Las operaciones con polinomios que se pueden realizar son las siguientes:
Suma de polinomios
La suma de polinomios es otro polinomio resultado de reducir sus términos semejantes presentes en los polinomios sumandos.
En esos términos semejantes, se suman los coeficientes y se deja la parte literal.
El grado del polinomio suma es igual al del polinomio sumando de mayor grado.
Cómo sumar polinomios
Hay dos dos procedimientos: sumar en fila y sumar en columna o forma vertical.
- Sumar en fila:
Sumar en fila o en horizontal polinomios consiste en:
- Ordenar los polinomios de mayor a menor grado y escribirlos sucesivamente encerrados entre paréntesis unidos por el signo más.
- Agrupar los términos semejantes (misma parte literal).
- Reducir los términos semejantes, sumando aritméticamente sus coeficientes.
- Sumar en columna o forma vertical:
Sumar en columna polinomios consiste en:
- Ordenar los polinomios de mayor a menor grado. Colocar un polinomio debajo del anterior.
- Si en algún polinomio es incompleto y falta algún termino de algún grado, los polinomios se escribirán de manera que en cada columna coincidan los términos semejantes de cada uno.
- Sumar los monomios semejantes. El polinomio suma será la fila inferior.
Resta de polinomios
En la resta de polinomios (o sustracción de polinomios), se suma al polinomio minuendo el opuesto al polinomio sustraendo. Para ello, al segundo polinomio se le cambian los signos de todos sus términos:
Lo veremos en este ejemplo:
Ejemplo
Realizar la resta de estos polinomios:
Solución:
Obtendremos el opuesto del polinomio sustraendo Q(x). Y procederemos a la suma en columna, o en vertical. Los polinomios ordenados de índice mayor a menor dejando los huecos oportunos para que en cada columna hayan términos semejantes:
Multiplicación de polinomios
La multiplicación de polinomios es otro polinomio resultado de la suma de cada una de las posibles multiplicaciones de monomios obtenidas, multiplicando cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo polinomio. En el proceso, hay que tener en cuenta los signos.
Después de estos productos, se reducen los monomios semejantes.
Esta multiplicación cruzada de los monomios de cada polinomio factor se puede realizar por dos procedimientos: multiplicación en fila y multiplicación en columna o forma vertical.
En la multiplicación en fila se van colocando en fila cada combinación sucesiva de multiplicación de monomios, con su signo resultante, reduciendo luego los monomios semejantes.
En la multiplicación en columna:
- Se coloca en el nivel superior el polinomio más largo, si lo hay y, debajo, el segundo polinomio factor.
- Debajo de una línea horizontal, en una primera fila se sitúan los monomios producto del primer término del producto inferior por cada uno de los del polinomio factor superior.
- Se repite la operación en el término siguiente del polinomio factor inferior, colocando cada monomio resultante de manera que se formen columnas de monomios semejantes.
- Debajo de otra línea horizontal, se colocan los monomios resultantes de la simplificación de cada columna de monomios semejantes.
División de polinomios
La división de polinomios (o división polinómica, o división polinomial), de un polinomio P(x) por otro Q(x) requiere que Q(x) ≠ 0 y que el grado de P(x) sea igual o mayor que el de Q(x).
Si la división es exacta, se cumplirá:
Cuando la división no es exacta, aparecerá al final del procedimiento otro polinomio llamado resto o resíduo R(x) y escribiremos indistintamente:
El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.
La imagen convencional de una división aritmética trasladada a la división polinómica sería:
Ejercicios
Ejercicio 1
Realizar la suma de estos tres polinomios con dos variables.
Solución:
Por mayor sencillez, haremos la suma en columna, o en vertical. La mecánica es la misma que con una variable. Los polinomios ordenados de índice mayor a menor respecto a una de las variables (aquí tomamos la x), dejando los huecos oportunos para que en cada columna hayan términos semejantes:
Ejercicio 2
Realizar la resta de estos polinomios con dos variables.
Solución:
Haremos la resta en columna, o en vertical. La mecánica es la misma que con una variable. Los polinomios ordenados de índice mayor a menor respecto a una de las variables (aquí tomamos la x) dejando los huecos oportunos para que en cada columna hayan términos semejantes:
Ejercicio 3
Realizar la multiplicación de estos dos polinomios, mediante la multiplicación en fila y en columna (o vertical):
Solución:
La mecánica, en primer lugar, se realizará como en el ejercicio anterior, es decir, multiplicación en fila:
Se simplifican los monomios semejantes, y se ordena el polinomio resultante:
Realizando la misma operación mediante la multiplicación en columna o forma vertical, se comprueba que se llega al mismo resultado:
Ejercicio 4
Realizar esta división polinomio entre polinomio:
Solución:
Se puede realizar la división por que el dividendo no es nulo y su grado no es superior al del dividendo.
Los dos polinomios están ordenados. El dividendo es un polinomio incompleto, porque le falta el término de tercer grado. En su lugar se dejará un espacio en blanco.
Procedemos a realizar los pasos de la división larga, dividiendo en cada etapa, el término de mayor grado del dividendo (3x4) y de los restos sucesivos por el término de mayor grado del divisor (x²):
Se ha finalizado el procedimiento llegando a un resto nulo. La división es exacta. El polinomio dividendo se puede descomponer en dos factores:
Ejercicio 5
Realizar las operaciones entre polinomios indicadas en esta expresión algebraica:
Solución:
Están implicadas operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios, que se efectuarán de manera similar a las operaciones aritméticas:
- En primer lugar, se realizará la multiplicación entre los dos polinomios encerrados entre paréntesis. El sistema empleado será en forma vertical:
La expresión se habrá quedado reducida a:
- A continuación se suman los dos polinomios del numerador de la fracción. Por el procedimiento igualmente de suma vertical:
Quedándose la expresión en:
- El paso siguiente es realizar la división. (Recordemos que similar a la división aritmética)
La división es exacta.
- Para terminar, se restan los dos polinomios resultantes de los pasos anteriores, siguiendo con el procedimiento en columna o en vertical:
Quedando:
El polinomio resultante de realizar las operaciones entre polinomios indicadas en la expresión algebraica propuesta es:
