Monomios

Los monomios (o polinomios mónicos) son expresiones algebraicas racionales con un solo término. No hay sumas ni restas entre sus elementos. Se compone de coeficiente y parte literal. Las variables de la parte literal están unidas por operadores como el producto y la potencia con exponente natural. Se polinomios mónicos por estar compuestos por un único monomio. El coeficiente puede ser positivo o negativo. Si es el 1 no suele escribirse.

  1. Ejemplos de monomios
  2. Partes de un monomio
  3. Grado de un monomio
  4. Operaciones con monomios
  5. Ejercicios

Ejemplos de monomios

Veamos algunos ejemplos de monomios:

Ejemplos de monomios

Estas expresiones algebraicas no son monomios porque los exponentes no son enteros positivos o las variables de la parte literal no están unidas solamente por el producto.

Ejemplos de no monomios

Partes de un monomio

Las partes de un polinomio mónico son:

  • Incógnitas o variables. Son letras que representan valores numéricos desconocidos:
    Incógnitas de un monomio
  • Parte literal. Son el conjunto de las letras que representan a las incógnitas dentro de cada término. En la parte literal se incluyen los índices de las incógnitas (las potencias, o veces que una variable se multiplica por sí misma). Los índices, potencias o exponentes son números enteros positivos. Como estos tres ejemplos:
    Parte literal de un monomio
  • Grado. El grado de un monomio o grado absoluto se un monomio es la suma de los exponentes de sus variables. El grado relativo a una de sus variables es la potencia a la que está elevada esa variable:
    Fórmula del grado de un monomio
  • Operadores. Los operadores admitidos en un monomio son el producto y la potenciación a un índice entero positivo.
  • Coeficiente. Es la parte numérica del monomio, de valor fijo y conocido (p.e.: 3 o π). El coeficiente suele ir al principio del monomio y no tiene porqué ser un número entero necesariamente. Si el coeficiente no lleva delante signo, se entiende que este es positivo. Cuando el coeficiente es el 1, este no se escribe:
    Coeficiente de un monomio

Grado de un monomio

El grado de un monomio o grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables.

Fórmula del grado de un monomio

El grado respecto a una variable de un monomio es el índice de esa variable.

Operaciones con monomios

Las operaciones con polinomios mónicos más utilizadas son:

Suma y resta de monomios

La suma y resta de monomios es la misma operación algebraica. La resta de monomios es sumar el segundo monomio con el signo cambiado.

La suma y la resta de monomios solamente puede realizarse con monomios semejantes, los que tienen la misma parte literal donde se incluyen los exponentes de cada variable.

Consiste en sumar o restar los coeficientes manteniendo la parte literal.

No se pueden sumar ni restar monomios con diferente parte literal.

Ver un ejercicio resuelto.

Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios (o producto de monomio por monomio) origina otro monomio, cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los monomios factores y, en la parte literal, todas las variables que intervienen. Cada variable, como base, tiene de exponente la suma de los exponentes de esa letra en sus factores.

El grado del producto es la suma de los grados de los factores.

Ejemplo de una multiplicación de monomios

Ver un ejercicio resuelto.

División de monomios

La división de monomios no siempre origina otro monomio Para que el cociente de dos monomios sea otro monomio, las variables del denominador deben de estar todas en el numerador y, además, las potencias de cada variable del divisor no tienen que ser mayores que las correspondientes en el dividendo.

En el resultado, la parte numérica será el cociente de los coeficientes y la parte literal será el producto de todas las variables elevadas a la diferencia de exponentes.

Ejemplo de una división de monomios

Ver un ejercicio resuelto.

Potencia de un monomio

La potencia de un monomio es otro monomio con cada elemento numérico y literal elevado al exponente indicado en esa potencia.

Ejemplo de una potencia de un monomio

Ver un ejercicio resuelto.

Ejercicios

Ejercicio 1

Enunciado del ejercicio 1 de suma de monomios

Solución:

Solución del ejercicio 1 de suma de monomios

La última operación no puede realizarse por ser diferentes las partes literales.

Ejercicio 2

Hallar el producto de monomio por monomio:

Enunciado del ejercicio 1 de producto de monomio por monomio

Comprobar el grado del producto en el caso c).

Solución:

Solución del ejercicio 1

La operación a) es el producto de una constante por un polinomio mónico. El resultado es otro monomio con la misma parte literal (monomio semejante) y de parte numérica el producto de la constante por la parte numérica del monomio factor.

En el caso c), el grado del producto, suma de sus índices, es 5 + 9 + 1 = 15. Es la suma de los grados de sus factores. El primer factor es de grado 2 + 4 = 6 y el del segundo factor, 3 + 5 + 1 = 9. La suma de los grados de los factores es efectivamente 6 + 9 = 15.

Ejercicio 3

Hallar el cociente de estos polinomios mónicos:

Enunciado del ejercicio 1 de cociente de dos monomios

Solución:

Solución del ejercicio 1

La operación c) no es una división de monomios. El resultado no es otro monomio. Se ha realizado una simplificación de la fracción.

Ejercicio 4

Hallar la tercera potencia de este monomio:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Solución del ejercicio 1

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