Teorema del coseno

El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:

El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

Fórmula del teorema del coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a2 =  b2+c2. Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

Aplicaciones del teorema del coseno

  • Averiguar los ángulos del triángulo sabiendo todos sus lados.
  • Sabiendo dos lados y el ángulo que forman, calcular el otro lado.

Cálculo de los ángulos de un triángulo sabiendo los tres lados

ANUNCIOS


Mediante el teorema del coseno se pueden calcular los ángulos de un triángulo sabiendo todos sus lados.

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

Fórmula del teorema del coseno para calcular los ángulos a partir de los lados

Los ángulos son el arcocoseno de la razón entre la suma del cuadrado de los lados contiguos al ángulo menos el cuadrado del lado opuesto y el doble del producto de los lados contiguos.

Ejercicio

Dibujo de un ejemplo de triángulo para calcular su lado desconocido por el teorema del coseno.

Sea un triángulo con dos lados conocidos (a=4 cm y c=6 cm) y sabiendo el ángulo que forman (B=85º).

¿Cuánto mide el lado b? Utilizaremos el teorema del coseno para calcularlo.

Cálculo del lado desconocido a partir del teorema del coseno.

Y se obtiene que el lado b=6,92 cm.

Si fuese necesario, se podrían calcular los dos ángulos restantes mediante el teorema del seno.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2014


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55 Respuestas

  1. Denis dice:

    Por cualquier lado se puede empezar?

  2. Pedro dice:

    y solo conozco dos angulos puedo calcular los lados?

    • Respuestas dice:

      Mira la página Resolución de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Para resolver un triángulo necesitas tres datos, siempre que no sean los tres ángulos.
      Aparentemente se simplifica en el caso de los isósceles y los rectángulos, pero es que o hay dos lados o dos ángulos iguales, o en los rectángulos un ángulo es recto.
      Pero con dos ángulos, en ningún caso.

  3. juan dice:

    alguien sabe cuales son los angulos ?

    • Respuestas dice:

      Està en la imagen. Los lados van en minúscula y el ángulo opuesto a un lado determinado se denomina con la misma letra pero en mayúscula.

  4. LUIS VALLES dice:

    CUALES SERAN LOS ANGULOS INTERNOS DE UN TRIANGULO , SI SUS LADOS SON 9,5,10.

    OTRO PROBLEMA SERIA COMO SACAR 2 ANGULOS DE UN TRIANGULO SI SE CUENTA CON 2 LADOS DE 13.2 Y 24.7 Y UN ANGULO DE 10.1666; TAMBIEN FALTARIA CALCULAR EL LADO FALTANTE

    • Respuestas dice:

      Ves a la página Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS. Allí tienes las respuestas a tus dos casos.
      1) 63,9°, 29,9° y 86,2°
      En el segundo caso se necesita saber si el dato del ángulo se refiere al que forman los dos lados conocidos o es otro

  5. maria jose jaramillo ramirez dice:

    Rita está construyendo una huerta en forma triangular en la parte de atrás de su parcela, ella instala
    tres postes, entre el primer y segundo poste hay 13m de distancia, entre el segundo y el tercero 10m
    y entre el tercero y el primero 14m. ¿cuál es el ángulo que se forma en la unión de cada par de postes?

    • Respuestas dice:

      Ves a Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS. En el apartado en que se conocen los tres lados. Te facilitará la solución

  6. lorena dice:

    Un fotógrafo ubica su cámara fotográfica digital en el suelo, a 30 m de un monumento cuya altura es de 50 m. Tras tomar la fotografía, el monumento ocupa exactamente la misma longitud que el visor. ¿Qué ángulo de visión tiene la cámara?

    • Respuestas dice:

      Visita las páginas tangente y arcotangente de UNIVERSO FÓRMULAS.
      α = arctan 50 / 30 = 59,036°

  7. sebastian dice:

    Dos automóviles A y B, se desplazan con velocidad constante por dos caminos que se bifurcan en un ángulo de 40º. El automóvil A lleva una velocidad de 84 km/h. En un instante se cruzan en la bifurcación de los dos caminos y cada uno sigue en su propia dirección de modo que a los 15 minutos se hallan a una distancia de 18 km uno del otro. ¿Cuál es la velocidad que lleva el automóvil B?

    • Respuestas dice:

      En la página del MRU de UNIVERSO FÓRMULAS verás a qué distancia del cruce está el automóvil A después de 15 minutos.
      e = v * t = 84 * 15/60 = 18 km.
      La distancia ahora entre los dos coches es también de 18 km, como dice el enunciado. Tienes un triángulo isósceles.
      Comprueba el otro ángulo por el teorema del seno (UF).
      18 / sen 40° = 18 / sen α
      α = 40°. Es isósceles y el otro ángulo que falta:
      β = 180° – 40° – 40° = 100°
      Vuelves a aplicar el teorema del seno para averiguar el lado que falta, el opuesto a β, el trayecto del coche B:
      18 / sen 40° = x / sen 100°
      x = 27,58 km

  8. sebastian dice:

    Juana y Pedro están separados 30 m entre sí y ven una torre-antena para celulares. El ángulo de elevación para Pedro es de 30º, mientras que para Juana es de 20º. Hallar la altura aproximada de la torre.

    • Respuestas dice:

      La proyección de la visual de Pedro es x y la de Juana, 30 – x.
      Ambas son catetos horizontales con cateto vertical compartido, que es la altura h.
      Los relaciona la tangente de sus ángulos.
      tan 30° = h / x
      tan 20° = h / (30 – x)
      Despeja x en las dos. Iguala las dos ecuaciones, con la incógnita h.
      Despejas y h = 6,38 m

  9. Camilo dice:

    Cuales son los valores de los ángulos internos de un triangulo si se sabe que los lados a, b y c miden 6, 8 y 12 cm respectivamente.
    Me pueden ayudar

    • Respuestas dice:

      En esta página tienes las fórmulas, que se basan en el Teorema del coseno (UNIVERSO FÓRMULAS).
      26,38°
      36,34°
      117,28°

  10. Jorgelis dice:

    Holi! Me pueden ayudar con algunos ejercicios por favor?

  11. sebastian dice:

    no yo creo que si se puede responder porque por algo lo puso el profe

    • Respuestas dice:

      En ese caso será que no he entendido lo que es un rodadero y su posición con respecto a la escalera. Lo siento.

  12. sebastian dice:

    HOLA ESQUE ME ESTÁN PIDIENDO HALLAR EL SIGUIENTE PROBLEMA; El rodadero de un parque tiene 5,0 de longitud y una inclinación de 60°, el ángulo que forma la escalera y el rodadero es de 50°. ¿Qué longitud tiene la escalera?

    • Respuestas dice:

      Me temo que si no hay más datos de la escalera, que se supone por otra parte que está alineada con el rodadero, no veo que tenga solución lo que planteas.

  13. sebastian dice:

    hola esque en el colegio me están pidiendo hallar este ejercicio: Pepe y José están en el campo en un llano, separados 3,000 m uno del otro, observan un helicóptero. Sus ángulos de elevación respecto al objeto volador son de 60º para Pepe y 75º para José. Determine a qué distancia está Pepe del helicóptero:

    • Respuestas dice:

      En primer lugar, se supone que el helicóptero está en la vertical de la línea que une Pepe con José.
      En el triángulo formado por Pepe, José y el helicóptero vamos a llamar al ángulo donde está Pepe A (y su lado opuesto a) y al ángulo donde está José B (y su lado opuesto b). La distancia b es precisamente la que buscamos entre el helicóptero y Pepe.
      Sabemos que los ángulos interiores de todo triángulo suman 180°. Consulta en la página Triángulo de UNIVERSO FÓRMULAS el apartado Ángulos interiores de un triángulo.
      Por tanto, el ángulo que forma el triángulo en el vértice donde está el helicóptero, al que llamaremos C medira 180 – 60 – 75 = 45°.
      Vamos a aplicar el Teorema del seno. Verlo en UNIVERSO FÓRMULAS (ojo, no el teorema del coseno)
      b / sen B = c / sen C
      b / sen 75° = 3000 / sen 45°
      b = 3000 * sen 75° / sen 45° = 4098 m

  14. Maria Ortiz dice:

    Hola, me parecio muy buena la explicación… Pero en dado caso de que yo tuviera un triangulo escaleno, con lo siguientes datos=
    a= 3cm
    c= 4cm
    ¿Cómo lo haría? En ese ejercicio no me dan ningún ángulo

    • Respuestas dice:

      Mira resolución de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Con dos lados nada más, no se puede resolver.
      Para resolver cualquier triángulo hacen falta tres datos, que no sean los tres ángulos.

  15. Erwin dice:

    El resultado es 6.6?

  16. barbara dice:

    muchas gracias pude entender este teorema

  17. ronald dice:

    Muchas gracias, sigan con mas contenido como este

  18. maileth dice:

    faltaron las formulas para hallar los angulos ke son muy diferentes

  19. BETTY BOADA VARGAS dice:

    si tengo un triangulo del cual solo conozco un lado y se que tiene un angulo recto como halo los demas lados y angulos

    • Guille dice:

      si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: (a) al cuadrado= (b) al cuadrado mas (c) al cuadrado

    • Respuestas dice:

      Guille, en este caso faltan datos, tanto para el teorema del coseno como para el de Pitágoras que propones.
      (Como se indica en esta página, el teorema del coseno es una generalización del de Pitágoras).

    • Pablo dice:

      para ese caso usas teorema del seno

    • Respuestas dice:

      No Pablo, el teorema del seno requiere más datos iniciales de los que plantea Betty.

    • Respuestas dice:

      Faltan datos. Consulta Resolución de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS, en el apartado del triángulo equilátero

  20. juan dice:

    no entiendo ni mergas

  21. angie daniela dominguez dice:

    las diagonales del paralelogramo mide 12 cm y el ángulo entre ellas mide 50º ¿ cuanto mide cada uno de los lados del paralelogramo? ayuda por favor tengo examen de este caso y no comprendo como hacerlo

    • Respuestas dice:

      Con las diagonales se te forman cuatro triángulos isósceles. Los lados iguales son media diagonal, es decir, 6 cm.
      En dos triángulos, el ángulo entre los lados de 6 cm es de 50°
      En los otros dos triángulos, lados iguales, también de 6 cm y el ángulo entre lados de 6 cm de (360° – 2*50°)/2 = 140°
      Aplicar el teorema del coseno en los dos casos para saber las dos longitudes de lados diferentes del paralelogramo.
      a2 = 62 + 62 – 2*6*6*cos 50°
      a’2 = 62 + 62 – 2*6*6*cos 140°
      Angie Daniela, dejo que termines el problema sumando los cuatro lados hallados.
      P = 2 * a + 2 * a’

  22. Dianna dice:

    Dos aviones parten de un aeropuerto a la misma hora, uno con dirección N53°O llevando una velocidad constante de 600 km/h, el otro avión con una velocidad constante de 500 km/h, con un rumbo S53°O. ¿A qué distancia se encuentran los aviones uno de otro después de media hora de vuelo?
    *alguien que se apiade y me lo pase por amor ♥*(con todo y sus operaciones y cm representarlo) ~si no es muchooooo pedir… ♥

    • Respuestas dice:

      Dianna, vas muy directa, ya que se resuelve con el teorema del coseno, que es la página donde estás.
      Aquí se forma un triángulo.
      El vértice A es el aeropuerto origen.
      Llámale C al punto donde se encuentra el primer avión a la media hora de vuelo. AC es el lado b del triángulo.
      Llámale B al punto donde llega el segundo avión en el mismo momento. AB es el lado c del triángulo.
      El ángulo que forman los lados b y c es de 180 – 53 – 53 = 74°
      Te falta la distancia entre aviones, que será BC, el lado a.
      La longitud de b es de 300 km (recuerda en el MRU, x = vt) o sea 600*0,5 = 300 Km
      La longitud de c es de 250 km (recuerda en el MRU, x = vt) o sea 500*0,5 = 250 Km
      Ya tienes los datos para hallar a mediante el teorema del coseno.
      a2 = b2 + c2– 2bc cos A
      a2 = 3002 + 2502 – 2bc cos 74°
      Termina los cálculos, por favor. El lado a será la distancia en km entre los dos aviones.

  23. diego contreraz dice:

    no entiiendo Nda

  24. agustin dice:

    de un triangulo isosceles

    • Respuestas dice:

      Mediante el teorema del coseno. En la página “Área de un triángulo” de Universo Fórmulas tienes un ejercicio resuelto que te puede aclarar el procedimiento.

  25. agustin dice:

    alguien sabe como calcular sus angulos iguales sabiendo cuanto mide la base y sus lados iguales????????????????

  26. VIANEY dice:

    LA VERDAD ESTO SE ME DIFICULTA UN POCO AL DESPEJAR¿¿ ALGUIEN QUE ME PUEDA DAR ALGUN TUTORIAL???

  27. ana quintero dice:

    si se sabe los angulos internos de un triangulo acutangulo como le hago para sacar sus lados ?

  28. fran aceituno dice:

    hay un error, cuando dice calculo de los ángulos de un triangulo… más abajo pone esta oración: ¨Mediante el teorema del coseno se pueden calcular los lados de un triángulo sabiendo todos sus lados. ¨ Saludos

  29. Ignacio dice:

    la ultima parte del ejemplo es incorrecta, se le suma 4.176 cuando debe restarsele, resultando en vez de 7.5, 6.91

    • Universo Formulas dice:

      Hola Ignacio,
      Tienes razón, el cálculo era erróneo, ya que había que restar 4.176 y no sumarlo.
      Ya lo hemos corregido, muchas gracias por avisarnos del error.
      Un cordial saludo.

  30. Ramón Martínez S. dice:

    Página muy buena , la recomiendo a quién desee aprender , repasar o recordar , estas funciones de Trigonometría , que sirve en todos los campos del quehacer , campo, ciudad y en donde se requiera cálculos . MUY BUENA

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