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Teorema del coseno

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El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:

El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

Fórmula del teorema del coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a2 =  b2+c2. Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

Aplicaciones del teorema del coseno

  • Averiguar los ángulos del triángulo sabiendo todos sus lados.
  • Sabiendo dos lados y el ángulo que forman, calcular el otro lado.

Cálculo de los ángulos de un triángulo sabiendo los tres lados

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Mediante el teorema del coseno se pueden calcular los ángulos de un triángulo sabiendo todos sus lados.

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

Fórmula del teorema del coseno para calcular los ángulos a partir de los lados

Los ángulos son el arcocoseno de la razón entre la suma del cuadrado de los lados contiguos al ángulo menos el cuadrado del lado opuesto y el doble del producto de los lados contiguos.

Ejercicio

Dibujo de un ejemplo de triángulo para calcular su lado desconocido por el teorema del coseno.

Sea un triángulo con dos lados conocidos (a=4 cm y c=6 cm) y sabiendo el ángulo que forman (B=85º).

¿Cuánto mide el lado b? Utilizaremos el teorema del coseno para calcularlo.

Cálculo del lado desconocido a partir del teorema del coseno.

Y se obtiene que el lado b=6,92 cm.

Si fuese necesario, se podrían calcular los dos ángulos restantes mediante el teorema del seno.

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37 Respuestas

  1. Jorgelis dice:

    Holi! Me pueden ayudar con algunos ejercicios por favor?

  2. sebastian dice:

    no yo creo que si se puede responder porque por algo lo puso el profe

    • Respuestas dice:

      En ese caso será que no he entendido lo que es un rodadero y su posición con respecto a la escalera. Lo siento.

  3. sebastian dice:

    HOLA ESQUE ME ESTÁN PIDIENDO HALLAR EL SIGUIENTE PROBLEMA; El rodadero de un parque tiene 5,0 de longitud y una inclinación de 60°, el ángulo que forma la escalera y el rodadero es de 50°. ¿Qué longitud tiene la escalera?

    • Respuestas dice:

      Me temo que si no hay más datos de la escalera, que se supone por otra parte que está alineada con el rodadero, no veo que tenga solución lo que planteas.

  4. sebastian dice:

    hola esque en el colegio me están pidiendo hallar este ejercicio: Pepe y José están en el campo en un llano, separados 3,000 m uno del otro, observan un helicóptero. Sus ángulos de elevación respecto al objeto volador son de 60º para Pepe y 75º para José. Determine a qué distancia está Pepe del helicóptero:

    • Respuestas dice:

      En primer lugar, se supone que el helicóptero está en la vertical de la línea que une Pepe con José.
      En el triángulo formado por Pepe, José y el helicóptero vamos a llamar al ángulo donde está Pepe A (y su lado opuesto a) y al ángulo donde está José B (y su lado opuesto b). La distancia b es precisamente la que buscamos entre el helicóptero y Pepe.
      Sabemos que los ángulos interiores de todo triángulo suman 180°. Consulta en la página Triángulo de UNIVERSO FÓRMULAS el apartado Ángulos interiores de un triángulo.
      Por tanto, el ángulo que forma el triángulo en el vértice donde está el helicóptero, al que llamaremos C medira 180 – 60 – 75 = 45°.
      Vamos a aplicar el Teorema del seno. Verlo en UNIVERSO FÓRMULAS (ojo, no el teorema del coseno)
      b / sen B = c / sen C
      b / sen 75° = 3000 / sen 45°
      b = 3000 * sen 75° / sen 45° = 4098 m

  5. Maria Ortiz dice:

    Hola, me parecio muy buena la explicación… Pero en dado caso de que yo tuviera un triangulo escaleno, con lo siguientes datos=
    a= 3cm
    c= 4cm
    ¿Cómo lo haría? En ese ejercicio no me dan ningún ángulo

    • Respuestas dice:

      Mira resolución de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Con dos lados nada más, no se puede resolver.
      Para resolver cualquier triángulo hacen falta tres datos, que no sean los tres ángulos.

  6. Erwin dice:

    El resultado es 6.6?

  7. barbara dice:

    muchas gracias pude entender este teorema

  8. ronald dice:

    Muchas gracias, sigan con mas contenido como este

  9. maileth dice:

    faltaron las formulas para hallar los angulos ke son muy diferentes

  10. BETTY BOADA VARGAS dice:

    si tengo un triangulo del cual solo conozco un lado y se que tiene un angulo recto como halo los demas lados y angulos

    • Guille dice:

      si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: (a) al cuadrado= (b) al cuadrado mas (c) al cuadrado

    • Respuestas dice:

      Guille, en este caso faltan datos, tanto para el teorema del coseno como para el de Pitágoras que propones.
      (Como se indica en esta página, el teorema del coseno es una generalización del de Pitágoras).

    • Pablo dice:

      para ese caso usas teorema del seno

    • Respuestas dice:

      No Pablo, el teorema del seno requiere más datos iniciales de los que plantea Betty.

    • Respuestas dice:

      Faltan datos. Consulta Resolución de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS, en el apartado del triángulo equilátero

  11. juan dice:

    no entiendo ni mergas

  12. angie daniela dominguez dice:

    las diagonales del paralelogramo mide 12 cm y el ángulo entre ellas mide 50º ¿ cuanto mide cada uno de los lados del paralelogramo? ayuda por favor tengo examen de este caso y no comprendo como hacerlo

    • Respuestas dice:

      Con las diagonales se te forman cuatro triángulos isósceles. Los lados iguales son media diagonal, es decir, 6 cm.
      En dos triángulos, el ángulo entre los lados de 6 cm es de 50°
      En los otros dos triángulos, lados iguales, también de 6 cm y el ángulo entre lados de 6 cm de (360° – 2*50°)/2 = 140°
      Aplicar el teorema del coseno en los dos casos para saber las dos longitudes de lados diferentes del paralelogramo.
      a2 = 62 + 62 – 2*6*6*cos 50°
      a’2 = 62 + 62 – 2*6*6*cos 140°
      Angie Daniela, dejo que termines el problema sumando los cuatro lados hallados.
      P = 2 * a + 2 * a’

  13. Dianna dice:

    Dos aviones parten de un aeropuerto a la misma hora, uno con dirección N53°O llevando una velocidad constante de 600 km/h, el otro avión con una velocidad constante de 500 km/h, con un rumbo S53°O. ¿A qué distancia se encuentran los aviones uno de otro después de media hora de vuelo?
    *alguien que se apiade y me lo pase por amor ♥*(con todo y sus operaciones y cm representarlo) ~si no es muchooooo pedir… ♥

    • Respuestas dice:

      Dianna, vas muy directa, ya que se resuelve con el teorema del coseno, que es la página donde estás.
      Aquí se forma un triángulo.
      El vértice A es el aeropuerto origen.
      Llámale C al punto donde se encuentra el primer avión a la media hora de vuelo. AC es el lado b del triángulo.
      Llámale B al punto donde llega el segundo avión en el mismo momento. AB es el lado c del triángulo.
      El ángulo que forman los lados b y c es de 180 – 53 – 53 = 74°
      Te falta la distancia entre aviones, que será BC, el lado a.
      La longitud de b es de 300 km (recuerda en el MRU, x = vt) o sea 600*0,5 = 300 Km
      La longitud de c es de 250 km (recuerda en el MRU, x = vt) o sea 500*0,5 = 250 Km
      Ya tienes los datos para hallar a mediante el teorema del coseno.
      a2 = b2 + c2– 2bc cos A
      a2 = 3002 + 2502 – 2bc cos 74°
      Termina los cálculos, por favor. El lado a será la distancia en km entre los dos aviones.

  14. diego contreraz dice:

    no entiiendo Nda

  15. agustin dice:

    de un triangulo isosceles

    • Respuestas dice:

      Mediante el teorema del coseno. En la página “Área de un triángulo” de Universo Fórmulas tienes un ejercicio resuelto que te puede aclarar el procedimiento.

  16. agustin dice:

    alguien sabe como calcular sus angulos iguales sabiendo cuanto mide la base y sus lados iguales????????????????

  17. VIANEY dice:

    LA VERDAD ESTO SE ME DIFICULTA UN POCO AL DESPEJAR¿¿ ALGUIEN QUE ME PUEDA DAR ALGUN TUTORIAL???

  18. ana quintero dice:

    si se sabe los angulos internos de un triangulo acutangulo como le hago para sacar sus lados ?

  19. fran aceituno dice:

    hay un error, cuando dice calculo de los ángulos de un triangulo… más abajo pone esta oración: ¨Mediante el teorema del coseno se pueden calcular los lados de un triángulo sabiendo todos sus lados. ¨ Saludos

  20. Ignacio dice:

    la ultima parte del ejemplo es incorrecta, se le suma 4.176 cuando debe restarsele, resultando en vez de 7.5, 6.91

    • Universo Formulas dice:

      Hola Ignacio,
      Tienes razón, el cálculo era erróneo, ya que había que restar 4.176 y no sumarlo.
      Ya lo hemos corregido, muchas gracias por avisarnos del error.
      Un cordial saludo.

  21. Ramón Martínez S. dice:

    Página muy buena , la recomiendo a quién desee aprender , repasar o recordar , estas funciones de Trigonometría , que sirve en todos los campos del quehacer , campo, ciudad y en donde se requiera cálculos . MUY BUENA

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