Teorema del coseno

El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:

El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a² =  b²+c². Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

Aplicaciones del teorema del coseno

• Averiguar los ángulos del triángulo sabiendo todos sus lados.
• Sabiendo dos lados y el ángulo que forman, calcular el otro lado.

Cálculo de los ángulos de un triángulo sabiendo los tres lados

Mediante el teorema del coseno se pueden calcular los ángulos de un triángulo sabiendo todos sus lados.

Los ángulos son el arcocoseno de la razón entre la suma del cuadrado de los lados contiguos al ángulo menos el cuadrado del lado opuesto y el doble del producto de los lados contiguos.

Ejercicio

Sea un triángulo con dos lados conocidos (a=4 cm y c=6 cm) y sabiendo el ángulo que forman (B=85º).

¿Cuánto mide el lado b? Utilizaremos el teorema del coseno para calcularlo.

Y se obtiene que el lado b=6,92 cm.

Si fuese necesario, se podrían calcular los dos ángulos restantes mediante el teorema del seno.