Resolución de triángulos rectángulos

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Dibujo de un triángulo rectángulo para su resolución

Un triángulo rectángulo, como el resto de triángulos, puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, siempre que no sean los tres ángulos. En este caso, de entrada ya se conoce un ángulo, que es recto.

La operativa general es porque la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es de 180° (por lo que la suma de los dos ángulos agudos es de 90°) y por el teorema del seno.

También es útil en la resolución, aunque no se ha empleado aquí, el teorema de la tangente.

1. Se conoce un cateto b y su ángulo agudo adyacente A

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo b y A para su resolución

Si conocemos un cateto (por ejemplo el b)y su ángulo agudo adyacente (en este caso, el ángulo A), se resuelve así:

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo b y A

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo b y B para su resolución

La misma solución para el cateto b y su ángulo agudo opuesto B, sólo que A = 90° – B.

Descárgate esta calculadora para obtener los resultados de las fórmulas de esta página. Elige los datos iniciales e introdúcelos en el recuadro superior izquierdo. Para resultados, pulsa INTRO.

Triangulo-total.rar         o bien   Triangulo-total.exe      

Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

2. Se conoce la hipotenusa c y el ángulo agudo A

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo c y A para su resolución

Por otro lado, si se conoce la hipotenusa c y un ángulo agudo (en este caso, el ángulo A), se resuelve de la siguiente manera:

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos conociendo c y A

Aplicamos que sen 2A = 2sen A · cos A, por las razones trigonométricas del ángulo doble.

3. Se conocen los dos catetos a y b

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo a y b para su resolución

Conociendo los dos catetos a y b, tenemos:

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos conociendo a y b

4a. Se conoce el cateto b y la hipotenusa c

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo b y c para su resolución

Si son conocidos el cateto b y la hipotenusa c, la resolución es:

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos conociendo b y c

4b. Se conoce la hipotenusa y el perímetro

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Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo hipotenusa y perímetro

El área, con esos dos datos de partida se puede calcular con la fórmula:

Fórmula del área para la resolución de triángulos rectángulos conociendo hipotenusa y perímetro

Para deducir esta fórmula basta con la fórmula del perímetro, la del área y el teorema de Pitágoras. Aquí se muestra el proceso:

Fórmula del área 2 para la resolución de triángulos rectángulos conociendo hipotenusa y perímetro

Sabiendo el área y la hipotenusa, podemos hallar la altura sobre ella hc:

Fórmula de la altura para la resolución de triángulos rectángulos conociendo hipotenusa y perímetro

Por el teorema del seno, hallamos un ángulo agudo sobre el triángulo formado por el cateto b como hipotenusa y la altura hc y la proyección sobre c. Tambien hallamos el ángulo restante:

Fórmula del ángulo para la resolución de triángulos rectángulos conociendo hipotenusa y perímetro

Y nos quedan los dos catetos, que los obtenemos por el seno de sus ángulos respectivos:

Fórmula de los catetos para la resolución de triángulos rectángulos conociendo hipotenusa y perímetro

4c. Se conoce un ángulo agudo y el área

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo el ángulo agudo y el área

El otro ángulo agudo se calcula así:

Cálculo del otro ángulo agudo

La base, el cateto b se calcula con esta fórmula. Se deduce la fórmula del teorema del seno y de la fórmula del área de un triángulo sabiendo un lado y sus dos ángulos adyacentes. Aquí sabemos esos dos ángulos (A = C) y el área.

Con las razones trigonométricas de ángulos que difieren 90° el valor de las razones trigonométricas de 90° y simplificando, se halla el lado b así:

Cálculo del lado b

Finalmente, el tercer lado, c, la hipotenusa, se halla por el teorema de Pitágoras:

Cálculo del lado c

5. Cuando el triángulo rectángulo es también isósceles

Dibujo de un triángulo rectángulo y isósceles para su resolución

En este caso, los dos catetos a y b son iguales. También son iguales y de 45° los dos ángulos agudos A y B y además, el ángulo C es recto.

Veamos tres casos:

5.1. Se conoce un cateto y un ángulo agudo

Dibujo de un triángulo rectángulo y isósceles conociendo b y A para su resolución

Si se conoce un cateto y un ángulo agudo, que al tener 45° se comprueba que el triángulo también es isósceles.

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo b y A

5.2. Se conoce la hipotenusa

Dibujo de un triángulo rectángulo y isósceles conociendo c y A para su resolución

Aplicamos el teorema de Pitágoras, siendo los catetos a y b y la hipotenusa c.

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo c y A

Tenemos los lados y ángulos iguales (45°) y el área.

5.3. Se conocen los dos catetos

Dibujo de un triángulo rectángulo y isósceles conociendo a y b para su resolución

Si son conocidos los dos catetos que, al ser iguales se comprueba que el triángulo también es isósceles, la resolución es:

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo a y b

5.4 Conociendo el área, hallar los lados

Uniendo por sus hipotenusas dos triángulos rectángulos isósceles iguales, obtenemos un cuadrado cuya área es el doble del área de triángulo rectángulo isósceles dado:

Dibujo de la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo el área

El área de un cuadrado es:

Cálculo del área del cuadrado para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo el área

Como el área dada del triángulo rectángulo isósceles es la mitad de la del cuadrado:

Cálculo de la mitad del área para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo el área

Se despeja el cateto a:

Cálculo del cateto para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo el área

Y, por Pitágoras se obtiene la hipotenusa b:

Cálculo de la hipotenusa para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo el área

Se ha resuelto determinando los tres lados (y los tres ángulos previamente conocidos de un triángulo rectángulo isósceles) a partir del área.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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