Suma y diferencia de cubos

La suma y diferencia de cubos perfectos se puede factorizar en la multiplicación de un binomio por un trinomio:

Fórmula de la suma de cubos

Recordemos que en los cocientes notables podía darse este cociente con la suma de cubos en el numerador:

Cociente con suma de cubos

O, también, con una diferencia de cubos igualmente en el numerador:

Cociente notable con diferencia de cubos

De aquí se deducen estos casos:

  • Suma de cubos: se descompone en el producto de un binomio, suma de las bases, multiplicado por un trinomio, resultante del cuadrado de la primera base, menos el producto de las dos bases, más el cuadrado de la segunda base.
    Fórmula de la suma de cubos
  • Diferencia de cubos: se descompone en el producto de un binomio, resta de las bases, multiplicado por un trinomio, resultante del cuadrado de la primera base, más el producto de las dos bases, más el cuadrado de la segunda base.
    Fórmula de la diferencia de cubos

Una regla mnemotécnica es que en la suma de cubos, el factor binomio también suma y el signo central del trinomio es una resta. Pero en la resta de cubos, el factor binomio igualmente resta y el signo central del trinomio es una suma.

Ejercicios

Ejercicio 1

Factorizar esta suma de cubos:

Enunciado del ejercicio 1 de suma de cubos

Solución:

Una vez que se ha puesto el binomio como suma de cubos:

Solución 1 del ejercicio 1 de suma de cubos

Se aplica la regla del producto de la suma de las bases por el trinomio descrito:

Solución 2 del ejercicio 1 de suma de cubos

Ejercicio 2

Factorizar este binomio:

Enunciado del ejercicio 1 de resta de cubos

Solución:

Se trata de expresar los dos términos como cubos perfectos:

Solución 1 del ejercicio 1

Como sí lo son, se aplica la regla del producto del binomio resta por el trinomio:

Solución 2 del ejercicio 1

Comprobando que el producto vuelve a llevar a la resta de cubos.

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