Triángulo isósceles

Triángulo isósceles

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Dibujo del triángulo isósceles.

El triángulo isósceles es un polígono de tres lados, siendo dos iguales y el otro desigual.

Por lo tanto, los ángulos también serán dos iguales (α) y el otro diferente (β), siendo éste el ángulo que forman los dos lados iguales (a).

Altura del triángulo isósceles

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su altura

La altura (h) del triángulo isósceles se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, b/2 y h forman un triángulo rectángulo. Los lados b/2 y h son los catetos y a la hipotenusa.

Por el teorema de Pitágoras:

Cálculo de la altura del triángulo isósceles

Y se obtiene que la altura h es:

Fórmula de la altura del triángulo isósceles.

En un triángulo isósceles, la altura correspondiente a la base (b) es también la bisectriz, mediatriz y mediana.

Área del triángulo isósceles

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El área de un triángulo isósceles se calcula a partir de la base b (el lado no repetido) y la altura (h) del triángulo correspondiente a la base. El área es el producto de la base y la altura dividido por dos, siendo su fórmula es:

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su área

Fórmula del área de un triángulo isósceles

Perímetro de un triángulo isósceles

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su perímetro

El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como suma de los tres lados del triángulo. Al tener dos lados iguales, el perímetro es dos veces el lado repetido (a) más el lado desigual (b).

Fórmula del perímetro de un triángulo isósceles

Si se conocen el lado que se repite (a) y el ángulo que forman los dos lados iguales, para hallar el perímetro se averiguará el otro lado (b) mediante el teorema del coseno.

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su perímetro por el teorema del coseno

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Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

Ejercicios resueltos

Ejercicio del área del triángulo isósceles

Ejemplo del triángulo isósceles para el cálculo de su área

Se requiere calcular el área de un triángulo isósceles. Se conocen sus lados: hay dos lados iguales de a=3 cm y un lado diferente de b=2 cm.

¿Cuál es su área?

Se calcula ésta mediante la fórmula anterior, multiplicando la base por la altura y dividiendo por dos:

Ejemplo de cálculo del área de un triángulo isósceles

El área de este triángulo isósceles es de 2,83 cm2.

Ejercicio del perímetro del triángulo isósceles

Ejemplo del triángulo isósceles para el cálculo de su perímetro

Sea un triángulo isósceles con dos lados iguales, a=3 cm y un lado diferente de b=2 cm.

¿Cuál es su perímetro?

Para calcular su perímetro sumamos el lado repetido multiplicado por dos más el lado desigual, es decir:

Ejemplo de cálculo del perímetro de un triángulo isósceles

Se obtiene que el perímetro del triángulo isósceles es de 8 cm.

Ejercicio de la altura de un triángulo isósceles

Dibujo de un triángulo isósceles en el ejemplo 1 de la altura de un triágunlo isósceles

Hallar los lados y el perímetro de un triángulo isósceles cuya altura referida al lado desigual mide h = 6 cm y el ángulo opuesto, también desigual, 40°.

Se halla mediante relaciones trigonométricas a partir de uno de los triángulos rectángulos en que divide al triángulo isósceles la altura h.

Dibujo de la división de un triángulo isósceles en el ejemplo 1 de la altura de un triágunlo isósceles

El cateto opuesto al ángulo β/2, que es el segmento b/2, lo hallamos mediante la tangente:

Cálculo de la tangente en el ejemplo 1 de la altura del triángulo isósceles

El lado b mide 4,36 cm.

La hipotenusa del triángulo rectángulo formado, es decir, el lado a lo hallamos mediante el coseno:

Cálculo de la hipotenusa en el ejemplo 1 de la altura del triángulo isósceles

El lado a mide 6,38 cm.

Finalmente, el perímetro del triángulo medirá:

Cálculo del perimetro en el ejemplo 1 de la altura del triángulo isósceles

Se obtiene que el perímetro de este triángulo isósceles medirá 17,12 cm.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2014


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139 Respuestas

  1. Geraldine dice:

    Pudiste resolver ? Tengo la misma consigna.

  2. Geraldine dice:

    Como puedo dar con la medida de los lados iguales de un triangulo isoceles cuyo perímetro es de 40cm
    Su area 20cm y altura (respecto del tercer lado) mide 3 cm ?

  3. Luzda dice:

    Los lados congruentes de un triángulo isósceles forman ángulos basales de 70° con la base que mide 10 cm. ¿Cuál es el perímetro de dicho triángulo?

    • Respuestas dice:

      El ángulo B opuesto a la base b es
      B = 180 – 2*70 = 40°
      Por el teorema del seno (en UNIVERSO FÓRMULAS)
      a / sen A = b / sen B
      lado a = b * sen A / sen B = 10 * sen 70° / sen 40° = 14,62 cm
      Perímetro = 2a + b = 2 * 14,62 + 10

  4. HAMINTON dice:

    Esta muy mal escrita la ecuacion de altura en el triangulo isosceles, pues en lugar de menos el signo dentro de la raiz, deberia ser positivo, esto porque desde la ecuacion esta mal interpretada

    • Respuestas dice:

      Haminton, realiza con atención cada paso. La ecuación es la correcta.
      Pero está bien tu interés.

  5. Iker Efraím Beltran Saldaña dice:

    Muy mala esta página no me sale la información que ocupo

  6. Cinthia guerrero dice:

    La altura relativa a la base es media proporcional a la base?

    • Respuestas dice:

      La altura relativa a la base de un triángulo isósceles la divide por la mitad.
      Pero repasa el Teorema de la altura en UNIVERSO FÓRMULAS. Quizás es lo que haya ocasionado la confusión.

  7. Daniel dice:

    Hola cómo despejó los lados de un triángulo ? Si miden 3.5 ?

  8. brisa dice:

    hola queria sabee yo tengo q saber cual es el area del triangulo isosceles y la base mide 18 cm y el angulo opuesto mide 34 cm tengo q hacer?

  9. JOM dice:

    hallar la medida de la base y la altura de un triangulo sabiendo que su area mide 180 cm2 y su altura mide el doble de su base

    • Respuestas dice:

      Fórmula general del área de un triángulo.
      Área = base * altura / 2
      180 = x * 2x = 2x²
      Despeja x (la base)

  10. Javier dice:

    COMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN ISOSCELES SI SU AREA VALE 55,16 Y SUS ANGULOS IGUALES MIDEN 65 GRADOS

    • Respuestas dice:

      Ves a la página Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS. Última fórmula del primer apartado, que es el área (conocida,55,16) en función de un lado (a) que tomamos como la base y sabemos los dos ángulos adyacentes, B y C (de 65°).
      Despeja a que te dará 10,13.
      Aplica la fórmula general del área del triángulo en función de base y altura. La altura es 10,86.
      Espero que te sea útil

  11. Andrea dice:

    Como resuelvo un ejercicio si no se las medidas solo me muestra esto Ab=bc=a yla base es ac

    • Respuestas dice:

      Detalla mejor el ejercicio. No sé si quieres decir que los lados AB = BC = AC, siendo la base AC.
      ¿Te piden el área,los ángulos,el perímetro, la altura?

  12. Manuel dice:

    Como puedo calcular los lados iguales teniendo perimetro (40cm) area (20cm) y altura (3cm)?

    • Respuestas dice:

      Debe haber algún error. Si el área es de 20 cm², por la fórmula general de un triángulo:
      Área = b * h / 2
      20 = 3b/2
      b = 40/3 = 13,33 cm (tiene la base)
      El perímetro de un triángulo isósceles es;
      P = 2a + b
      Como te dicen que el perímetro es de 40 cm
      40 = 2 * a + 13,33
      a = (40 – 13,33) /2 = 26,66 / 2 = 13,33 cm
      Sería un isósceles equilátero y la altura no puede ser de 3 cm.

  13. ornela cavagni dice:

    Sabiendo que el perímetro del triángulo isósceles es 60cm. Averigua el valor de la incógnita
    .
    x= X + 3cm

  14. Mateo dice:

    a) Pueden dibujarse varios triángulos diferentes si se conoce la medida de uno de sus lados.

    b) Si se conoce la medida de dos lados de un triángulo y la medida del ángulo que forman, puede construirse un único triángulo.

    c) Si se conocen las medidas de dos lados diferentes de un triángulo isósceles, pueden construirse dos triángulos diferentes.

    d) Conociendo la medida de los tres ángulos de un triángulo, puede construirse un único triángulo.

    e) Si se conocen solamente las medidas de dos ángulos de un triángulo, pueden construirse muchos triángulos diferentes.

    f) Si se conocen las medidas de dos ángulos de un triángulo y la longitud del lado en que están apoyados, puede construirse un único triángulo

    • Respuestas dice:

      a) Sí
      b) Sí. Ves a Resolución de triángulos de UF.
      c) Ídem
      d) No. Infinitos semejantes.
      e) Sí
      f) Sí.

  15. Norma dice:

    Un triángulo tiene un lado de 5cm y la Altura de ese lado es de 2cm. Cuantos triángulos distintos se pueden construir?

  16. Andrea dice:

    como calculo la base de un triangulo isòsceles teniendo como referencia el angulo del vertice opuesto es de 48º y sus lados iguales miden 160m

    • Respuestas dice:

      Los ángulos iguales A = C se obtienen:
      48° + 2A = 180°
      A = (180 – 48) / 2 = 66°
      Por la Ley del seno (UNIVERSO FÓRMULAS):
      b / sen 48° = 160 / sen 66°
      Halla b.

  17. Damián dice:

    Si un ángulo isósceles , el lado que forma los ángulos iguales es de 30° ¿Que medida tiene los otros dos?

  18. Eysi dice:

    Cómo puedo resolver un trigulo isósceles si su lado desigual es de 12 cm y la media del ángulo opuesto es de 48°, como determino la medida de la altura?

    • Respuestas dice:

      tan 48° = (12/2) / h
      Despeja h
      En esta página tienes un ejercicio similar:
      (Ejercicio de la altura de un triángulo isósceles)

  19. Juan dice:

    Como sacó los lados de un triángulo isoceles sabiendo que el perímetro mide 24cm y que la medida del lado desigual son dos tercios de la medida de cada unos de los lados congruentes

  20. Juan dice:

    Como sacó los lados de un triángulo isóceles sabiendo que el perímetro mide 24cm y que la medida del lado desigual es dos tercios de la medida de cada unos de los lados congruentes

  21. Yayos Andaluz dice:

    Si tengo un triángulo ABC, con un punto E entre A y B, de modo que AD=DC=BC, como demuestro que AC>BC?
    Se que poseo 2 triángulos isósceles, pero como se que AC>BC?

    • Respuestas dice:

      No se entiende el planteamiento. Hay confusión entre E y D.
      Pero AB = AD + DB.
      Hay un triángulo isósceles ΔDBC con lados iguales DC y BC.
      Efectivamente ΔADC también es isósceles, con lados iguales AD y DC.
      Y AC > BC

    • priscila dice:

      hola, como puedo calcular los angulos de un triangulo isoceles sabiendo que el lado desigual mide 15 cm y la altura correspondiente mide 4 cm? ayuda

  22. Dani Chávez dice:

    Si tengo el lado desigual de un triángulo isosceles (12 cm), ¿como saco la medida de sus lados iguales, para que además de isosceles sea rectángulo?

    • Respuestas dice:

      Lado igual a
      b² = 2 * a²
      12² = 2 * a²
      Despeja a, haz el dibujo y verás el motivo
      O mira la página Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS. Apartado Resolución de los triángulos rectángulos punto 5.4

  23. Cindy Zuluaga dice:

    Como se resuelve el isosceles cuando solo se conoce el valor de un lado como 4.9 gracias

  24. LUIS dice:

    COMO CALCULO LAS DIMENSIONES DE UN TRIANGULO ISÓSCELES SI CONOZCO EL ÁREA QUE ES 800 Y EL PERÍMETRO 304.8

    • Respuestas dice:

      No hay ningún triángulo isósceles con esos datos.
      Cuando los tengas correctos, tendrás que plantear dos ecuaciones con dos incógnitas (una de segundo grado)
      La fórmula del área que tienes en esta página en función de los lados a y b.
      La fórmula del perímetro, que también la tienes aquí P = 2a + b
      Despeja b en la segunda, sustituye en la primera y resuelve (fórmula función cuadrática en UNIVERSO FÓRMULAS)

  25. Anna dice:

    Como cálculo los lados iguales de un triángulo isóceles sabiendo que la base mide 32 y el área es igual a 976

    • Respuestas dice:

      Con la base y el área obtienes la altura de un triángulo.
      A = (b * h) / 2
      976 = (32 * h) / 2
      h = 976 * 2 / 32 = 61
      Mediante Pitágoras, con media base 32/2 = 16 y la altura 61 sacas la hipotenusa, que es uno de los dos lados iguales. Te dará 63
      Tan α = 61 / 16 = 3,81
      arctan 3,81 = 75,3° = α
      Los ángulos iguales mas el superior suman 180°
      75,3 + 75,3 + β = 180°
      Despeja β, que es el dato que te falta.

  26. Dennis dice:

    el perimetro de un triangulo isosceles ed de 18cm
    si la medida de sus lados son enteros
    cuales serian los posibles medidas de los lados

    • Respuestas dice:

      Debes consultar el teorema “desigualdad triangular” en la página triángulo de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Dennis, tu mismo puedes hacer la lista de lados enteros posibles.
      Empieza por los lados iguales más largos:
      8-8-2
      y termina por los mas cortos:
      5-5-8
      Anímate!

  27. Cristian Caicedo dice:

    Cómo hallar la longitud de los lados de un triángulo isósceles si su perímetro es de 24cm

  28. jesús dice:

    cual es la medida de los ángulos iguales de un triangulo isósceles,si la medida de un tercer ángulo es de 30 grados

    • Respuestas dice:

      Consulta la página Triángulo de UNIVERSO FÓRMULAS, en concreto, el apartado ángulos interiores de un triángulo.
      2x + 30° = 180°
      x = (180 – 30) / 2 = 75°

  29. Bryan dice:

    Hola como calculo un triangulo que sus lados iguales son 120 y quiero econtrar la base pero no me da nada de algulos ni altura

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