Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

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El teorema de Pitágoras relaciona los catetos de un triángulo rectángulo y su hipotenusa.

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90°) y dos ángulos menores (<90°).

Los dos lados que forman el ángulo recto son catetos. El lado mayor opuesto al ángulo recto es la hipotenusa.

El Teorema de Pitágoras enuncia que:

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de Pitágoras

Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:

Fórmula del teorema de Pitágoras

Área de los cuadrados de los catetos y la hipotenusa en el teorema de Pitágoras

Se pueden construir los dos cuadrados sobre sus catetos (a y b) y el cuadrado sobre la hipotenusa (c).

Geométricamente se puede comprobar que en cualquier triángulo rectángulo se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados formados sobre sus catetos es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa, es decir:

Igualdad de la suma de áres de los cuadrados de los catetos y el área del cuadrado de la hipotenusa en el teorema de Pitágoras

Descárgate esta calculadora para obtener los resultados de las fórmulas de esta página. Elige los datos iniciales e introdúcelos en el recuadro superior izquierdo. Para resultados, pulsa INTRO.

Triangulo-total.rar         o bien   Triangulo-total.exe      

Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

Cálculo de los catetos

Triángulo rectángulo

Gracias al teorema de Pitágoras, en un triángulo rectángulo se puede hallar el valor de un cateto sabiendo el otro cateto y la hipotenusa.

Cálculos de un cateto a partir del otro y la hipotenusa por el teorema de Pitágoras

Es decir, el valor de un cateto se calcula a partir del otro y la hipotenusa mediante la siguiente fórmula:

Fórmula para el cálculo de un cateto a partir del otro y la hipotenusa por el teorema de Pitágoras

Reconocimiento de triángulos rectángulos

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Evaluando la fórmula del teorema de Pitágoras se puede saber si el triángulo es rectángulo. Es más, se puede afirmar de que tipo de triángulo según sus ángulos se trata.

  • c2 = a2 + b2: es un triángulo rectángulo porque se verifica el teorema de Pitágoras.
  • c2 < a2 + b2: es un triángulo acutángulo. Esta desigualdad se cumple para todos los lados: b2 < a2+c2 y a2 < b2+c2.
  • c2 > a2 + b2: es un triángulo obtusángulo. El cuadrado del lado opuesto al ángulo mayor de 90° es más grande que la suma del cuadrado de los otros lados.
Dibujo de tipos de triángulo según sus ángulos

Teorema de Pitágoras generalizado

Dibujo de un triángulo para el teorema de Pitágoras generalizado.

El teorema de Pitágoras se puede extender a toda clase de triángulos. El teorema de Pitágoras generalizado relaciona la longitud de los tres lados de un triángulo cualquiera.

Sea p el segmento de la proyección del lado b sobre el lado c. La fórmula del teorema de Pitágoras generalizado es:

Fórmula del teorema de Pitágoras generalizado.

El segmento p puede cambiar de signo según el tipo de triángulo:

  • α=90°: la proyección sobre c p=0. Se aplica el teorema de Pitágoras al anularse el término. Triángulo rectángulo.
  • α<90°: la proyección sobre c p>0. Triángulo acutángulo.
  • α>90°: la proyección sobre c p<0. Triángulo obtusángulo.
Dibujo los tres triángulos (rectángulo, acutángulo y obtusángulo) y su proyección sobre el lado.

Esta forma del teorema de Pitágoras generalizado, expresado trigonométricamente, es el teorema del coseno.

Dibujo 2 de un triángulo para el teorema de Pitágoras generalizado.

Teorema de Pitágoras en el espacio

Vemos en la figura una ampliación a las tres dimensiones del teorema de Pitágoras, el teorema de Pitágoras en el espacio (ver la diagonal del prisma rectangular (ortoedro)).

Dibujo del teorema de Pitágoras en el espacio

Ejercicio

Ejemplo del área de los cuadrados de los catetos y la hipotenusa en el teorema de Pitágoras

Sea un triángulo rectángulo con los catetos a=4 y b=3, y la hipotenusa c=5.

En este caso se cumple que la suma de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado. Veámoslo:

Ejemplo del cálculo del teorema de Pitágoras

Si se despliegan los cuadrados se observa gráficamente como la suma del área de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa.

Ejemplo de igualdad de la suma de áres de los cuadrados de los catetos y el área del cuadrado de la hipotenusa en el teorema de Pitágoras

Relación entre catetos e hipotenusa

Teorema de la altura

El teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principal ABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente:

En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura

Fórmula del teorema de la altura

Teorema del cateto

El teorema del cateto relaciona los segmentos proyectados por los catetos sobre la hipotenusa con cada uno de los catetos.

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema del cateto.

En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).

Fórmula del teorema del cateto

AUTOR: Bernat Requena Serra


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17 comentarios en “Teorema de Pitágoras”

  1. Vanessa Jimenez de la Cruz

    Esto es muy importante, saber el área y la superficie de un triangulo rectángulo por ejemplo me dejaron explicar y demostrar el teorema de pitagoras como encontrar el área de una hipotenusa con solo tener los dos catetos al igual encontrar el área y el lado de una cateto teniendo el 2° cateto y la hipotenusa

    1. Puedes consultar la fórmula en esta web, Universo Fórmulas, en la página «seno».
      seno (5/2)° = (a/2)/2,5
      Donde a es el lado desigual.
      a = 2*2,5*sen 2,5° = 0,44
      Perímetro, 5,44

  2. Si se entiende nadamas que existen diferentes formas de explicar yo por ejemplo me sirvió mucho esta pagina teoremadepitagoras.info donde vienen ejercicios y vídeos explicativos sobre el teorema de pitágoras, pero en fin cada quien.

  3. Está perfectamente explicado.
    Si no entendéis, me resevo lo que pienso, aunque si no sabéis escribir, las matemáticas dejadlas en paz.

    no me sirvio
    No me sirvió. Nota: ¿Para qué no te sirvió?.

    no le entendi
    No lo entendí. Nota: ¿Qué parte?.

    me sirbio le entendi
    Me sirvió, lo entendí. Nota: sin comentarios.

    1. ???si mejor reservate que algunos no entiendan no significa que tu eres el mejor te recuerdo que tu también entraste a esta pagina para saber de que era el teorema de pitagora

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