La división de polinomios (o división polinómica, o división polinomial), de un polinomio P(x) por otro Q(x) requiere que Q(x) ≠ 0 y que el grado de P(x) sea igual o mayor que el de Q(x).
Si la división es exacta, se cumplirá:
Cuando la división no es exacta, aparecerá al final del procedimiento otro polinomio llamado resto o resíduo R(x) y escribiremos indistintamente:
El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.
La imagen convencional de una división aritmética trasladada a la división polinómica sería:
Procedimiento para la división de polinomios
El procedimiento o algoritmo de la división polinomial que se va a describir, sigue los mismos pasos que los de la división aritmética con números enteros, con algunas particularidades sencillas. Es la llamada división larga:
- Colocar el polinomio dividendo a la izquierda y el polinomio divisor a la derecha.
- Los dos polinomios deben de estar ordenados (del monomio de mayor índice al de menor índice).
- Si el polinomio del dividendo es incompleto (le falta algún índice en sus términos) se deja un espacio en ese lugar.
- Recordemos que el monomio principal de un polinomio es el de mayor grado. Como los polinomios están ordenados, los monomios principales son los primeros de la izquierda en dividendo y divisor.
Sigamos el procedimiento con un caso concreto:
El grado del dividendo no es inferior al del divisor. El polinomio dividendo está ordenado y es incompleto. Le falta el término de primer grado. Veamos en la imagen la disposición y como en el lugar del término ausente se deja un espacio vacío, coloreado en amarillo.
- El divisor a la izquierda. El dividendo, a la derecha encerrado en una caja. Los dos primeros términos, los monomios principales están coloreados en rojo.
Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor. El monomio cociente 3x² se coloca debajo de la caja.
- Ese primer monomio cociente se multiplica por los términos del polinomio divisor, colocándose el resultado debajo del grado correspondiente del dividendo, con el signo cambiado. Se suman obteniendo el primer resto, al que se le añaden los siguientes términos del dividendo inicial (en este caso -3).
- Se repite la operativa, dividiendo ahora el primer término de los nuevos restos obtenidos por el primer término del divisor.
- El procedimiento se repite hasta obtener un resto de grado menor al del divisor. La operación habrá terminado, quedando el cociente y el resto de la división de estos polinomios.
El cociente es C(x) = 3x² +2 y el resto o residuo R(x) = -3x² -5.
Se cumple que el grado del resto (segundo grado) es inferior al grado del divisor (tercer grado).
El grado del cociente siempre es la diferencia entre el grado del divisor y el grado del dividendo (aquí, 2 = 5–3).
Cuando el resto es nulo, la división es exacta. El resultado sería:
En este caso, se habrá descompuesto el polinomio en factores.
División por la regla de Ruffini
La regla de Ruffini (o división sintética) es aplicable cuando el divisor Q(x) es un binomio del tipo x – a. Como el grado de este divisor es uno, el grado del resto R(x) será cero. Obtendremos un número entero en ese resto, que será nulo (cero) cuando la división sea exacta. En ese caso, a será una raíz del polinomio dividendo P(x).
El teorema del resto informa de manera sencilla si un polinomio es divisible por un binomio del tipo x – a y , en caso contrario, el valor del resto.
División de polinomios con fracciones
Para dividir dos polinomios con fracciones, se opera como en la división de fracciones numéricas: se multiplica el primer polinomio fracción por el inverso del segundo. Dicho de otra manera, se obtiene multiplicando «en cruz» los dos polinomios fraccionarios.
Factorizando y simplificando el resultado.
Ejercicios
Ejercicio 1
Realizar esta división polinomio entre polinomio:
Solución:
Se puede realizar la división por que el dividendo no es nulo y su grado no es superior al del dividendo.
Los dos polinomios están ordenados. El dividendo es un polinomio incompleto, porque le falta el término de tercer grado. En su lugar se dejará un espacio en blanco.
Procedemos a realizar los pasos de la división larga, dividiendo en cada etapa, el término de mayor grado del dividendo (3x4) y de los restos sucesivos por el término de mayor grado del divisor (x²):
Se ha finalizado el procedimiento llegando a un resto nulo. La división es exacta. El polinomio dividendo se puede descomponer en dos factores:
Ejercicio 2
Realizar la división de estos polinomios con fracciones:
