La suma y diferencia de cubos perfectos se puede factorizar en la multiplicación de un binomio por un trinomio:
Recordemos que en los cocientes notables podía darse este cociente con la suma de cubos en el numerador:
O, también, con una diferencia de cubos igualmente en el numerador:
De aquí se deducen estos casos:
- Suma de cubos: se descompone en el producto de un binomio, suma de las bases, multiplicado por un trinomio, resultante del cuadrado de la primera base, menos el producto de las dos bases, más el cuadrado de la segunda base.
- Diferencia de cubos: se descompone en el producto de un binomio, resta de las bases, multiplicado por un trinomio, resultante del cuadrado de la primera base, más el producto de las dos bases, más el cuadrado de la segunda base.
Una regla mnemotécnica es que en la suma de cubos, el factor binomio también suma y el signo central del trinomio es una resta. Pero en la resta de cubos, el factor binomio igualmente resta y el signo central del trinomio es una suma.
Ejercicios
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Ejercicio 1
Ejercicio 1
Factorizar esta suma de cubos:
Solución:
Una vez que se ha puesto el binomio como suma de cubos:
Se aplica la regla del producto de la suma de las bases por el trinomio descrito:
Ejercicio 2
Factorizar este binomio:
Solución:
Se trata de expresar los dos términos como cubos perfectos:
Como sí lo son, se aplica la regla del producto del binomio resta por el trinomio:
Comprobando que el producto vuelve a llevar a la resta de cubos.