Productos notables

Se llaman productos notables (o identidades notables) a ciertas multiplicaciones algebraicas frecuentes cuyo desarrollo conviene conocer, sin necesidad de realizar las operaciones.

Los más comunes son:

  1. Cuadrado de una suma
  2. Cuadrado de una diferencia
  3. Suma por diferencia

Aunque también existen otros casos especiales de identidades notables que conviene conocer, como:

Otros contenidos

  1. Fórmulas de las identidades notables
  2. Ejemplos de productos notables
  3. Ejercicios resueltos

Fórmulas de las identidades notables

A continuación se puede observar en la siguiente tabla las fórmulas de los productos notables más importantes. Todas ellas están desarrolladas y explicadas posteriormente.

Fórmulas de los productos notables

Ejemplos de productos notables

Veamos algunos ejemplos de identidades notables:

Ejemplos de productos notables

Cuadrado de una suma

El cuadrado de una suma del tipo: (a + b)², es igual al cuadrado del primer monomio, más el cuadrado del segundo, más el doble del primero por el segundo.

Fórmula del cuadrado de una suma

Demostración:

Demostración de la fórmula del cuadrado de una suma

De este desarrollo resulta el trinomio cuadrado perfecto, que es un producto notable.

Veamos algún ejemplo:

Ejemplos de binomios al cuadrado

Cuadrado de una diferencia

El cuadrado de una diferencia (a – b)² es igual al cuadrado del primer monomio, menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Fórmula del cuadrado de una diferencia

Demostración:

Demostración de la fórmula del cuadrado de una resta

Suma por diferencia

La suma por diferencia (o diferencia de cuadrados) es un binomio resultado de multiplicar dos binomios conjugados.

Fórmula de la suma por diferencia

A partir de una diferencia de cuadrados se llega a una factorización por binomios conjugados.

Binomio al cuadrado

Los binomios al cuadrado (o cuadrados de un binomio o binomios cuadrado perfecto), en el caso del cuadrado de una suma del tipo: (a + b)², es igual al cuadrado del primer monomio, más el cuadrado del segundo, más el doble del primero por el segundo.

Fórmula del cuadrado de una suma

De este desarrollo resulta el trinomio cuadrado perfecto, que es un producto notable.

Cuando el binomio al cuadrado es el cuadrado de una diferencia (a – b)² el desarrollo cambia en que hay que ponerle el signo menos al doble del primero por el segundo.

Fórmula del cuadrado de una diferencia

Binomio al cubo

Los binomios al cubo (a + b)³ es igual al cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Fórmula del binomio suma al cubo

Este desarrollo se llama cuatrinomio cubo perfecto.

El cubo de un binomio se puede escribir así, teniendo en cuenta el desarrollo del binomio al cuadrado:

Demostración 1 del binomio suma

Binomio de Newton

El binomio de Newton, o teorema del binomio es un procedimiento que desarrolla la potencia de un binomio a un índice positivo cualquiera n.

Expresión del binomio de Newton

Al desarrollo del teorema del binomio se puede llegar por dos procedimientos:

  • Con el algoritmo o fórmula que lo desarrolla, llamada teorema generalizado del binomio.
    Desarrollo del binomio de Newton

    Y ésta es la expresión de un número combinatorio que refleja las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k. Con un ejemplo:

    Expresión de un número combinatorio
  • Con el triángulo de Pascal, llamado también triángulo de Tartaglia, se obtienen también los coeficientes de cada desarrollo a partir de la fila n + 1 del binomio de Newton (a + b)n.
    Dibujo del triangulo de Pascal

    El triángulo de Pascal es infinito y simétrico. El vértice es un 1. La segunda fila son dos unos. En las filas siguientes, cada número es la suma de los dos de la fila superior, Y así, sucesivamente. (A izquierda y derecha del triángulo hay un cero).

    Por ejemplo, un binomio elevado a la cuarta potencia, obteniendo los coeficientes del triángulo de Pascal:

    Ejemplo del binomio de Newton por el triángulo de Pascal

Diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados (o resta de cuadrados) es un binomio resultado de multiplicar dos binomios conjugados, que se denominan también suma por diferencia.

Fórmula de la suma por diferencia

A partir de una resta de cuadrados se llega a una factorización por binomios conjugados.

Suma de cubos

La suma de cubos perfectos se puede factorizar así:

Fórmula de la suma de cubos

Es una multiplicación de polinomios resultado de un binomio, suma de las bases, multiplicado por un trinomio, resultante del cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Diferencia de cubos

Estos binomios son diferencia de cubos (o resta de cubos):

Ejemplos de la diferencia de cubos

El segundo binomio es también una diferencia de cubos perfectos, pues 1 es el cubo de 1:

Ejemplos 2 de la resta de cubos

La diferencia de cubos se puede factorizar así:

Fórmula de la diferencia de cubos

Es una multiplicación de polinomios resultado de multiplicar un binomio, resta de las bases, por un trinomio resultante del cuadrado de la primera raíz más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Binomios con término común

Binomios con término común se refiere al producto de dos binomios que tienen un término igual en ambos, siendo el otro término diferente.

Esto serían dos ejemplos de binomios con un monomio en común:

Ejemplos de binomios con término en común

El resultado es el cuadrado del término común, más la suma de los monomios no comunes multiplicada por el término común, más el producto de los términos no comunes. Como se ve en este desarrollo, el resultado es un trinomio:

Desarrollo de binomios con un monomio en común

Los binomios con los dos monomios en común, pero uno cambiado de signo, serían un producto notable, en concreto suma por diferencia.

Trinomio al cuadrado

El trinomio al cuadrado (o cuadrado de un trinomio) (a + b + c)² es igual al cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el tercero.

Fórmula del trinomio al cuadrado

No hay que confundir el trinomio al cuadrado con el trinomio cuadrado perfecto, que es el desarrollo de un binomio al cuadrado (a + b)².

En general, el cuadrado de un polinomio (a + b + … + n)² es la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más los doble productos de cada término por cada uno de los términos siguientes.

Trinomio al cubo

El trinomio al cubo (o cubo de un trinomio) es igual a la suma de los cubos de sus tres términos, más el triplo de la suma de los productos de los cuadrados de cada término por los dos restantes, más seis veces el producto de los tres términos.

La fórmula del trinomio elevado a tres es:

Fórmula del trinomio al cubo

Esta fórmula se puede obtener por las reglas de multiplicación de polinomios y por la fórmula del trinomio al cuadrado. No es otra cosa que multiplicar el trinomio por sí mismo tres veces.

Desarrollo del cubo de un trinomio

Los signos resultantes entre los términos del cubo del trinomio dependerán de la regla de signos en las multiplicaciones de los términos. Se verá en los ejemplos.

Ejercicios de productos notables

Ejercicio 1

Desarrollar el cuadrado de este binomio suma.

Enunciado del ejercicio 1 de cuadrado de una suma

Solución:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 2

Desarrollar estos dos cuadrados de una resta.

Enunciado del ejercicio 1 de cuadrado de una resta

Solución:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 3

Resolver estos productos de binomios conjugados:

Enunciado del ejercicio 1 de binomios conjugados

Solución:

Aplicar que suma por diferencia es la diferencia de los cuadrados:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 4

Desarrollar el cuadrado de este binomio:

Enunciado del ejercicio 1 de cuadrado de una suma

Solución:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 5

Desarrollar el cubo de estos dos binomios suma:

Enunciado del ejercicio 1 de cubo de un binomio

Solución:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 6

Desarrollar esta potencia obteniendo los coeficientes a partir del triángulo de Pascal:

Enunciado del ejercicio 2 por el triángulo de Pascal

Solución:

Los coeficientes del desarrollo de una potencia de índice n = 5 se obtienen de la sexta fila (5 + 1) del triángulo de Pascal:

Cálculo de los coeficientes del ejercicio 2

Y la quinta potencia de este binomio, desarrollada conociendo el algoritmo, es:

Solución del ejercicio 2

Ejercicio 7

Resolver estos productos de binomios conjugados:

Enunciado del ejercicio 1 de binomios conjugados

Solución:

Aplicar que suma por diferencia es la resta de los cuadrados:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 8

Factorizar esta suma de cubos:

Enunciado del ejercicio 1 de suma de cubos

Solución:

Una vez que se ha puesto el binomio como suma de cubos:

Solución 1 del ejercicio 1 de suma de cubos

Se aplica la regla del producto de la suma de las bases por el trinomio descrito:

Solución 2 del ejercicio 1 de suma de cubos

Ejercicio 9

Factorizar este binomio:

Enunciado del ejercicio 1 de resta de cubos

Solución:

Se trata de expresar los dos términos como cubos perfectos:

Solución 1 del ejercicio 1

Como sí lo son, se aplica la regla del producto del binomio resta por el trinomio:

Solución 2 del ejercicio 1

Comprobando que el producto vuelve a llevar a la resta de cubos.

Ejercicio 10

Desarrollar estos productos de binomios con término común:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Utilizando la regla descrita, anteriormente, se obtienen los siguientes desarrollos:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 11

Desarrollar el cuadrado de este trinomio:

Enunciado del ejercicio 1 del cuadrado de un trinomio

Solución:

Se desarrolla el cuadrado, se unifican términos semejantes y se ordenan los índices:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 12

Hallar el cubo de este trinomio.

Enunciado del ejercicio 1 del cubo de un trinomio

Solución:

Solución del ejercicio 1

2 comentarios en “Productos notables”

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