Teorema de la tangente

El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.

Aplicaciones del teorema de la tangente

• Sabiendo un lado y dos ángulos, calcular los otros dos lados y el otro ángulo.
• Sabiendo dos lados y un ángulo, calcular el otro lado y los otros dos ángulos.

Ejercicio

Sea un triángulo con dos lados conocidos (a=4,2 cm y b=3,8 cm) y un ángulo conocido (C=60º). Se desea hallar A, B y c.

Sabiendo que la suma de los ángulos de un triángulo son 180º:

Por el teorema de la tangente tenemos que:

Por lo tanto, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (A y B).

Se obtiene que A=64,95º y B=55,05º.

El lado c se podría hallar igualmente por el teorema de la tangente, pero, para simplificar, lo haremos por el teorema del seno.

El lado c=4,02 cm.