determinantes

AUTOR: Bernat Requena Serra


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55 comentarios en “Área de un triángulo”

    1. Fíjate en la figura de esta página. Pero consulta la página Arco capaz de UNIVERSO FÓRMULAS. Según esto, desde el lado c de la figura (que sería el segmento AB, pues estos son los ángulos opuestos a los lados a y b) se verían con el mismo ángulo todos los puntos de cualquiera de los dos arcos en que divide a la circunferencia.
      Por eso, si desde el ángulo B trazas un diámetro, de longitud 2R. Éste cortará a la circunferencia en su otro extremo en un punto al que llamaremos B’. Por el arco capaz, el ángulo BCA del triángulo y el nuevo ángulo BB’A serán iguales. Y serán iguales sen BCA y sen BB’A.
      Pero, por el segundo teorema de Tales (UNIVERSO FÓRMULAS), El ángulo B’AB es recto, luego sen B’AB = 1.
      Ahora, el Teorema del seno (UNIVERSO FÓRMULAS):
      2R / sen B’AB = c / sen BB’A
      sen BB’A = c * 1 / 2R = c / 2R
      Área de Δ ABC = b * h / 2 = (b * a * sen BCA) / 2 = (b * a / 2) * sen BB’A = (a * b / 2) * (c / 2R) = a * b * c / 4R
      Dibújatelo y lo entenderás.

    1. La fórmula se debe a Herón ( s. III a. de C.).
      Tiene varias demostraciones.
      Mira esto en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Parte del teorema del coseno
      Busca en identidades trigonométricas básicas la identidad fundamental de la trigonometría, aplicada sobre el mismo ángulo que el del teorema anterior (p.e. C)
      Sustituye y despeja sen C.
      Aplica la fórmula general del área de un triángulo:
      Á = b * h / 2
      Como ha = b * sen C
      (Altura sobre el lado a, que aquí sería la base).
      Sustituye, desarrolla l polinomio bajo el radical y tienes la demostración.

  1. Muy buenas las orientaciones, va una pregunta: la fórmula general para cualquier tipo de triángulo es A= b x h / 2 conociendo su base y altura?

    1. Como figura en esta misma página. Fórmula vàlida para toda clase de triángulos, aunque, según el tipo y datos conocidos, hay muchas otras fórmulas que podrás encontrar en UNIVERSO FÓRMULAS.

    1. Supongo que querrás calcular el área. El único triángulo que tiene apotema es el equilátero, por polígono regular. Con el equilátero, teniendo el lado, o igual, teniendo la apotema,puedes calcular el área con las fórmulas de esta web.

  2. Tumaco Veinticinco

    En el ejercicio; ¿Cómo se encuentran los números para calcular el coseno? Es decir: Durante el cálculo del Coseno de A ¿De donde salió
    Cos A= 128/160 =0.8? ¿De donde salen 128 y 160? Gracias

    1. jose elias mrrufo gonzales
      parece o eres muy inteligente porque saber a=¼√(2A²B²+2A²C²+2B²C²-A⁴-B⁴-C⁴)
      esmuy facil para mi y no se tanto de mate entonces es facil hallar a=¼√(2A²B²+2A²C²+2B²C²-A⁴-B⁴-C⁴)

    2. Es correcto el polinomio que desarrollas, Yuberlis. Es sustituir en la fórmula de Herón la expresión del semiperímetro.
      s = (a + b + c) / 2.

    1. En un triangulo de lados ABC de ángulos acutángulos(ángulos menores de 90) la formula es la misma que un triangulo escaleno depende los ángulos y sus respectivos lados solo aplica la forma de hallar áreas a través de razones trigonométricas.

  3. ayuda de una tarea que dice el area del siguiente triangulo mide 6 unidades cuadradas. escribe como se encuentra su area y determina cuanto mide su base, la altura de dicho es de 3

  4. Ayudenme xfis con esta tarea son calcular areas de un triangulo 6/4cm de altura 2cm de base, un rectangulo 11/6 cmde altura y base 3cm y otro rectangulo altura 3/2 cm y base 4cm

  5. Luis Gustavo Huebla

    ayudenme para sacar una area de un triangulo cuyas medidas son base 21 metros un lado tiene 32.2 metros y otro 39metros disculpe muchas gracias

    1. Universo Formulas

      Hola Luis,
      El semiperímetro de este triángulo será (21+32.2+39)/2=46,1m. A partir de la fórmula de Herón calcularemos su área: Área = Raíz(46.1*25.1*13.9*7.1) = Raíz(114195.2) = 337.9m^2.
      Por lo tanto su área es 337.9 metros cuadrados.
      Un saludo.

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