Bisectriz de un triángulo

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La bisectriz de un triángulo es el segmento que, dividiendo uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

Existen tres bisectrices (B_a, B_b y B_c), según el ángulo en el que empieza. La longitud de las bisectrices se calculan con la fórmula:

Las tres bisectrices de un triángulo confluyen en un punto llamado incentro (I). Éste siempre es un punto interior de cualquier triángulo.

El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:

La relación entre el radio R del circuncentro O (mediante las mediatrices) y el radio r del incentro I (mediante las bisectrices) es:

Teorema de la bisectriz

En todo triángulo Δ ABC, la razón entre la longitud de dos lados adyacentes al vértice relativo a una de sus bisectrices es igual a la razón entre los segmentos correspondientes en que la bisectriz divide al lado opuesto.

La ecuación del teorema de la bisectriz es:

También se cumple que:

Un procedimiento para hallar la fórmula de una bisectriz se basa en lo siguiente. Si tenemos las ecuaciones de dos rectas que se cruzan en un punto:

La ecuación de las bisectrices formadas a partir del ángulo de dicho par de rectas vienen dadas por la fórmula:

Ejercicio

Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a=3 cm, b=4 cm y c=2 cm.

¿Cuales son sus bisectrices B_a, B_b y B_c? Primero calcularemos el semiperímetro (s).

Obtenemos que el semiperímetro es s=4,5 cm. Ahora podemos calcular las tres bisectrices:

Y las tres bisectrices serán B_a=2,45 cm, B_b=1,47 cm y B_c=3,32 cm.

Otros elementos notables de un triángulo

• Altura de un triángulo
• Mediana de un triángulo
• Mediatriz de un triángulo