Se llaman productos notables (o identidades notables) a ciertas multiplicaciones algebraicas frecuentes cuyo desarrollo conviene conocer, sin necesidad de realizar las operaciones.
Los más comunes son:
Aunque también existen otros casos especiales de identidades notables que conviene conocer, como:
- Binomio al cuadrado
- Binomio al cubo
- Binomio de Newton
- Diferencia de cuadrados
- Suma de cubos
- Diferencia de cubos
- Binomios con término común
- Trinomio al cuadrado
- Trinomio al cubo
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Fórmulas de las identidades notables
A continuación se puede observar en la siguiente tabla las fórmulas de los productos notables más importantes. Todas ellas están desarrolladas y explicadas posteriormente.
Ejemplos de productos notables
Veamos algunos ejemplos de identidades notables:
Cuadrado de una suma
El cuadrado de una suma del tipo: (a + b)², es igual al cuadrado del primer monomio, más el cuadrado del segundo, más el doble del primero por el segundo.
Demostración:
De este desarrollo resulta el trinomio cuadrado perfecto, que es un producto notable.
Veamos algún ejemplo:
Cuadrado de una diferencia
El cuadrado de una diferencia (a – b)² es igual al cuadrado del primer monomio, menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Demostración:
Suma por diferencia
La suma por diferencia (o diferencia de cuadrados) es un binomio resultado de multiplicar dos binomios conjugados.
A partir de una diferencia de cuadrados se llega a una factorización por binomios conjugados.
Binomio al cuadrado
Los binomios al cuadrado (o cuadrados de un binomio o binomios cuadrado perfecto), en el caso del cuadrado de una suma del tipo: (a + b)², es igual al cuadrado del primer monomio, más el cuadrado del segundo, más el doble del primero por el segundo.
De este desarrollo resulta el trinomio cuadrado perfecto, que es un producto notable.
Cuando el binomio al cuadrado es el cuadrado de una diferencia (a – b)² el desarrollo cambia en que hay que ponerle el signo menos al doble del primero por el segundo.
Binomio al cubo
Los binomios al cubo (a + b)³ es igual al cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
Este desarrollo se llama cuatrinomio cubo perfecto.
El cubo de un binomio se puede escribir así, teniendo en cuenta el desarrollo del binomio al cuadrado:
Binomio de Newton
El binomio de Newton, o teorema del binomio es un procedimiento que desarrolla la potencia de un binomio a un índice positivo cualquiera n.
Al desarrollo del teorema del binomio se puede llegar por dos procedimientos:
- Con el algoritmo o fórmula que lo desarrolla, llamada teorema generalizado del binomio.
Y ésta es la expresión de un número combinatorio que refleja las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k. Con un ejemplo:
- Con el triángulo de Pascal, llamado también triángulo de Tartaglia, se obtienen también los coeficientes de cada desarrollo a partir de la fila n + 1 del binomio de Newton (a + b)n.
El triángulo de Pascal es infinito y simétrico. El vértice es un 1. La segunda fila son dos unos. En las filas siguientes, cada número es la suma de los dos de la fila superior, Y así, sucesivamente. (A izquierda y derecha del triángulo hay un cero).
Por ejemplo, un binomio elevado a la cuarta potencia, obteniendo los coeficientes del triángulo de Pascal:
Diferencia de cuadrados
La diferencia de cuadrados (o resta de cuadrados) es un binomio resultado de multiplicar dos binomios conjugados, que se denominan también suma por diferencia.
A partir de una resta de cuadrados se llega a una factorización por binomios conjugados.
Suma de cubos
La suma de cubos perfectos se puede factorizar así:
Es una multiplicación de polinomios resultado de un binomio, suma de las bases, multiplicado por un trinomio, resultante del cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
Diferencia de cubos
Estos binomios son diferencia de cubos (o resta de cubos):
El segundo binomio es también una diferencia de cubos perfectos, pues 1 es el cubo de 1:
La diferencia de cubos se puede factorizar así:
Es una multiplicación de polinomios resultado de multiplicar un binomio, resta de las bases, por un trinomio resultante del cuadrado de la primera raíz más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
Binomios con término común
Binomios con término común se refiere al producto de dos binomios que tienen un término igual en ambos, siendo el otro término diferente.
Esto serían dos ejemplos de binomios con un monomio en común:
El resultado es el cuadrado del término común, más la suma de los monomios no comunes multiplicada por el término común, más el producto de los términos no comunes. Como se ve en este desarrollo, el resultado es un trinomio:
Los binomios con los dos monomios en común, pero uno cambiado de signo, serían un producto notable, en concreto suma por diferencia.
Trinomio al cuadrado
El trinomio al cuadrado (o cuadrado de un trinomio) (a + b + c)² es igual al cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el tercero.
No hay que confundir el trinomio al cuadrado con el trinomio cuadrado perfecto, que es el desarrollo de un binomio al cuadrado (a + b)².
En general, el cuadrado de un polinomio (a + b + … + n)² es la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más los doble productos de cada término por cada uno de los términos siguientes.
Trinomio al cubo
El trinomio al cubo (o cubo de un trinomio) es igual a la suma de los cubos de sus tres términos, más el triplo de la suma de los productos de los cuadrados de cada término por los dos restantes, más seis veces el producto de los tres términos.
La fórmula del trinomio elevado a tres es:
Esta fórmula se puede obtener por las reglas de multiplicación de polinomios y por la fórmula del trinomio al cuadrado. No es otra cosa que multiplicar el trinomio por sí mismo tres veces.
Los signos resultantes entre los términos del cubo del trinomio dependerán de la regla de signos en las multiplicaciones de los términos. Se verá en los ejemplos.
Ejercicios de productos notables
Ejercicio 1
Desarrollar el cuadrado de este binomio suma.
Solución:
Ejercicio 2
Desarrollar estos dos cuadrados de una resta.
Solución:
Ejercicio 3
Resolver estos productos de binomios conjugados:
Solución:
Aplicar que suma por diferencia es la diferencia de los cuadrados:
Ejercicio 4
Desarrollar el cuadrado de este binomio:
Solución:
Ejercicio 5
Desarrollar el cubo de estos dos binomios suma:
Solución:
Ejercicio 6
Desarrollar esta potencia obteniendo los coeficientes a partir del triángulo de Pascal:
Solución:
Los coeficientes del desarrollo de una potencia de índice n = 5 se obtienen de la sexta fila (5 + 1) del triángulo de Pascal:
Y la quinta potencia de este binomio, desarrollada conociendo el algoritmo, es:
Ejercicio 7
Resolver estos productos de binomios conjugados:
Solución:
Aplicar que suma por diferencia es la resta de los cuadrados:
Ejercicio 8
Factorizar esta suma de cubos:
Solución:
Una vez que se ha puesto el binomio como suma de cubos:
Se aplica la regla del producto de la suma de las bases por el trinomio descrito:
Ejercicio 9
Factorizar este binomio:
Solución:
Se trata de expresar los dos términos como cubos perfectos:
Como sí lo son, se aplica la regla del producto del binomio resta por el trinomio:
Comprobando que el producto vuelve a llevar a la resta de cubos.
Ejercicio 10
Desarrollar estos productos de binomios con término común:
Solución:
Utilizando la regla descrita, anteriormente, se obtienen los siguientes desarrollos:
Ejercicio 11
Desarrollar el cuadrado de este trinomio:
Solución:
Se desarrolla el cuadrado, se unifican términos semejantes y se ordenan los índices:
Ejercicio 12
Hallar el cubo de este trinomio.
Solución:
Aquí como que no tienen claro que son los productos notables, noté algunos errores
en qué?