Teorema de la tangente

Teorema de la tangente

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El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.

Fórmula del teorema de la tangente

Aplicaciones del teorema de la tangente

  • Sabiendo un lado y dos ángulos, calcular los otros dos lados y el otro ángulo.
  • Sabiendo dos lados y un ángulo, calcular el otro lado y los otros dos ángulos.

Ejercicio

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Dibujo de un ejemplo de triángulo para calcular un lado por el teorema de la tangente.

Sea un triángulo con dos lados conocidos (a=4,2 cm y b=3,8 cm) y un ángulo conocido (C=60º). Se desea hallar A, B y c.

Sabiendo que la suma de los ángulos de un triángulo son 180º:

Cálculo de la suma de los ángulos A más B

Por el teorema de la tangente tenemos que:

Cálculo de la resta de los ángulos A menos B

Por lo tanto, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (A y B).

Cálculo del sistema de dos ecuaciones para obtener A y B.

Se obtiene que A=64,95° y B=55,05°.

El lado c se podría hallar igualmente por el teorema de la tangente, pero, para simplificar, lo haremos por el teorema del seno.

Cálculo del lado c por el teorema del seno

El lado c=4,02 cm.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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10 comentarios en “Teorema de la tangente”

    1. De operar con fracciones.
      tan [(A – B) / 2] = (1,732 * 0,4) / 8 = 1,732 / (8 / 0,4) = 1,732 / 20

    1. ¿Qué quieres decir con «cada uno»? (¿A y B?
      ¿Cada lado?
      Fíjate en lo que se dice en la página:
      Aplicaciones del teorema de la tangente

      • Sabiendo un lado y dos ángulos, calcular los otros dos lados y el otro ángulo.
      • Sabiendo dos lados y un ángulo, calcular el otro lado y los otros dos ángulos

      .

      Y mira lo que se dice en Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Cualquier triángulo puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, siendo al menos uno de ellos un lado.

    1. En la página Razones trigonométricas de UNIVERSO FÓRMULAS. Apartado Razones trigonométricas de ángulos característicos

    1. El resultado del ejercicio está bien, pero, como dices, tan(A-B)/2 = 0,0866. Falta el primer cero decimal. El resto, incluido el resultado, es todo correcto.

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