Triángulo isósceles

Triángulo isósceles

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Dibujo del triángulo isósceles.

El triángulo isósceles es un polígono de tres lados, siendo dos iguales y el otro desigual.

Por lo tanto, los ángulos también serán dos iguales (α) y el otro diferente (β), siendo éste el ángulo que forman los dos lados iguales (a).

Altura del triángulo isósceles

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su altura

La altura (h) del triángulo isósceles se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, b/2 y h forman un triángulo rectángulo. Los lados b/2 y h son los catetos y a la hipotenusa.

Por el teorema de Pitágoras:

Cálculo de la altura del triángulo isósceles

Y se obtiene que la altura h es:

Fórmula de la altura del triángulo isósceles.

En un triángulo isósceles, la altura correspondiente a la base (b) es también la bisectriz, mediatriz y mediana.

Área del triángulo isósceles

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El área de un triángulo isósceles se calcula a partir de la base b (el lado no repetido) y la altura (h) del triángulo correspondiente a la base. El área es el producto de la base y la altura dividido por dos, siendo su fórmula es:

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su área

Fórmula del área de un triángulo isósceles

Perímetro de un triángulo isósceles

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su perímetro

El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como suma de los tres lados del triángulo. Al tener dos lados iguales, el perímetro es dos veces el lado repetido (a) más el lado desigual (b).

Fórmula del perímetro de un triángulo isósceles

Si se conocen el lado que se repite (a) y el ángulo que forman los dos lados iguales, para hallar el perímetro se averiguará el otro lado (b) mediante el teorema del coseno.

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su perímetro por el teorema del coseno

Descárgate esta calculadora para obtener los resultados de las fórmulas de esta página. Elige los datos iniciales e introdúcelos en el recuadro superior izquierdo. Para resultados, pulsa INTRO.

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Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

Ejercicios resueltos

Ejercicio del área del triángulo isósceles

Ejemplo del triángulo isósceles para el cálculo de su área

Se requiere calcular el área de un triángulo isósceles. Se conocen sus lados: hay dos lados iguales de a=3 cm y un lado diferente de b=2 cm.

¿Cuál es su área?

Se calcula ésta mediante la fórmula anterior, multiplicando la base por la altura y dividiendo por dos:

Ejemplo de cálculo del área de un triángulo isósceles

El área de este triángulo isósceles es de 2,83 cm2.

Ejercicio del perímetro del triángulo isósceles

Ejemplo del triángulo isósceles para el cálculo de su perímetro

Sea un triángulo isósceles con dos lados iguales, a=3 cm y un lado diferente de b=2 cm.

¿Cuál es su perímetro?

Para calcular su perímetro sumamos el lado repetido multiplicado por dos más el lado desigual, es decir:

Ejemplo de cálculo del perímetro de un triángulo isósceles

Se obtiene que el perímetro del triángulo isósceles es de 8 cm.

Ejercicio de la altura de un triángulo isósceles

Dibujo de un triángulo isósceles en el ejemplo 1 de la altura de un triágunlo isósceles

Hallar los lados y el perímetro de un triángulo isósceles cuya altura referida al lado desigual mide h = 6 cm y el ángulo opuesto, también desigual, 40°.

Se halla mediante relaciones trigonométricas a partir de uno de los triángulos rectángulos en que divide al triángulo isósceles la altura h.

Dibujo de la división de un triángulo isósceles en el ejemplo 1 de la altura de un triágunlo isósceles

El cateto opuesto al ángulo β/2, que es el segmento b/2, lo hallamos mediante la tangente:

Cálculo de la tangente en el ejemplo 1 de la altura del triángulo isósceles

El lado b mide 4,36 cm.

La hipotenusa del triángulo rectángulo formado, es decir, el lado a lo hallamos mediante el coseno:

Cálculo de la hipotenusa en el ejemplo 1 de la altura del triángulo isósceles

El lado a mide 6,38 cm.

Finalmente, el perímetro del triángulo medirá:

Cálculo del perimetro en el ejemplo 1 de la altura del triángulo isósceles

Se obtiene que el perímetro de este triángulo isósceles medirá 17,12 cm.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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165 comentarios en “Triángulo isósceles”

  1. Hugo Anibal Sequeira

    como saco el valor de los lados iguales de un triangulo isósceles sabiendo que que su perímetro mide 168 cm. y que uno de esos lados es igual a 3 veces la base.

    1. 168 = 2a +b
      a = 3b
      Sustituye el valor de a de la segunda ecuación en la primera.
      168 = 2(3b) + b
      b = 24
      a = 72

    1. 1,6,6
      3,5,5
      5,4,4
      7,3,3 NO, por la «desigualdad triangular» (ver el teorema en la pág. TRIÁNGULO de UNIVERSO FÓRMULAS)

  2. Hola podrían ayudarme a resolver un problema
    El perímetro de un triángulo isósceles es de 85 y la longitud de uno de sus lados es igual a 2/3 partes de la longitud de la base Caul es la longitud de cada uno de sus lados.

    1. La respuesta la tienes en la fórmula del perímetro de esta página y en el enunciado mismo del problema.
      85 = 2 * [(2/3)b] + b
      b = 36,43
      a = 24,29

  3. buenos dias quisieran que me ayudaran con esta pregunta.gracias

    Gustavo es un agricultor que tiene un terreno de forma triangular, con dos lados iguales.
    El perímetro de este terreno mide 38 m y el lado desigual mide 10 m ¿Cuánto miden los lados iguales?

    1. Ten en cuenta que uno de los datos es el perímetro.
      Ves al apartado Perímetro de un triángulo isósceles de esta página.
      Como te dan el lado desigual b, despeja en la fórmula a, que son los lados iguales o repetidos.
      a = (38 – 10) / 2 = 14 m

  4. Si la relación entre el alto y el ancho del
    pináculo de una iglesia es de 5,
    se pide calcular el valor de los ángulos del
    triángulo que se define al dibujar su fachada.

    1. b = h / 5
      tan α = h / (h / 10) = 10
      α arctan 10 = 84,28°
      2 * 84,28 + β = 180°
      β = 11,42°

    2. Luluis Yaxis fernando

      Un triángulo isósceles tiene de base 5 cm que es el lado distinto y su ángulo de elevación mide
      750. Hallar la medida de los lados iguales.

  5. Calcular los ángulos de la base de un triángulo isósceles y
    su altura, sabiendo que los lados iguales miden 6 cm y la
    longitud de la base es de 8 cm. necesito ayuda por fa

    1. En esta página tienes dos maneras de calcular la altura: por Pitágoras o trigonométricamente.
      4,47
      En la página Resolución de triángulos. También de UNIVERSO FÓRMULAS. Conociendo los tres lados. Teorema del coseno y tendrás los ángulos.
      48,18°

  6. La altura de un triángulo isósceles mide 7 cm y su base que es el lado desigual mide 3 cm. Calcula la altura que tendrá otro triángulo isósceles semejante al anterior y su base mide 6 cm”. Si Pedro hace uso del teorema de Thales el resultado debe de ser

  7. rodrigo casares

    Tengo duda sobre este ejercicio

    El área de un jardín tiene la forma de un triángulo isósceles con un ángulo ϴ en un vértice. Tania quiere colocar un esquinero en esta parte, pero el carpintero le pide que le indique cuál es la medida del ángulo. Tania sabe que el ángulo se puede calcular con la siguiente fórmula:

    A=l^2/2 sen⁡θ

    Si la longitud l = 7 metros, ¿Qué valor de ϴ tendrá el jardín en esa esquina si el área del jardín es de 15 metros cuadrados?

    1. 15 = 7²/2 sen θ
      θ = arc sen 30 / 49
      Mira la página Resolución de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS, en la parte 3 del triángulo isósceles.

  8. Me pueden ayudar por favor es urgente
    Demuestra que los puntos A(3,8); B (-11,3) y C(-8,2) son los vértices de un triángulo y el área representa gráficamente

    1. Construye gráficamente sobre un eje de coordenadas. Como los tres puntos no están alineados, es un triángulo.
      En cuanto al área, hay que recurrir a determinantes (se implementarán en breve en esta web).
      Con las coordenadas cartesianas de los tres vértices, se puede hallar el área de un triángulo mediante determinantes .
      El área es la mitad del valor absoluto del determinante de esta matriz cuadrada formada a partir de las coordenadas de los vértices.
      | | 3 8 1| |
      | | -11 3 1| |
      | | -8 2 1| |
      El valor del determinante es 29 y el área, la mitad. 14,5 u²

  9. estas mal xd, primero dices que b/2 y h son los catetos después dices que h es la hipotenusa entonces a que le hago caso? es en el momento que explicas como sacar la altura

    1. en todo momento, los lados iguales «a» son la hipotenusa de los dos triángulos rectángulos formados al dividir la altura h al triágulo isósceles. No hay contradicción. Míralo.

  10. Necesito ayuda con este problema

    Si se que en un triángulo isósceles los dos lados iguales son 1, sus ángulos 50°, 65° y 65°, ¿cómo hago para saber la base o la altura?

  11. Como puedo dar con la medida de los lados iguales de un triangulo isoceles cuyo perímetro es de 40cm
    Su area 20cm y altura (respecto del tercer lado) mide 3 cm ?

  12. Los lados congruentes de un triángulo isósceles forman ángulos basales de 70° con la base que mide 10 cm. ¿Cuál es el perímetro de dicho triángulo?

    1. El ángulo B opuesto a la base b es
      B = 180 – 2*70 = 40°
      Por el teorema del seno (en UNIVERSO FÓRMULAS)
      a / sen A = b / sen B
      lado a = b * sen A / sen B = 10 * sen 70° / sen 40° = 14,62 cm
      Perímetro = 2a + b = 2 * 14,62 + 10

  13. Esta muy mal escrita la ecuacion de altura en el triangulo isosceles, pues en lugar de menos el signo dentro de la raiz, deberia ser positivo, esto porque desde la ecuacion esta mal interpretada

    1. Haminton, realiza con atención cada paso. La ecuación es la correcta.
      Pero está bien tu interés.

    1. La altura relativa a la base de un triángulo isósceles la divide por la mitad.
      Pero repasa el Teorema de la altura en UNIVERSO FÓRMULAS. Quizás es lo que haya ocasionado la confusión.

  14. hola queria sabee yo tengo q saber cual es el area del triangulo isosceles y la base mide 18 cm y el angulo opuesto mide 34 cm tengo q hacer?

    1. Fórmula general del área de un triángulo.
      Área = base * altura / 2
      180 = x * 2x = 2x²
      Despeja x (la base)

    1. Ves a la página Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS. Última fórmula del primer apartado, que es el área (conocida,55,16) en función de un lado (a) que tomamos como la base y sabemos los dos ángulos adyacentes, B y C (de 65°).
      Despeja a que te dará 10,13.
      Aplica la fórmula general del área del triángulo en función de base y altura. La altura es 10,86.
      Espero que te sea útil

    1. Detalla mejor el ejercicio. No sé si quieres decir que los lados AB = BC = AC, siendo la base AC.
      ¿Te piden el área,los ángulos,el perímetro, la altura?

    1. Debe haber algún error. Si el área es de 20 cm², por la fórmula general de un triángulo:
      Área = b * h / 2
      20 = 3b/2
      b = 40/3 = 13,33 cm (tiene la base)
      El perímetro de un triángulo isósceles es;
      P = 2a + b
      Como te dicen que el perímetro es de 40 cm
      40 = 2 * a + 13,33
      a = (40 – 13,33) /2 = 26,66 / 2 = 13,33 cm
      Sería un isósceles equilátero y la altura no puede ser de 3 cm.

  15. a) Pueden dibujarse varios triángulos diferentes si se conoce la medida de uno de sus lados.

    b) Si se conoce la medida de dos lados de un triángulo y la medida del ángulo que forman, puede construirse un único triángulo.

    c) Si se conocen las medidas de dos lados diferentes de un triángulo isósceles, pueden construirse dos triángulos diferentes.

    d) Conociendo la medida de los tres ángulos de un triángulo, puede construirse un único triángulo.

    e) Si se conocen solamente las medidas de dos ángulos de un triángulo, pueden construirse muchos triángulos diferentes.

    f) Si se conocen las medidas de dos ángulos de un triángulo y la longitud del lado en que están apoyados, puede construirse un único triángulo

    1. Los ángulos iguales A = C se obtienen:
      48° + 2A = 180°
      A = (180 – 48) / 2 = 66°
      Por la Ley del seno (UNIVERSO FÓRMULAS):
      b / sen 48° = 160 / sen 66°
      Halla b.

  16. Cómo puedo resolver un trigulo isósceles si su lado desigual es de 12 cm y la media del ángulo opuesto es de 48°, como determino la medida de la altura?

    1. tan 48° = (12/2) / h
      Despeja h
      En esta página tienes un ejercicio similar:
      (Ejercicio de la altura de un triángulo isósceles)

  17. Como sacó los lados de un triángulo isoceles sabiendo que el perímetro mide 24cm y que la medida del lado desigual son dos tercios de la medida de cada unos de los lados congruentes

  18. Como sacó los lados de un triángulo isóceles sabiendo que el perímetro mide 24cm y que la medida del lado desigual es dos tercios de la medida de cada unos de los lados congruentes

  19. Si tengo un triángulo ABC, con un punto E entre A y B, de modo que AD=DC=BC, como demuestro que AC>BC?
    Se que poseo 2 triángulos isósceles, pero como se que AC>BC?

    1. No se entiende el planteamiento. Hay confusión entre E y D.
      Pero AB = AD + DB.
      Hay un triángulo isósceles ΔDBC con lados iguales DC y BC.
      Efectivamente ΔADC también es isósceles, con lados iguales AD y DC.
      Y AC > BC

    2. hola, como puedo calcular los angulos de un triangulo isoceles sabiendo que el lado desigual mide 15 cm y la altura correspondiente mide 4 cm? ayuda

  20. Si tengo el lado desigual de un triángulo isosceles (12 cm), ¿como saco la medida de sus lados iguales, para que además de isosceles sea rectángulo?

    1. Lado igual a
      b² = 2 * a²
      12² = 2 * a²
      Despeja a, haz el dibujo y verás el motivo
      O mira la página Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS. Apartado Resolución de los triángulos rectángulos punto 5.4

    1. No hay ningún triángulo isósceles con esos datos.
      Cuando los tengas correctos, tendrás que plantear dos ecuaciones con dos incógnitas (una de segundo grado)
      La fórmula del área que tienes en esta página en función de los lados a y b.
      La fórmula del perímetro, que también la tienes aquí P = 2a + b
      Despeja b en la segunda, sustituye en la primera y resuelve (fórmula función cuadrática en UNIVERSO FÓRMULAS)

    1. Con la base y el área obtienes la altura de un triángulo.
      A = (b * h) / 2
      976 = (32 * h) / 2
      h = 976 * 2 / 32 = 61
      Mediante Pitágoras, con media base 32/2 = 16 y la altura 61 sacas la hipotenusa, que es uno de los dos lados iguales. Te dará 63
      Tan α = 61 / 16 = 3,81
      arctan 3,81 = 75,3° = α
      Los ángulos iguales mas el superior suman 180°
      75,3 + 75,3 + β = 180°
      Despeja β, que es el dato que te falta.

  21. el perimetro de un triangulo isosceles ed de 18cm
    si la medida de sus lados son enteros
    cuales serian los posibles medidas de los lados

    1. Debes consultar el teorema «desigualdad triangular» en la página triángulo de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Dennis, tu mismo puedes hacer la lista de lados enteros posibles.
      Empieza por los lados iguales más largos:
      8-8-2
      y termina por los mas cortos:
      5-5-8
      Anímate!

    1. Consulta la página Triángulo de UNIVERSO FÓRMULAS, en concreto, el apartado ángulos interiores de un triángulo.
      2x + 30° = 180°
      x = (180 – 30) / 2 = 75°

  22. Hola como calculo un triangulo que sus lados iguales son 120 y quiero econtrar la base pero no me da nada de algulos ni altura

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