Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:
El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.
De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a2 = b2+c2. Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.
Aplicaciones del teorema del coseno
- Averiguar los ángulos del triángulo sabiendo todos sus lados.
- Sabiendo dos lados y el ángulo que forman, calcular el otro lado.
Cálculo de los ángulos de un triángulo sabiendo los tres lados
Mediante el teorema del coseno se pueden calcular los ángulos de un triángulo sabiendo todos sus lados.
Los ángulos son el arcocoseno de la razón entre la suma del cuadrado de los lados contiguos al ángulo menos el cuadrado del lado opuesto y el doble del producto de los lados contiguos.
Ejercicio
Sea un triángulo con dos lados conocidos (a=4 cm y c=6 cm) y sabiendo el ángulo que forman (B=85º).
¿Cuánto mide el lado b? Utilizaremos el teorema del coseno para calcularlo.
Y se obtiene que el lado b=6,92 cm.
Si fuese necesario, se podrían calcular los dos ángulos restantes mediante el teorema del seno.
AUTOR: Bernat Requena Serra
AÑO: 2014
Página muy buena , la recomiendo a quién desee aprender , repasar o recordar , estas funciones de Trigonometría , que sirve en todos los campos del quehacer , campo, ciudad y en donde se requiera cálculos . MUY BUENA
la ultima parte del ejemplo es incorrecta, se le suma 4.176 cuando debe restarsele, resultando en vez de 7.5, 6.91
Hola Ignacio,
Tienes razón, el cálculo era erróneo, ya que había que restar 4.176 y no sumarlo.
Ya lo hemos corregido, muchas gracias por avisarnos del error.
Un cordial saludo.
hay un error, cuando dice calculo de los ángulos de un triangulo… más abajo pone esta oración: ¨Mediante el teorema del coseno se pueden calcular los lados de un triángulo sabiendo todos sus lados. ¨ Saludos
si se sabe los angulos internos de un triangulo acutangulo como le hago para sacar sus lados ?
LA VERDAD ESTO SE ME DIFICULTA UN POCO AL DESPEJAR¿¿ ALGUIEN QUE ME PUEDA DAR ALGUN TUTORIAL???
alguien sabe como calcular sus angulos iguales sabiendo cuanto mide la base y sus lados iguales????????????????
de un triangulo isosceles
Mediante el teorema del coseno. En la página “Área de un triángulo” de Universo Fórmulas tienes un ejercicio resuelto que te puede aclarar el procedimiento.
no entiiendo Nda
Dos aviones parten de un aeropuerto a la misma hora, uno con dirección N53°O llevando una velocidad constante de 600 km/h, el otro avión con una velocidad constante de 500 km/h, con un rumbo S53°O. ¿A qué distancia se encuentran los aviones uno de otro después de media hora de vuelo?
*alguien que se apiade y me lo pase por amor ♥*(con todo y sus operaciones y cm representarlo) ~si no es muchooooo pedir… ♥
Dianna, vas muy directa, ya que se resuelve con el teorema del coseno, que es la página donde estás.
Aquí se forma un triángulo.
El vértice A es el aeropuerto origen.
Llámale C al punto donde se encuentra el primer avión a la media hora de vuelo. AC es el lado b del triángulo.
Llámale B al punto donde llega el segundo avión en el mismo momento. AB es el lado c del triángulo.
El ángulo que forman los lados b y c es de 180 – 53 – 53 = 74°
Te falta la distancia entre aviones, que será BC, el lado a.
La longitud de b es de 300 km (recuerda en el MRU, x = vt) o sea 600*0,5 = 300 Km
La longitud de c es de 250 km (recuerda en el MRU, x = vt) o sea 500*0,5 = 250 Km
Ya tienes los datos para hallar a mediante el teorema del coseno.
a2 = b2 + c2– 2bc cos A
a2 = 3002 + 2502 – 2bc cos 74°
Termina los cálculos, por favor. El lado a será la distancia en km entre los dos aviones.
las diagonales del paralelogramo mide 12 cm y el ángulo entre ellas mide 50º ¿ cuanto mide cada uno de los lados del paralelogramo? ayuda por favor tengo examen de este caso y no comprendo como hacerlo
Con las diagonales se te forman cuatro triángulos isósceles. Los lados iguales son media diagonal, es decir, 6 cm.
En dos triángulos, el ángulo entre los lados de 6 cm es de 50°
En los otros dos triángulos, lados iguales, también de 6 cm y el ángulo entre lados de 6 cm de (360° – 2*50°)/2 = 140°
Aplicar el teorema del coseno en los dos casos para saber las dos longitudes de lados diferentes del paralelogramo.
a2 = 62 + 62 – 2*6*6*cos 50°
a’2 = 62 + 62 – 2*6*6*cos 140°
Angie Daniela, dejo que termines el problema sumando los cuatro lados hallados.
P = 2 * a + 2 * a’
Perfecto
no entiendo ni mergas
si tengo un triangulo del cual solo conozco un lado y se que tiene un angulo recto como halo los demas lados y angulos
si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: (a) al cuadrado= (b) al cuadrado mas (c) al cuadrado
Guille, en este caso faltan datos, tanto para el teorema del coseno como para el de Pitágoras que propones.
(Como se indica en esta página, el teorema del coseno es una generalización del de Pitágoras).
para ese caso usas teorema del seno
No Pablo, el teorema del seno requiere más datos iniciales de los que plantea Betty.
Faltan datos. Consulta Resolución de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS, en el apartado del triángulo equilátero
faltaron las formulas para hallar los angulos ke son muy diferentes
Las fórmulas del teorema del coseno tienen validez general.
Muchas gracias, sigan con mas contenido como este
muchas gracias pude entender este teorema
El resultado es 6.6?
Repasa las operaciones.
Lado c 6,915
Hola, me parecio muy buena la explicación… Pero en dado caso de que yo tuviera un triangulo escaleno, con lo siguientes datos=
a= 3cm
c= 4cm
¿Cómo lo haría? En ese ejercicio no me dan ningún ángulo
Mira resolución de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS.
Con dos lados nada más, no se puede resolver.
Para resolver cualquier triángulo hacen falta tres datos, que no sean los tres ángulos.
hola esque en el colegio me están pidiendo hallar este ejercicio: Pepe y José están en el campo en un llano, separados 3,000 m uno del otro, observan un helicóptero. Sus ángulos de elevación respecto al objeto volador son de 60º para Pepe y 75º para José. Determine a qué distancia está Pepe del helicóptero:
En primer lugar, se supone que el helicóptero está en la vertical de la línea que une Pepe con José.
En el triángulo formado por Pepe, José y el helicóptero vamos a llamar al ángulo donde está Pepe A (y su lado opuesto a) y al ángulo donde está José B (y su lado opuesto b). La distancia b es precisamente la que buscamos entre el helicóptero y Pepe.
Sabemos que los ángulos interiores de todo triángulo suman 180°. Consulta en la página Triángulo de UNIVERSO FÓRMULAS el apartado Ángulos interiores de un triángulo.
Por tanto, el ángulo que forma el triángulo en el vértice donde está el helicóptero, al que llamaremos C medira 180 – 60 – 75 = 45°.
Vamos a aplicar el Teorema del seno. Verlo en UNIVERSO FÓRMULAS (ojo, no el teorema del coseno)
b / sen B = c / sen C
b / sen 75° = 3000 / sen 45°
b = 3000 * sen 75° / sen 45° = 4098 m
HOLA ESQUE ME ESTÁN PIDIENDO HALLAR EL SIGUIENTE PROBLEMA; El rodadero de un parque tiene 5,0 de longitud y una inclinación de 60°, el ángulo que forma la escalera y el rodadero es de 50°. ¿Qué longitud tiene la escalera?
Me temo que si no hay más datos de la escalera, que se supone por otra parte que está alineada con el rodadero, no veo que tenga solución lo que planteas.
no yo creo que si se puede responder porque por algo lo puso el profe
En ese caso será que no he entendido lo que es un rodadero y su posición con respecto a la escalera. Lo siento.
Holi! Me pueden ayudar con algunos ejercicios por favor?
Cuales son los valores de los ángulos internos de un triangulo si se sabe que los lados a, b y c miden 6, 8 y 12 cm respectivamente.
Me pueden ayudar
En esta página tienes las fórmulas, que se basan en el Teorema del coseno (UNIVERSO FÓRMULAS).
26,38°
36,34°
117,28°
Juana y Pedro están separados 30 m entre sí y ven una torre-antena para celulares. El ángulo de elevación para Pedro es de 30º, mientras que para Juana es de 20º. Hallar la altura aproximada de la torre.
La proyección de la visual de Pedro es x y la de Juana, 30 – x.
Ambas son catetos horizontales con cateto vertical compartido, que es la altura h.
Los relaciona la tangente de sus ángulos.
tan 30° = h / x
tan 20° = h / (30 – x)
Despeja x en las dos. Iguala las dos ecuaciones, con la incógnita h.
Despejas y h = 6,38 m
Dos automóviles A y B, se desplazan con velocidad constante por dos caminos que se bifurcan en un ángulo de 40º. El automóvil A lleva una velocidad de 84 km/h. En un instante se cruzan en la bifurcación de los dos caminos y cada uno sigue en su propia dirección de modo que a los 15 minutos se hallan a una distancia de 18 km uno del otro. ¿Cuál es la velocidad que lleva el automóvil B?
En la página del MRU de UNIVERSO FÓRMULAS verás a qué distancia del cruce está el automóvil A después de 15 minutos.
e = v * t = 84 * 15/60 = 18 km.
La distancia ahora entre los dos coches es también de 18 km, como dice el enunciado. Tienes un triángulo isósceles.
Comprueba el otro ángulo por el teorema del seno (UF).
18 / sen 40° = 18 / sen α
α = 40°. Es isósceles y el otro ángulo que falta:
β = 180° – 40° – 40° = 100°
Vuelves a aplicar el teorema del seno para averiguar el lado que falta, el opuesto a β, el trayecto del coche B:
18 / sen 40° = x / sen 100°
x = 27,58 km
Un fotógrafo ubica su cámara fotográfica digital en el suelo, a 30 m de un monumento cuya altura es de 50 m. Tras tomar la fotografía, el monumento ocupa exactamente la misma longitud que el visor. ¿Qué ángulo de visión tiene la cámara?
Visita las páginas tangente y arcotangente de UNIVERSO FÓRMULAS.
α = arctan 50 / 30 = 59,036°
Rita está construyendo una huerta en forma triangular en la parte de atrás de su parcela, ella instala
tres postes, entre el primer y segundo poste hay 13m de distancia, entre el segundo y el tercero 10m
y entre el tercero y el primero 14m. ¿cuál es el ángulo que se forma en la unión de cada par de postes?
Ves a Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS. En el apartado en que se conocen los tres lados. Te facilitará la solución
CUALES SERAN LOS ANGULOS INTERNOS DE UN TRIANGULO , SI SUS LADOS SON 9,5,10.
OTRO PROBLEMA SERIA COMO SACAR 2 ANGULOS DE UN TRIANGULO SI SE CUENTA CON 2 LADOS DE 13.2 Y 24.7 Y UN ANGULO DE 10.1666; TAMBIEN FALTARIA CALCULAR EL LADO FALTANTE
Ves a la página Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS. Allí tienes las respuestas a tus dos casos.
1) 63,9°, 29,9° y 86,2°
En el segundo caso se necesita saber si el dato del ángulo se refiere al que forman los dos lados conocidos o es otro
alguien sabe cuales son los angulos ?
Està en la imagen. Los lados van en minúscula y el ángulo opuesto a un lado determinado se denomina con la misma letra pero en mayúscula.
y solo conozco dos angulos puedo calcular los lados?
Mira la página Resolución de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS.
Para resolver un triángulo necesitas tres datos, siempre que no sean los tres ángulos.
Aparentemente se simplifica en el caso de los isósceles y los rectángulos, pero es que o hay dos lados o dos ángulos iguales, o en los rectángulos un ángulo es recto.
Pero con dos ángulos, en ningún caso.
Por cualquier lado se puede empezar?
Sí. Independientemente. Siempre que las fórmulas estén bién.
Como puedo descubrir cuales son las medidas de los lados de un triangulo si solo tengo sus angulos. Sus angulos son:
A=63°
B=74°
C=18°
Con sólo los tres ángulos, no puedes.
Mira Resolución de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS
Como puedo calcular un triángulo cuando tengo un ángulo y un lado??
Ves a la página Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS.
Pero con solo dos datos, como dices, no se puede.
Hay una situación aparentemente diferente, que es en los rectángulos y los isósceles. Pero es aparente.
Como calculo el triangulo si los lados a- 812.5 y c-1312.5 y el angulo B- 38*52`48“??
Ves a la página Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS.
Ahí tienes tu caso y el procedimiento. Segundo apartado, punto 1.
Me bloque, como despejo a t de cos(t)=(b2-b1)
Cómo logro despeinar a x cos(x)=(b2-b1)/(a2-a1)
x = arc cos [(b2 – b1) / (a2 -a1)]
Despejar a x de cos x
Hola, me pareció muy buena la explicación, mi problema es que si puedo aplicar esta ley para hallar los lados, si es que puedo cómo lo haría; el problema es que de datos solo tengo ángulos y tengo que hallar los datos, si me pudiera ayudar sería fantástico. Gracias…
Solamente partiendo de tres ángulos no se puede resolver un triángulo.
Pero consulta la página Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS.
Allí explica cuándo es útil el teorema del coseno.
Un río corre hacia el este y
un nadador lo atraviesa con
una velocidad de 4 𝑚 𝑠
⁄
hacia el norte, si el río tiene
85𝑚 de ancho y el nadador
se mueve 85𝑚 río abajo al
atravesarlo determine:
a) la dirección del
desplazamiento
b) la velocidad de la corriente respecto a Tierra
Este problema lo puedes resolver sin operaciones.
Como se forman dos catetos de 85 m, la dirección del desplazamiento es noreste.
Si se entiende que los 4 m/s es la rapidez del nadador respecto del agua (no de la Tierra), la velocidad de la corriente también es de 4 m/s.
Y la rapidez del nadador respecto de la Tierra (ayudado por el rio), será de √(4² + 4²)
Gracias por la asesoria
Un avión vuela hacia el sur
con una velocidad de
90 𝐾𝑚 ℎ
⁄
y el viento sopla
hacia el oeste con una
velocidad de 150 𝐾𝑚 ℎ
⁄
.
Determine la velocidad del
avión respecto a Tierra.
Julio, este problema es parecido. Pero aquí sí que debes hacer operaciones para obtener la hipotenusa del vector velocidad resultante.
Excelente eso suponía, en el ejercicio anterior a este un profesor me dice que utilice la fórmula para calcule el ángulo… No entendi mucho la verdad
Lo que dice tu profesor es verdad. Así adquieres práctica con la trigonometría. Pero, tal y como estaba planteado, no era necesario, ya que los ángulos agudos de un triángulo rectánculo e isósceles, como era tu caso, son iguales, de 45°. Como iguales son sus catetos (85 m). Y a 45° derecha del norte es noreste.
En el segundo ejercicio ya no. Se puede resolver por trigonometría, aunque la solución sencilla para saber el módulo de la velocidad resultante es Pitágoras.
gracias por esta buena información, me sirvió demasiado en una tarea y aprenderlo de una forma mas fácil.