Se llaman cocientes notables a ciertas fracciones algebraicas frecuentes que dan un resultado exacto, sin resto. Conviene conocer su desarrollo, sin necesidad de realizar las operaciones.
Cocientes notables a partir de productos notables
De productos notables vistos, se deducen estos cocientes notables sencillos:
- De la diferencia de cuadrados, aparecen estos dos cocientes notables:
- De la diferencia de cubos, aparece este cociente notable:
- De la suma de cubos, aparece este cociente notable:
Forma general de cocientes notables
Los cocientes notables, siendo los exponentes del binomio del denominador la unidad, tienen la forma general:
Su desarrollo es:
El número de términos del cociente es n.
Veamos estos cuatro casos:
- Es cociente notable cuando n es impar. El desarrollo es el descrito general, con signos alternados, empezando por el positivo. Si en este caso n fuese par, no sería cociente notable.
- Es cociente notable tanto si n es par como impar. El desarrollo es el descrito general, con todos los signos positivos.
- Es cociente notable cuando n es par. El desarrollo es el descrito general, con signos alternados, empezando por el positivo. Si en este caso n fuese impar, no sería cociente notable.
- No es cociente exacto ni siendo n par ni impar. Mediante el teorema del resto, se ve, sustituyendo en el divisor x por a.
Habría un residuo de:
El término en la posición k de un cociente con el del desarrollo de un cociente con el divisor de la forma x – a se determina así:
Y el término en la posición k del desarrollo de un cociente con el divisor de la forma x + a se determina así (tiene signos alternos):
Para cualquier caso, aplicando el teorema del resto se averigua si se está ante un cociente notable.
Generalizando, y solo sobre los tres primeros casos de los cuatro anteriores, será cociente notable una expresión del tipo:
Cuando:
Y su desarrollo es:
En la base x, va disminuyendo su índice de r en r, mientras que en la base a, aumenta su índice de s en s.
En este tipo de cocientes, su desarrollo tiene este número de términos:
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
Desarrollo de este cociente notable:
Solución:
Es un cociente notable del tipo 2. Tendrá cinco términos (n = 5) y todos positivos, ya que divide por x – a:
Ejercicio 2
Cual es el sexto término del desarrollo de este cociente notable:
Solución:
Se aplica la fórmula para hallar un término en una determinada posición, correspondiente a un cociente con el divisor de la forma x + a. Este tipo genera una serie de términos con los signos alternos:
Ejercicio 3
Comprobar que no es cociente notable esta división de binomios tipo del 4:
Solución:
Se aplica el teorema del resto.
(Recordemos que el teorema del resto dice: Si un polinomio P(x) se divide por (x – a), el resto R es el resultado de reemplazar en P(x), x por a. El resto será P(a)).
El resto R es 64. No es un cociente notable. Se puede ver el resultado de la división no exacta por una propiedad de la división:
Y la aplicación de la regla de Ruffini, al tratarse del cociente entre un polinomio por otro del tipo x – a:
