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Arco capaz

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Dibujo de un arco capaz

El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos del plano que unidos con los extremos de un segmento AB forman siempre, desde cada uno de esos puntos, un mismo ángulo.

El segundo teorema de Tales es un caso particular del arco capaz, en el que el segmento AB es a la vez diámetro e hipotenusa, mientras que el ángulo constante es de 90°.

Construcción geométrica de un arco capaz

Los datos iniciales son el segmento AB y el valor del ángulo constante α.

Se siguen los siguientes pasos:

  1. Con un compás se trazan, desde A y B dos arcos por cuya intersección pasa la mediatriz del segmento AB. Trazar la mediatriz de AB.
  2. Desde el extremo A se dibuja la recta que forma un ángulo α con AB.
  3. Desde A se traza la perpendicular a la última recta dibujada. Esta perpendicular cortará a la mediatriz en el punto O.
  4. El punto O es el centro del arco capaz, desde el que se traza el arco de circunferencia que parte desde A a B, con radio OA.

Dibujo de como dibujar un arco capaz

Todos los puntos del arco capaz “ven” al segmento AB con el mismo ángulo α.

El arco capaz tiene la propiedad de que su centro O está unido con los extremos A y B del segmento con sendos radios OA y OB que forman un ángulo 2α.

Resolución geométrica de triángulos, conociendo la base, la altura y el ángulo superior

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Se resuelve geométricamente trazando el arco capaz correspondiente a partir del segmento de la base y del ángulo superior. Veámoslo con un ejercicio.

Ejercicio

Hallar los elementos restantes de un triángulo del que se sabe que la base AB mide 5 cm, su ángulo opuesto C = 30° y la altura sobre esta base 7 cm.

Solución:

Por procedimiento geométrico, se traza el arco capaz correspondiente a ese segmento AB de la base de 5 cm y a un ángulo de 30°.

Se traza una línea paralela a la base separada de ella los 7 cm de la altura del triángulo.

Los dos puntos (C y C’) en que intersecta la paralela al arco capaz serán los dos vértices de los dos triángulos simétricos ΔABC y ΔABC’ que cumplen las condiciones del ejercicio. Veámoslo en el dibujo.

Dibujo del ejemplo 1 de un arco capaz

Con instrumentos geométricos, como transportador de ángulos y regla graduada, obtenemos que el ángulo obtuso mide 103,7° y el agudo, 46,3°, mientras que el lado mayor mide 9,7 cm y el menor, 7,2 cm.

Finalmente, el área la obtenemos por la fórmula básica del área del triángulo:

Cálculo de la solución en el ejemplo 1 de arco capaz

Se obtiene que el área es de 12,5 cm2.

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1 respuesta

  1. RAMON dice:

    ¡¡Excelente!!

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