La multiplicación de polinomios es otro polinomio resultado de la suma de cada una de las posibles multiplicaciones de monomios obtenidas, multiplicando cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo polinomio. En el proceso, hay que tener en cuenta los signos.
Después de estos productos, se reducen los monomios semejantes.
Esta multiplicación cruzada de los monomios de cada polinomio factor se puede realizar por dos procedimientos: multiplicación en fila y multiplicación en columna o forma vertical.
En la multiplicación en fila se van colocando en fila cada combinación sucesiva de multiplicación de monomios, con su signo resultante, reduciendo luego los monomios semejantes.
En la multiplicación en columna:
- Se coloca en el nivel superior el polinomio más largo, si lo hay y, debajo, el segundo polinomio factor.
- Debajo de una línea horizontal, en una primera fila se sitúan los monomios producto del primer término del producto inferior por cada uno de los del polinomio factor superior.
- Se repite la operación en el término siguiente del polinomio factor inferior, colocando cada monomio resultante de manera que se formen columnas de monomios semejantes.
- Debajo de otra línea horizontal, se colocan los monomios resultantes de la simplificación de cada columna de monomios semejantes.
La multiplicación en columna se aplica en el ejercicio 2.
Polinomio al cuadrado
El cuadrado de un polinomio (a +b +… +n)² es la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más los dobles productos de cada término por cada uno de los términos siguientes (dicho de otra forma, más el doble de la suma de cada par de productos posibles de sus términos).
Multiplicación de monomio por polinomio
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio, siguiendo la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. Se suman los productos obtenidos:
Multiplicación de binomios
La multiplicación de binomios sigue el mismo procedimiento general para la multiplicación de polinomios.
Una regla para facilitar la multiplicación de binomio por binomio es el método FOIL. Es el acónimo inglés de “F” (first, primeros en español), “O” (outside, externos), “I” (inside, internos) y “L” (last, últimos)
Se desarrolla en el ejercicio 1.
Ejercicios de multiplicación de polinomios
Ejercicio 1
Hallar la multiplicación de estos dos binomios:
Solución:
Se reducen los monomios semejantes, dejando el polinomio resultante ordenado de mayor a menor índice:
Ejercicio 2
Realizar la multiplicación de estos dos polinomios, mediante la multiplicación en fila y en columna (o vertical):
Solución:
La mecánica, en primer lugar, se realizará como en el ejercicio anterior, es decir, multiplicación en fila:
Se simplifican los monomios semejantes, y se ordena el polinomio resultante:
Realizando la misma operación mediante la multiplicación en columna o forma vertical, se comprueba que se llega al mismo resultado:
Ejercicio 3
Multiplicar estos dos polinomios con dos variables:
Solución:
Reducir los dos monomios semejantes, y ordenar el polinomio resultante:
Grado del producto de polinomios
El grado del polinomio producto es la suma de los grados de los polinomios factores.
- El grado del producto en el ejercicio 1 será:
Un polinomio de tercer grado.
- Y el grado (o grado absoluto) del producto del ejercicio 3 será:
El polinomio producto de este ejercicio 3 es un polinomio de sexto grado.
En este mismo ejercicio, el grado relativo a x en el producto es 5, mientras que el grado relativo a y en el producto es 1.
Propiedades del producto de polinomios
Teniendo los polinomios cualquiera P(x), Q(x) y R(x), en el producto de polinomio por polinomio se cumplen las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa: el producto no varía si asociamos factores a conveniencia para agilizar la operación
- Propiedad conmutativa: el orden de los polinomios factores no altera el producto:
- Propiedad distributiva respecto a la suma: Se cumple que:
- Elemento neutro: En la multiplicación de polinomios existe el elemento neutro, que es el llamado polinomio unidad U(x), que tiene todos los coeficientes nulos, excepto el término independiente, de valor 1:
De tal manera que, multiplicando cualquier polinomio P(x) por U(x), el producto es el polinomio mismo P(x):
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