Multiplicación de polinomios

La multiplicación de polinomios es otro polinomio resultado de la suma de cada una de las posibles multiplicaciones de monomios obtenidas, multiplicando cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo polinomio. En el proceso, hay que tener en cuenta los signos.

Después de estos productos, se reducen los monomios semejantes.

Esta multiplicación cruzada de los monomios de cada polinomio factor se puede realizar por dos procedimientos: multiplicación en fila y multiplicación en columna o forma vertical.

En la multiplicación en fila se van colocando en fila cada combinación sucesiva de multiplicación de monomios, con su signo resultante, reduciendo luego los monomios semejantes.

En la multiplicación en columna:

  • Se coloca en el nivel superior el polinomio más largo, si lo hay y, debajo, el segundo polinomio factor.
  • Debajo de una línea horizontal, en una primera fila se sitúan los monomios producto del primer término del producto inferior por cada uno de los del polinomio factor superior.
  • Se repite la operación en el término siguiente del polinomio factor inferior, colocando cada monomio resultante de manera que se formen columnas de monomios semejantes.
  • Debajo de otra línea horizontal, se colocan los monomios resultantes de la simplificación de cada columna de monomios semejantes.

La multiplicación en columna se aplica en el ejercicio 2.

Polinomio al cuadrado

El cuadrado de un polinomio (a +b +… +n)² es la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más los dobles productos de cada término por cada uno de los términos siguientes (dicho de otra forma, más el doble de la suma de cada par de productos posibles de sus términos).

Fórmula de un polinomio al cuadrado

Multiplicación de monomio por polinomio

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio, siguiendo la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. Se suman los productos obtenidos:

Fórmula de la multiplicación de un monomio por un polinomio

Multiplicación de binomios

La multiplicación de binomios sigue el mismo procedimiento general para la multiplicación de polinomios.

Una regla para facilitar la multiplicación de binomio por binomio es el método FOIL. Es el acónimo inglés de “F” (first, primeros en español), “O” (outside, externos), “I” (inside, internos) y “L” (last, últimos)

Fórmula de la multiplicación de binomios

Se desarrolla en el ejercicio 1.

Ejercicios de multiplicación de polinomios

Ejercicio 1

Hallar la multiplicación de estos dos binomios:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Solución del ejercicio 1

Se reducen los monomios semejantes, dejando el polinomio resultante ordenado de mayor a menor índice:

Solución reducida del ejercicio 1

Ejercicio 2

Realizar la multiplicación de estos dos polinomios, mediante la multiplicación en fila y en columna (o vertical):

Enunciado del ejercicio 2

Solución:

La mecánica, en primer lugar, se realizará como en el ejercicio anterior, es decir, multiplicación en fila:

Multiplicación en fila en el ejercicio 2

Se simplifican los monomios semejantes, y se ordena el polinomio resultante:

Simplificando en el ejercicio 2

Realizando la misma operación mediante la multiplicación en columna o forma vertical, se comprueba que se llega al mismo resultado:

Solución en el ejercicio 2

Ejercicio 3

Multiplicar estos dos polinomios con dos variables:

Enunciado del ejercicio 3

Solución:

Primer paso del ejercicio 3

Reducir los dos monomios semejantes, y ordenar el polinomio resultante:

Resultado del ejercicio 3

Grado del producto de polinomios

El grado del polinomio producto es la suma de los grados de los polinomios factores.

  • El grado del producto en el ejercicio 1 será:
    Grado del polinomio del ejercicio 1

    Un polinomio de tercer grado.

  • Y el grado (o grado absoluto) del producto del ejercicio 3 será:
    Grado del polinomio del ejercicio 3

    El polinomio producto de este ejercicio 3 es un polinomio de sexto grado.

    En este mismo ejercicio, el grado relativo a x en el producto es 5, mientras que el grado relativo a y en el producto es 1.

Propiedades del producto de polinomios

Teniendo los polinomios cualquiera P(x), Q(x) y R(x), en el producto de polinomio por polinomio se cumplen las siguientes propiedades:

  • Propiedad asociativa: el producto no varía si asociamos factores a conveniencia para agilizar la operación
    Propiedad asociativa en el producto de polinomios
  • Propiedad conmutativa: el orden de los polinomios factores no altera el producto:
    Propiedad conmutativa en el producto de polinomios
  • Propiedad distributiva respecto a la suma: Se cumple que:
    Propiedad distributiva respecto a la suma en el producto de polinomios
  • Elemento neutro: En la multiplicación de polinomios existe el elemento neutro, que es el llamado polinomio unidad U(x), que tiene todos los coeficientes nulos, excepto el término independiente, de valor 1:
    Elemento neutro en el producto de polinomios

    De tal manera que, multiplicando cualquier polinomio P(x) por U(x), el producto es el polinomio mismo P(x):

    Polinomio unidad en el producto de polinomios

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