Teorema del seno

Teorema del seno

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El teorema del seno (o teorema de los senos) relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo cualquiera. Éste enuncia que:

Cada lado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

Fórmula del teorema del seno

Dibujo del triángulo circunscrito en una circunferencia

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.

Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.

Fórmula del teorema del seno siendo las razones proporcionales al diámetro de la circunferencia en la que se circunscribe el triángulo.

Aplicaciones del teorema del seno

  • Sabiendo dos ángulos y un lado opuesto a cualquiera de ellos, calcular los otros dos lados y el otro ángulo.
  • Sabiendo dos lados y un ángulo opuesto a uno de los dos lados, calcular el otro lado y los otros dos ángulos.
  • Calcular el área de un triángulo.

Ejercicio

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Dibujo de un ejemplo de triángulo para calcular sus lados y ángulos desconocidos por el teorema del seno.

Sea un triángulo con un lado conocido (b=8 cm) y dos ángulos conocidos (B=85º y C=60º).

Calcularemos los lados (a y c) y ángulos (A) desconocidos gracias al teorema del seno.

  1. Los ángulos suman 180º, por lo que A+B+C=180º. Sabiendo B y C obtenemos A.
    Cálculo del ángulo del triángulo A

    Se obtiene que A=35º.

  2. Por la fórmula del teorema del seno tenemos que:
    Fórmula del teorema del seno en el ejemplo

    Despejando podemos obtener los dos lados restantes (a y c).

    Cálculo del lado a del triángulo mediante el teorema del seno
    Cálculo del lado c del triángulo mediante el teorema del seno

    Por lo que el lado a=4,6 cm y c=7 cm.

  3. Se conoce el lado b y el ángulo opuesto B. Se calcula el radio (R) de la circunferencia en la que está circunscrita el triángulo.
    Cálculo del radio de la circunferencia en la que está circunscrita el triángulo

    El radio de la circunferencia es R=4,015 cm. Todas las razones entre los lados y el seno del ángulo opuesto serán proporcionales a 2R=8,03 cm.

Conociendo dos ángulos y un lado del triángulo hemos calculado los demás lados y ángulos, a parte del radio y diámetro de la circunferencia en la que está circunscrito el triángulo. Lo representamos todo en el siguiente dibujo:

Dibujo del ejemplo de triángulo circunscrito en una circunferencia

AUTOR: Bernat Requena Serra


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25 comentarios en “Teorema del seno”

  1. Bernat, muchas gracias por tomarte el tiempo de hacer esta explicación tan sencilla y consisa, muy útil cuando hace mucho que dejaste de practicar estos ejercicios y regresas a refrescar la memoria, para estudiantes lo encuentro muy útil una vez que aprendieron las bases de la trigonometría y para aquellos que no entienden, deberían de regresar a estudiar el circulo unitario, partiendo de esa base, la trigonometría se vuelve muy digerible.

  2. Carolina Rivero

    Gracias!!! Después de mucho tiempo que no estudiaba y habiendo aprobado elementos de matemáticas matemáticas 1 y 2 en la universidad y luego de 8 años sin agarrar un libro gracias a tu explicación pude ayudar a resolver unos ejercicios a mi sobrina!! Aprovechare la cuarentena para refrescar mis conocimientos mil gracias!!

    1. Según UNIVERSO FÓRMULAS:
      «El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos»
      El teorema del coseno te permite:
      «Sabiendo dos lados y el ángulo que forman, calcular el otro lado«. (UNIVERSO FÓRMULAS)
      Si sabes los tres lados, con la fórmula de Herón hallas el área y sabiendo el área, con un lado hallas la altura sobre el con la fórmula general del área del triángulo.

    1. Consulta Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS. Tienes dos casos diferentes de resolución a partir de un ángulo y dos lados.

    1. Como se ve en la imagen, en minúscula son lados y mayúscula, ángulos.
      Aplica las fórmulas y sigue los ejercicios.

  3. ¡Hermano, tienes talento, muy buena información, y sobre todo bien explicada!.
    Sigue haciendo lo que haces, por que eres exelente.
    Saludos.

    1. Si tienes dos lados y el ángulo que forman, ves al teorema del coseno en UNIVERSO FÓRMULAS.
      En Área de un triángulo de UF tienes una tabla con las fórmulas del área a aplicar en cada caso.
      Si te dan dos lados y un ángulo diferente al ángulo que forman, el proceso es un poco más largo, pero sencillo.
      Calcular mediante razones trigonométricas (apoyándote en el ángulo dado) la altura sobre el lado desconocido.
      Por ejemplo: hc = a * sen B
      Hallar el lado desconocido mediante el teorema de Pitágoras aplicado a los dos triángulos rectángulos que forma el lado desconocido con su altura que acabas de hallar.
      El área, mitad del lado desconocido hallado por su altura hallada.
      Los dos ángulos restantes, por el teorema del seno en UF

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