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Un triángulo rectángulo, como el resto de triángulos, puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, siempre que no sean los tres ángulos. En este caso, de entrada ya se conoce un ángulo, que es recto.
La operativa general es porque la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es de 180° (por lo que la suma de los dos ángulos agudos es de 90°) y por el teorema del seno.
También es útil en la resolución, aunque no se ha empleado aquí, el teorema de la tangente.
1. Se conoce un cateto b y su ángulo agudo adyacente A
Si conocemos un cateto (por ejemplo el b)y su ángulo agudo adyacente (en este caso, el ángulo A), se resuelve así:
La misma solución para el cateto b y su ángulo agudo opuesto B, sólo que A = 90° – B.
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Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).
2. Se conoce la hipotenusa c y el ángulo agudo A
Por otro lado, si se conoce la hipotenusa c y un ángulo agudo (en este caso, el ángulo A), se resuelve de la siguiente manera:
Aplicamos que sen 2A = 2sen A · cos A, por las razones trigonométricas del ángulo doble.
3. Se conocen los dos catetos a y b
Conociendo los dos catetos a y b, tenemos:
4a. Se conoce el cateto b y la hipotenusa c
Si son conocidos el cateto b y la hipotenusa c, la resolución es:
4b. Se conoce la hipotenusa y el perímetro
El área, con esos dos datos de partida se puede calcular con la fórmula:
Para deducir esta fórmula basta con la fórmula del perímetro, la del área y el teorema de Pitágoras. Aquí se muestra el proceso:
Sabiendo el área y la hipotenusa, podemos hallar la altura sobre ella hc:
Por el teorema del seno, hallamos un ángulo agudo sobre el triángulo formado por el cateto b como hipotenusa y la altura hc y la proyección sobre c. Tambien hallamos el ángulo restante:
Y nos quedan los dos catetos, que los obtenemos por el seno de sus ángulos respectivos:
4c. Se conoce un ángulo agudo y el área
El otro ángulo agudo se calcula así:
La base, el cateto b se calcula con esta fórmula. Se deduce la fórmula del teorema del seno y de la fórmula del área de un triángulo sabiendo un lado y sus dos ángulos adyacentes. Aquí sabemos esos dos ángulos (A = C) y el área.
Con las razones trigonométricas de ángulos que difieren 90° el valor de las razones trigonométricas de 90° y simplificando, se halla el lado b así:
Finalmente, el tercer lado, c, la hipotenusa, se halla por el teorema de Pitágoras:
5. Cuando el triángulo rectángulo es también isósceles
En este caso, los dos catetos a y b son iguales. También son iguales y de 45° los dos ángulos agudos A y B y además, el ángulo C es recto.
Veamos tres casos:
5.1. Se conoce un cateto y un ángulo agudo
Si se conoce un cateto y un ángulo agudo, que al tener 45° se comprueba que el triángulo también es isósceles.
5.2. Se conoce la hipotenusa
Aplicamos el teorema de Pitágoras, siendo los catetos a y b y la hipotenusa c.
Tenemos los lados y ángulos iguales (45°) y el área.
5.3. Se conocen los dos catetos
Si son conocidos los dos catetos que, al ser iguales se comprueba que el triángulo también es isósceles, la resolución es:
5.4 Conociendo el área, hallar los lados
Uniendo por sus hipotenusas dos triángulos rectángulos isósceles iguales, obtenemos un cuadrado cuya área es el doble del área de triángulo rectángulo isósceles dado:
El área de un cuadrado es:
Como el área dada del triángulo rectángulo isósceles es la mitad de la del cuadrado:
Se despeja el cateto a:
Y, por Pitágoras se obtiene la hipotenusa b:
Se ha resuelto determinando los tres lados (y los tres ángulos previamente conocidos de un triángulo rectángulo isósceles) a partir del área.