La suma algebraica de polinomios es una única operación que comprende tanto la adición o suma de polinomios como la resta o sustracción de polinomios. Y es porque la resta de polinomios es el resultado de sumar al polinomio minuendo el polinomio opuesto del polinomio sustraendo.
La suma de polinomios es otro polinomio resultado de reducir sus términos semejantes presentes en los polinomios sumandos.
En esos términos semejantes, se suman los coeficientes y se deja la parte literal.
El grado del polinomio suma es igual al del polinomio sumando de mayor grado.
Propiedades de la adición de polinomios
Teniendo polinomios cualquiera P(x), Q(x) o R(x), en su suma se cumplen estas propiedades:
- Propiedad asociativa: la suma no varía si asociamos sumandos.
- Propiedad conmutativa: el orden de los polinomios sumandos no altera el resultado:
- Elemento neutro: el polinomio nulo es el que todos los coeficientes son iguales a cero. Su grado también es cero:
Y, para cualquier polinomio P(x), se cumple que:
De tal manera que, sumándole a cualquier polinomio P(x) el polinomio nulo O(x), el resultado es el polinomio mismo P(x).
- Elemento simétrico: Es el polinomio N(x) opuesto a M(x) (sus ´terminos tienen la misma parte literal, pero lo coeficientes correspondientes son iguales y de signo contrario). Sumando un polinomio a su opuesto, el resultado es el polinomio nulo:
Cómo sumar polinomios
Hay dos dos procedimientos: sumar en fila y sumar en columna o forma vertical.
- Sumar en fila:
Sumar en fila o en horizontal polinomios consiste en:
- Ordenar los polinomios de mayor a menor grado y escribirlos sucesivamente encerrados entre paréntesis unidos por el signo más.
- Agrupar los términos semejantes (misma parte literal).
- Reducir los términos semejantes, sumando aritméticamente sus coeficientes.
- Sumar en columna o forma vertical:
Sumar en columna polinomios consiste en:
- Ordenar los polinomios de mayor a menor grado. Colocar un polinomio debajo del anterior.
- Si en algún polinomio es incompleto y falta algún termino de algún grado, los polinomios se escribirán de manera que en cada columna coincidan los términos semejantes de cada uno.
- Sumar los monomios semejantes. El polinomio suma será la fila inferior.
Resta o sustracción de polinomios
Como se ha dicho, en la resta de polinomios, se suma al polinomio minuendo el opuesto al polinomio sustraendo. Para ello, al segundo polinomio se le cambian los signos de todos sus términos:
La adición y sustracción de polinomios lo veremos en estos ejercicios:
Ejercicios de suma y resta de polinomios
Ejercicio 1
Realizar la suma de estos tres polinomios con dos variables.
Solución:
Por mayor sencillez, haremos la suma en columna, o en vertical. La mecánica es la misma que con una variable. Los polinomios ordenados de índice mayor a menor respecto a una de las variables (aquí tomamos la x), dejando los huecos oportunos para que en cada columna hayan términos semejantes:
Ejercicio 2
Realizar la resta de estos polinomios con dos variables.
Solución:
Haremos la resta en columna, o en vertical. La mecánica es la misma que con una variable. Los polinomios ordenados de índice mayor a menor respecto a una de las variables (aquí tomamos la x) dejando los huecos oportunos para que en cada columna hayan términos semejantes:
