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Elementos notables de un triángulo (o cevianas)

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Los triángulos tienen unos segmentos (también llamados cevianas) y puntos que determinan una serie de elementos importantes.

Altura de un triángulo

Dibujo de las tres alturas de un triángulo y del ortocentro.

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.

Hay tres alturas (ha, hb y hc), según a que lado está asociada dicha altura. A partir de la fórmula de Herón, conociendo los tres lados (a, b y c), se pueden hallar las tres alturas:

Fórmula de las tres alturas del triángulo.

Dibujo de las tres alturas de un triángulo y del ortocentro.

Las tres alturas del triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro (H).

Las alturas podrían estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. El ortocentro también será exterior en los triángulos obtusángulos. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.

Descárgate esta calculadora para obtener los resultados de las fórmulas de esta página. Elige los datos iniciales e introdúcelos en el recuadro superior izquierdo. Para resultados, pulsa INTRO.

Triangulo-total.rar         o bien   Triangulo-total.exe      

Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

Mediana de un triángulo

Dibujo de las tres medianas de un triángulo y del baricentro.

La mediana de un triángulo es el segmento que une uno de sus vértices con el centro del lado opuesto.

Hay tres medianas (ma, mb y mc), según de que vértice parta ésta. La longitud de las medianas se calcula a partir del teorema de la mediana:

Fórmula de las tres medianas del triángulo.

Las tres medianas de un triángulo confluyen en un punto llamado baricentro o centroide (G).

En cualquier mediana, la distancia entre el baricentro (o centroide) G y el centro de su lado correspondiente es 1/3 de la longitud de dicha mediana.

En física, el baricentro (G) sería el centro de gravedad del triángulo.

Mediatriz de un triángulo

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Dibujo de las tres mediatrices de un triángulo y del circuncentro.

La mediatriz de un triángulo es la mediatriz asociada a uno de sus lados, es decir, la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el punto medio (o centro) de éste.

La mediatriz de un segmento es una recta, lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de dicho segmento.

Dibujo de las tres mediatrices de un triángulo, el circuncentro y la circunferencia circunscrita.

Existen tres mediatrices en un triángulo (Ma, Mb y Mc), según el lado del triángulo al que se refieren (a, b o c).

Las tres mediatrices de un triángulo confluyen en un punto llamado circuncentro.

El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo, ya que equidista de sus tres vértices.

El radio (R) de la circunferencia circunscrita se halla mediante la fórmula:

Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita en el triángulo.

Dibujo de las circunferencias circunscrita e inscrita para la relación entre sus radios.

La relación entre el radio R del circuncentro O (mediante las mediatrices) y el radio r del incentro I (mediante las bisectrices) es:

Fórmula de la relación entre los radios de la circunferencia circunscrita e inscrita en un triángulo.

Bisectriz de un triángulo

Dibujo de las tres bisectrices de un triángulo y del incentro.

La bisectriz de un triángulo es el segmento que, dividiendo uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

Existen tres bisectrices (Ba, Bb y Bc), según el ángulo en el que empieza. La longitud de las bisectrices se calculan con la fórmula:

Fórmula de las tres bisectrices del triángulo.

Las tres bisectrices de un triángulo confluyen en un punto llamado incentro (I). Éste siempre es un punto interior de cualquier triángulo.

Dibujo de las tres bisectrices de un triángulo, el incentro y la circunferencia inscrita.

El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:

Fórmula del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Resumen

Los elementos notables los resumimos en esta lista:

Ejercicio 1

Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a = 4,5 cm, b = 4 cm y c = 3 cm.

¿Cuales serán sus alturas ha, hb y hc?

Dibujo del ejercicio del circuncentro de un triángulo

Primero calcularemos el semiperímetro (s).

Cálculo del semiperímetro en el ejercicio 1b del ortocentro del triángulo

Ahora podemos calcular las tres alturas, aplicando las fórmulas correspondientes.

Y las tres alturas serán ha:

Cálculo de la altura a en el ejercicio 1b del ortocentro del triángulo

hb:

Cálculo de la altura b en el ejercicio 1b del ortocentro del triángulo

Y hc:

Cálculo de la altura c en el ejercicio 1b del ortocentro del triángulo

Ejercicio 2

Dibujo de un ejemplo de triángulo para el cálculo de sus medianas.

Sea un triángulo de lados conocidos, siendo estos a=2 cm, b=4 cm y c=3 cm.

¿Cuales son sus medianas ma, mb y mc?

Cálculo de las tres medianas del triángulo.

Mediante la fórmula anterior se obtiene que las medianas son ma=3,39 cm, mb=1,58 cm y mc=2,78 cm.

Ejercicio 3

a) Hallar el radio R de la circunferencia circunscrita a un triángulo de lados a = 9 cm, b = 7 cm y c = 6 cm.

b) Calcular también el radio r de la circunferencia inscrita, cuyo centro es el incentro, punto de intersección de las bisectrices.

Soluciones:

a)

Dibujo del ejercicio del circuncentro de un triángulo

Obtenemos el semiperímetro s

Cálculo del semiperímetro en el ejercicio 1b del circuncentro del triángulo

Aplicamos la fórmula del radio R de la circunferencia circunscrita, dando valores:

Cálculo del radio en el ejercicio 1b del circuncentro del triángulo

Y el resultado es R = 4,50 cm.

b) Podríamos emplear la fórmula del radio r de la circunferencia inscrita:

Cálculo del radio de la circunferencia inscrita en el ejercicio 1b del circuncentro del triángulo

Pero usaremos la fórmula que relaciona R con r, sabiendo los tres lados, ya que llegaríamos al mismo resultado:

Cálculo del resultado de la circunferencia inscrita en el ejercicio 1b del circuncentro del triángulo

El radio r de la circunferencia inscrita será de 1,91 cm.

Dibujo de la circunferencia inscrita en el ejercicio 1b del circuncentro de un triángulo

Ejercicio 4

Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a = 4 cm, b = 3 cm y c = 2 cm.

a) ¿Cuales son sus bisectrices Ba, Bb y Bc?.

Dibujo del ejercicio 4 en el incentro de un triángulo

b) ¿Cual será el radio de la circunferencia inscrita al triángulo trazada desde el incentro?

Dibujo del radio en el ejercicio 4 del incentro de un triángulo

Soluciones:

a) Obtenemos que el semiperímetro es s = 4,5 cm, la mitad del perímetro. Ahora podemos calcular las tres bisectrices mediante las fórmulas conocidas:

Cálculo del semiperímetro en el ejemplo 4 del incentro de un triángulo

b)

Aplicando la fórmula correspondiente, en función de los tres lados, el radio r de la circunferencia inscrita será:

Cálculo del resultado en el ejemplo 4 del incentro de un triángulo

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