Bisectriz de un triángulo

Bisectriz de un triángulo

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Dibujo de las tres bisectrices de un triángulo y del incentro.

La bisectriz de un triángulo es el segmento que, dividiendo uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

Existen tres bisectrices (Ba, Bb y Bc), según el ángulo en el que empieza. La longitud de las bisectrices se calculan con la fórmula:

Fórmula de las tres bisectrices del triángulo.

Descárgate esta calculadora para obtener los resultados de las fórmulas de esta página. Elige los datos iniciales e introdúcelos en el recuadro superior izquierdo. Para resultados, pulsa INTRO.

Triangulo-total.rar         o bien   Triangulo-total.exe      

Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

Las tres bisectrices de un triángulo confluyen en un punto llamado incentro (I). Éste siempre es un punto interior de cualquier triángulo.

Dibujo de las tres bisectrices de un triángulo, el incentro y la circunferencia inscrita.

El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:

Fórmula del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Dibujo de las circunferencias circunscrita e inscrita para la relación entre sus radios.

La relación entre el radio R del circuncentro O (mediante las mediatrices) y el radio r del incentro I (mediante las bisectrices) es:

Fórmula de la relación entre los radios de la circunferencia circunscrita e inscrita en un triángulo.

Teorema de la bisectriz

Dibujo de la teorema de la bisectriz

En todo triángulo Δ ABC, la razón entre la longitud de dos lados adyacentes al vértice relativo a una de sus bisectrices es igual a la razón entre los segmentos correspondientes en que la bisectriz divide al lado opuesto.

La ecuación del teorema de la bisectriz es:

Fórmula del teorema de la bisectriz

También se cumple que:

Cálculos en el teorema de la bisectriz de un triángulo

Un procedimiento para hallar la fórmula de una bisectriz se basa en lo siguiente. Si tenemos las ecuaciones de dos rectas que se cruzan en un punto:

Cálculo de las rectas de la bisectriz de un triángulo

La ecuación de las bisectrices formadas a partir del ángulo de dicho par de rectas vienen dadas por la fórmula:

Fórmula de la bisectriz de un triángulo como intersección de dos rectas

Ejercicio

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Ejemplo de un triángulo, sus tres bisectrices y el incentro.

Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a=3 cm, b=4 cm y c=2 cm.

¿Cuales son sus bisectrices Ba, Bb y Bc? Primero calcularemos el semiperímetro (s).

Cálculo del semiperímetro de un triángulo.

Obtenemos que el semiperímetro es s=4,5 cm. Ahora podemos calcular las tres bisectrices:

Cálculo de las tres bisectrices del triángulo.

Y las tres bisectrices serán Ba=2,45 cm, Bb=1,47 cm y Bc=3,32 cm.

Otros elementos notables de un triángulo


AUTOR: Bernat Requena Serra


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21 comentarios en “Bisectriz de un triángulo”

    1. Las bisectrices de un ángulo son rectas. Por lo tanto, infinitas.
      Pero cuando se refiere a la bisectriz de un triángulo se entiende el segmento de la bisectriz de cada ángulo comprendido entre un vértice y el lado opuesto.

    1. Muy bién que te guste. La demostración es un poco larga. Viene de una variación de la fórmula de Herón y del Teorema de la Bisectriz. Si miras la figura de la web, sería que b/c = CM/BM. La longitud de la bisectriz del ángulo A intercepta al lado a en el punto M. Se da que la bisectriz Ba es la raiz cuadrada de (b.c – BM.CM). Y, análogamente para las otras dos.

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